Математика · 10 клас · Елементи от стереометрията

Ортогонално проектиране. Ъгъл между права и равнина

Име: Клас: Дата:

Отсечка с дължина 10 cm сключва с равнина ъгъл 30°. Колко е дължината на ортогоналната ѝ проекция?
- А) 5 cm
- Б) 10√3 cm
- В) 5√3 cm
- Г) 5√2 cm
В куба ABCDA₁B₁C₁D₁ колко градуса е ъгълът между правата AB₁ и равнината (ABC)?
- А) 90°
- Б) 60°
- В) 30°
- Г) 45°
Точка M е на разстояние 12 cm от равнина α, а наклонената MA към α е 13 cm. Колко е проекцията на MA в α?
- А) 5 cm
- Б) 1 cm
- В) 25 cm
- Г) √313 cm
Отсечка с дължина 12 cm има ортогонална проекция 6 cm в равнина. Колко градуса е ъгълът между отсечката и равнината?
- А) 60°
- Б) 30°
- В) 45°
- Г) 90°
Точка M е на разстояние 6 cm от равнина α, а наклонената MA сключва с α ъгъл 30°. Колко е MA?
- А) 6√3 cm
- Б) 12 cm
- В) 3 cm
- Г) 6√2 cm
Какво е ортогоналната проекция на точка върху равнина?
- А) петата на перпендикуляра
- Б) средата на наклонената
- В) центърът на равнината
- Г) всяка точка от равнината
Каква е ортогоналната проекция на права, перпендикулярна на равнината?
- А) права
- Б) точка
- В) лъч
- Г) отсечка
Кое е по-късо: перпендикулярът или наклонена от същата точка към равнината?
- А) наклонената
- Б) равни са
- В) перпендикулярът
- Г) зависи от ъгъла
Отсечка с дължина 7 cm е успоредна на равнина. Колко е дължината на проекцията ѝ?
- А) 0 cm
- Б) 3,5 cm
- В) 14 cm
- Г) 7 cm
Каква фигура образуват перпендикулярът, наклонената и проекцията ѝ?
- А) правоъгълен триъгълник
- Б) равностранен триъгълник
- В) квадрат
- Г) тъпоъгълен триъгълник
Наклонена с дължина 8 cm сключва с равнина ъгъл 45°. Колко е проекцията ѝ?
- А) 4 cm
- Б) 4√2 cm
- В) 8√2 cm
- Г) 4√3 cm
Точка е на разстояние 4 cm от равнина, а наклонената от нея сключва с равнината ъгъл 60°. Колко е проекцията?
- А) 4√3 cm
- Б) 2 cm
- В) 4√3/3 cm
- Г) 8 cm
Кубът ABCDA₁B₁C₁D₁ има ръб a. Колко е тангенсът на ъгъла между BD₁ и равнината (ABC)?
- А) 1
- Б) √3
- В) √3/3
- Г) √2/2
От точка към равнина са спуснати наклонени 10 cm и 17 cm, а проекциите им се отнасят 2 : 5. Колко е разстоянието до равнината?
- А) 8 cm
- Б) 6 cm
- В) 15 cm
- Г) 9 cm
Две наклонени по 10 cm сключват с равнина ъгли 30°, а проекциите им са перпендикулярни. Колко е разстоянието между петите им?
- А) 10 cm
- Б) 5√6 cm
- В) 5√3 cm
- Г) 10√2 cm

Отговори

1. В) 5√3 cm Проекцията е 10·cos 30° = 5√3 cm.
2. Г) 45° Проекцията на AB₁ в (ABC) е AB, а ΔABB₁ е равнобедрен правоъгълен.
3. А) 5 cm По Питагорова теорема: √(169 − 144) = 5 cm.
4. А) 60° cos φ = 6/12 = 1/2, φ = 60°.
5. Б) 12 cm Разстоянието е MA·sin 30°, значи MA = 6 : 0,5 = 12 cm.
6. А) петата на перпендикуляра Проекцията на точката е петата на перпендикуляра от нея към равнината.
7. Б) точка Всички точки на перпендикуляра се проектират в петата му.
8. В) перпендикулярът Перпендикулярът е катет, а наклонената е хипотенуза в правоъгълен триъгълник.
9. Г) 7 cm Отсечка, успоредна на равнината, се проектира в равна на нея отсечка.
10. А) правоъгълен триъгълник Перпендикулярът е перпендикулярен на проекцията, затова триъгълникът е правоъгълен.
11. Б) 4√2 cm Проекцията е 8·cos 45° = 8·√2/2 = 4√2 cm.
12. В) 4√3/3 cm Проекцията е 4/tg 60° = 4/√3 = 4√3/3 cm.
13. Г) √2/2 Проекцията на BD₁ е BD = a√2, а DD₁ = a, значи tg φ = a/(a√2) = √2/2.
14. А) 8 cm 100 − 4k² = 289 − 25k², k = 3, проекции 6 и 15 cm, d = √(100 − 36) = 8 cm.
15. Б) 5√6 cm Проекциите са по 10·cos 30° = 5√3 cm, а разстоянието е 5√3·√2 = 5√6 cm.

Игрален час · игри и работни листове по програмата на МОН