ТърсиУченик? Влез с код30 дни безплатноБезплатно
Класове
Начален етап
Прогимназиален етап
Гимназиален етап
Всички игриНВО и матуриЦениСтатииВидеоЗа родителиЗа училищаВход за учителиУченик? Влез с код
Обратно към урока

Математика · 12 клас · Екстремални задачи

Екстремални задачи в алгебрата

Име: Клас: Дата:

  1. Сборът на две числа е 12. Колко е най-голямото възможно тяхно произведение?

    • А) 35
    • Б) 72
    • В) 36
    • Г) 144

  2. Разликата на две числа е 6. Колко е най-малкото възможно тяхно произведение?

    • А) −9
    • Б) 0
    • В) 9
    • Г) −6

  3. Намерете най-малката стойност на y = (x − 1)2 + (x − 5)2.

    • А) 16
    • Б) 0
    • В) 4
    • Г) 8

  4. При цена p евро се продават 100 − 2p броя от стока. Колко е най-големият възможен приход?

    • А) 2500 евро
    • Б) 1200 евро
    • В) 1250 евро
    • Г) 625 евро

  5. Намерете най-голямата стойност на y = sin2x + 4cos x.

    • А) 5
    • Б) 1
    • В) 3
    • Г) 4

  6. Намерете най-малката стойност на y = (x − 3)2 + 2.

    • А) 3
    • Б) 2
    • В) 0
    • Г) −3

  7. При коя стойност на x изразът x2 − 10x + 30 е най-малък?

    • А) 5
    • Б) −5
    • В) 10
    • Г) 30

  8. Намерете най-голямата стойност на y = 5 − |x − 2|.

    • А) 2
    • Б) 3
    • В) 5
    • Г) 7

  9. Намерете най-малката стойност на y = x4 − 4x2 + 1.

    • А) 1
    • Б) −4
    • В) −3
    • Г) −1

  10. Намерете най-голямата стойност на y = cos 2x + 2 sin x.

    • А) 3
    • Б) 3/2
    • В) 2
    • Г) 1

  11. Колко е най-малката стойност на израза 2 + cos x?

    • А) 1
    • Б) 2
    • В) 0
    • Г) −1

  12. Намерете най-малката стойност на x2 + y2 − 4x + 2y + 7.

    • А) 7
    • Б) 2
    • В) 0
    • Г) −2

  13. Намерете най-малката стойност на y = cos2x − 2cos x.

    • А) −2
    • Б) 0
    • В) 3
    • Г) −1

  14. Магазин продава по 40 тениски дневно на цена 20 евро. Всяко поскъпване с 1 евро намалява продажбите с 1 тениска. При каква цена приходът е най-голям?

    • А) 30 евро
    • Б) 20 евро
    • В) 25 евро
    • Г) 40 евро

  15. Намерете най-малката стойност на y = (x2 − 2x)2 + 6(x2 − 2x).

    • А) −9
    • Б) −5
    • В) −3
    • Г) 0

Отговори

Екстремални задачи в алгебрата

  1. 1. В) 36 x(12 − x) е най-голямо при x = 6: 6 · 6 = 36.
  2. 2. А) −9 x(x − 6) = x2 − 6x е най-малко при x = 3: 3 · (−3) = −9.
  3. 3. Г) 8 y = 2x2 − 12x + 26, върхът е при x = 3: y = 4 + 4 = 8.
  4. 4. В) 1250 евро Приходът p(100 − 2p) = −2p2 + 100p е най-голям при p = 25: 25 · 50 = 1250 евро.
  5. 5. Г) 4 С cos x = t ∈ [−1; 1]: y = −t2 + 4t + 1. Върхът t = 2 е вън от [−1; 1], функцията расте, y(1) = 4.
  6. 6. Б) 2 (x − 3)2 ≥ 0, затова y ≥ 2, равенство при x = 3.
  7. 7. А) 5 x2 − 10x + 30 = (x − 5)2 + 5, най-малък е при x = 5.
  8. 8. В) 5 |x − 2| ≥ 0, затова y ≤ 5, равенство при x = 2.
  9. 9. В) −3 Полагаме t = x2 ≥ 0: t2 − 4t + 1 има най-малка стойност при t = 2, тя е 4 − 8 + 1 = −3.
  10. 10. Б) 3/2 cos 2x = 1 − 2sin2x, затова y = −2t2 + 2t + 1 при t = sin x ∈ [−1; 1]; най-голяма стойност при t = 1/2: −1/2 + 1 + 1 = 3/2.
  11. 11. А) 1 Тъй като −1 ≤ cos x ≤ 1, най-малката стойност е 2 − 1 = 1.
  12. 12. Б) 2 Отделяме точни квадрати: (x − 2)2 + (y + 1)2 + 2 ≥ 2, с равенство при x = 2, y = −1.
  13. 13. Г) −1 Полагаме t = cos x, −1 ≤ t ≤ 1. Функцията t2 − 2t намалява до t = 1, затова най-малката стойност е 1 − 2 = −1.
  14. 14. А) 30 евро При поскъпване с k евро приходът е (20 + k)(40 − k). Върхът на параболата е при k = 10, т.е. цена 30 евро и приход 900 евро.
  15. 15. Б) −5 Полагаме t = x2 − 2x = (x − 1)2 − 1 ≥ −1. Функцията t2 + 6t расте при t ≥ −3, затова минимумът е при t = −1: 1 − 6 = −5.

Игрален час · игри и работни листове по програмата на МОН