Математика · 12 клас · Екстремални задачи

Екстремални задачи в планиметрията

Име: Клас: Дата:

Периметърът на правоъгълник е 36 cm. Колко е най-голямото възможно лице?
- А) 36 cm²
- Б) 81 cm²
- В) 72 cm²
- Г) 324 cm²
Две страни на триъгълник са 5 cm и 12 cm. Колко е най-голямото възможно лице?
- А) 30 cm²
- Б) 60 cm²
- В) 15 cm²
- Г) 17 cm²
Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 10 cm. Колко е най-голямото възможно лице?
- А) 50 cm²
- Б) 24 cm²
- В) 25 cm²
- Г) 100 cm²
Правоъгълник е вписан в полукръг с радиус 4 cm, като една негова страна лежи на диаметъра. Колко е най-голямото възможно лице?
- А) 16 cm²
- Б) 32 cm²
- В) 8 cm²
- Г) 12 cm²
Сборът на диагоналите на ромб е 14 cm. Колко е най-голямото възможно лице на ромба?
- А) 49 cm²
- Б) 12,25 cm²
- В) 24,5 cm²
- Г) 24 cm²
Кой от правоъгълниците с даден периметър има най-голямо лице?
- А) квадратът
- Б) този със страни в отношение 1 : 2
- В) най-тесният
- Г) всички имат равни лица
Сборът на катетите на правоъгълен триъгълник е 10 cm. Колко е най-голямото възможно лице?
- А) 25 cm²
- Б) 50 cm²
- В) 12,5 cm²
- Г) 10 cm²
Лицето на правоъгълник е 64 cm². Колко е най-малкият възможен периметър?
- А) 16 cm
- Б) 34 cm
- В) 64 cm
- Г) 32 cm
С ограда от 40 m се загражда правоъгълен участък до стена (покрай стената няма ограда). Колко е най-голямото възможно лице?
- А) 100 m²
- Б) 200 m²
- В) 400 m²
- Г) 160 m²
Триъгълник има основа 8 cm и периметър 18 cm. Колко е най-голямото възможно лице?
- А) 12 cm²
- Б) 20 cm²
- В) 16 cm²
- Г) 24 cm²
Две страни на триъгълник са a и b. При какъв ъгъл между тях лицето е най-голямо?
- А) 60°
- Б) 45°
- В) 120°
- Г) 90°
Две страни на триъгълник са 6 cm и 8 cm. Колко е третата страна, когато лицето е най-голямо?
- А) 14 cm
- Б) 10 cm
- В) 7 cm
- Г) 12 cm
Колко е най-голямото възможно лице на ромб със страна 6 cm?
- А) 24 cm²
- Б) 18 cm²
- В) 72 cm²
- Г) 36 cm²
Бедрата на равнобедрен триъгълник са по 10 cm. Колко е най-голямото възможно лице?
- А) 100 cm²
- Б) 50 cm²
- В) 25 cm²
- Г) 25√3 cm²
Правоъгълен участък с лице 200 m² се загражда от три страни, а четвъртата е стена. Колко е най-малката нужна дължина на оградата?
- А) 60 m
- Б) 30 m
- В) 40 m
- Г) 20√2 m

Отговори

1. Б) 81 cm² При даден периметър най-голямо лице има квадратът: 9 · 9 = 81 cm².
2. А) 30 cm² S = (1/2) · 5 · 12 · sin γ ≤ 30, с равенство при γ = 90°.
3. В) 25 cm² S = ab/2 ≤ (a² + b²)/4 = 100/4 = 25, с равенство при a = b.
4. А) 16 cm² При страна 2x върху диаметъра височината е √(16 − x²) и S = 2x√(16 − x²) ≤ x² + 16 − x² = 16.
5. В) 24,5 cm² S = d₁d₂/2 ≤ ((d₁ + d₂)/2)²/2 = 49/2 = 24,5 cm², при d₁ = d₂ = 7 cm.
6. А) квадратът При a + b = const произведението ab е най-голямо при a = b, т.е. за квадрата.
7. В) 12,5 cm² S = ab/2, а при a + b = 10 произведението ab е най-голямо при a = b = 5, т.е. S = 25/2 = 12,5 cm².
8. Г) 32 cm a + b ≥ 2√(ab) = 16, затова P = 2(a + b) ≥ 32 cm, равенство за квадрат със страна 8 cm.
9. Б) 200 m² Ако страните, перпендикулярни на стената, са x, то S = x(40 − 2x), най-голямо при x = 10: S = 10 · 20 = 200 m².
10. А) 12 cm² При дадена основа и сбор на другите две страни 10 cm лицето е най-голямо при равни бедра по 5 cm: височината е 3 cm, S = 8 · 3/2 = 12 cm².
11. Г) 90° S = (1/2)ab sin γ, а sin γ е най-голям (равен на 1) при γ = 90°.
12. Б) 10 cm Лицето е най-голямо при прав ъгъл между двете страни. Тогава третата страна е хипотенуза: √(36 + 64) = 10 cm.
13. Г) 36 cm² Лицето на ромб е a² sin α ≤ a² = 36 cm², с равенство при α = 90°, т.е. при квадрат.
14. Б) 50 cm² S = (1/2) · 10 · 10 · sin γ ≤ 50 cm², с равенство при прав ъгъл между бедрата.
15. В) 40 m Ако перпендикулярните на стената страни са x, а успоредната е y, то xy = 200 и 2x + y ≥ 2√(2xy) = 40, с равенство при x = 10 m, y = 20 m.

Игрален час · игри и работни листове по програмата на МОН