Екстремални задачи в планиметрията

Проверете се: 15 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

1. Периметърът на правоъгълник е 36 cm. Колко е най-голямото възможно лице?

   • 36 cm²
   • 81 cm²
   • 72 cm²
   • 324 cm²

   Отговор: 81 cm²

   При даден периметър най-голямо лице има квадратът: 9 · 9 = 81 cm².

2. Две страни на триъгълник са 5 cm и 12 cm. Колко е най-голямото възможно лице?

   • 30 cm²
   • 60 cm²
   • 15 cm²
   • 17 cm²

   Отговор: 30 cm²

   S = (1/2) · 5 · 12 · sin γ ≤ 30, с равенство при γ = 90°.

3. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 10 cm. Колко е най-голямото възможно лице?

   • 50 cm²
   • 24 cm²
   • 25 cm²
   • 100 cm²

   Отговор: 25 cm²

   S = ab/2 ≤ (a² + b²)/4 = 100/4 = 25, с равенство при a = b.

4. Правоъгълник е вписан в полукръг с радиус 4 cm, като една негова страна лежи на диаметъра. Колко е най-голямото възможно лице?

   • 16 cm²
   • 32 cm²
   • 8 cm²
   • 12 cm²

   Отговор: 16 cm²

   При страна 2x върху диаметъра височината е √(16 − x²) и S = 2x√(16 − x²) ≤ x² + 16 − x² = 16.

5. Сборът на диагоналите на ромб е 14 cm. Колко е най-голямото възможно лице на ромба?

   • 49 cm²
   • 12,25 cm²
   • 24,5 cm²
   • 24 cm²

   Отговор: 24,5 cm²

   S = d₁d₂/2 ≤ ((d₁ + d₂)/2)²/2 = 49/2 = 24,5 cm², при d₁ = d₂ = 7 cm.

6. Кой от правоъгълниците с даден периметър има най-голямо лице?

   • квадратът
   • този със страни в отношение 1 : 2
   • най-тесният
   • всички имат равни лица

   Отговор: квадратът

   При a + b = const произведението ab е най-голямо при a = b, т.е. за квадрата.

7. Сборът на катетите на правоъгълен триъгълник е 10 cm. Колко е най-голямото възможно лице?

   • 25 cm²
   • 50 cm²
   • 12,5 cm²
   • 10 cm²

   Отговор: 12,5 cm²

   S = ab/2, а при a + b = 10 произведението ab е най-голямо при a = b = 5, т.е. S = 25/2 = 12,5 cm².

8. Лицето на правоъгълник е 64 cm². Колко е най-малкият възможен периметър?

   • 16 cm
   • 34 cm
   • 64 cm
   • 32 cm

   Отговор: 32 cm

   a + b ≥ 2√(ab) = 16, затова P = 2(a + b) ≥ 32 cm, равенство за квадрат със страна 8 cm.

9. С ограда от 40 m се загражда правоъгълен участък до стена (покрай стената няма ограда). Колко е най-голямото възможно лице?

   • 100 m²
   • 200 m²
   • 400 m²
   • 160 m²

   Отговор: 200 m²

   Ако страните, перпендикулярни на стената, са x, то S = x(40 − 2x), най-голямо при x = 10: S = 10 · 20 = 200 m².

10. Триъгълник има основа 8 cm и периметър 18 cm. Колко е най-голямото възможно лице?

    • 12 cm²
    • 20 cm²
    • 16 cm²
    • 24 cm²

    Отговор: 12 cm²

    При дадена основа и сбор на другите две страни 10 cm лицето е най-голямо при равни бедра по 5 cm: височината е 3 cm, S = 8 · 3/2 = 12 cm².

11. Две страни на триъгълник са a и b. При какъв ъгъл между тях лицето е най-голямо?

    • 60°
    • 45°
    • 120°
    • 90°

    Отговор: 90°

    S = (1/2)ab sin γ, а sin γ е най-голям (равен на 1) при γ = 90°.

12. Две страни на триъгълник са 6 cm и 8 cm. Колко е третата страна, когато лицето е най-голямо?

    • 14 cm
    • 10 cm
    • 7 cm
    • 12 cm

    Отговор: 10 cm

    Лицето е най-голямо при прав ъгъл между двете страни. Тогава третата страна е хипотенуза: √(36 + 64) = 10 cm.

13. Колко е най-голямото възможно лице на ромб със страна 6 cm?

    • 24 cm²
    • 18 cm²
    • 72 cm²
    • 36 cm²

    Отговор: 36 cm²

    Лицето на ромб е a² sin α ≤ a² = 36 cm², с равенство при α = 90°, т.е. при квадрат.

14. Бедрата на равнобедрен триъгълник са по 10 cm. Колко е най-голямото възможно лице?

    • 100 cm²
    • 50 cm²
    • 25 cm²
    • 25√3 cm²

    Отговор: 50 cm²

    S = (1/2) · 10 · 10 · sin γ ≤ 50 cm², с равенство при прав ъгъл между бедрата.

15. Правоъгълен участък с лице 200 m² се загражда от три страни, а четвъртата е стена. Колко е най-малката нужна дължина на оградата?

    • 60 m
    • 30 m
    • 40 m
    • 20√2 m

    Отговор: 40 m

    Ако перпендикулярните на стената страни са x, а успоредната е y, то xy = 200 и 2x + y ≥ 2√(2xy) = 40, с равенство при x = 10 m, y = 20 m.