Как да се упражни урокът у дома?

Прочетете обяснението и ключовите неща, после отговорете на въпросите по-долу. За повече упражнения отворете темата „Системи уравнения от втора степен“ и изберете игра или режим „У дома“.

Математика · 9 клас · урок 1 от 3

Системи, на които едното уравнение е от първа степен

Когато едното уравнение на системата е от първа степен, а другото от втора, използваме метода на заместването. От линейното уравнение изразяваме едното неизвестно и го заместваме във второто, при което се получава квадратно уравнение с едно неизвестно. Броят на решенията на системата зависи от дискриминантата му: 2, 1 или 0. Особен случай са симетричните системи x + y = s, xy = p, при които x и y са корени на t² − st + p = 0.

Играйте само този урок:Вярно или невярно Табло Бомба Надбягване Отборен тест А/Б/В/Г Горещ стол

Работен лист за печат

Какво да запомним

Изразяваме неизвестно от линейното уравнение и заместваме в другото.
Получаваме квадратно уравнение; D показва броя на решенията.
x + y = s, xy = p: x и y са корените на t² − st + p = 0.
x² + y² = (x + y)² − 2xy.
Всяко решение се записва като двойка (x; y).

Пример

x + y = 7, xy = 10: t² − 7t + 10 = 0, t = 2 или t = 5, решенията са (2; 5) и (5; 2).

Проверете се: 28 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

Решете системата x + y = 7, xy = 10.
- (2; 5) и (5; 2)
- (1; 6) и (6; 1)
- (−2; −5) и (−5; −2)
- само (2; 5)
Отговор: (2; 5) и (5; 2)
x и y са корени на t² − 7t + 10 = 0: t = 2 и t = 5.
Решете системата x + y = 1, xy = −12.
- (3; −4) и (−4; 3)
- (4; −3) и (−3; 4)
- (6; −2) и (−2; 6)
- (4; 3) и (3; 4)
Отговор: (4; −3) и (−3; 4)
t² − t − 12 = 0, t = 4 и t = −3.
Решете системата x + y = 6, xy = 9.
- (3; 3) и (−3; −3)
- (1; 9) и (9; 1)
- (3; 3)
- няма решение
Отговор: (3; 3)
t² − 6t + 9 = 0 има двоен корен t = 3.
Намерете x² + y², ако x + y = 5 и xy = 4.
- 21
- 25
- 9
- 17
Отговор: 17
x² + y² = (x + y)² − 2xy = 25 − 8 = 17.
Колко решения има системата x + y = 2, xy = 5?
- 0
- 1
- 2
- 4
Отговор: 0
t² − 2t + 5 = 0 има дискриминанта 4 − 20 < 0.
Кои две числа имат сбор 9 и произведение 20?
- 2 и 10
- 4 и 5
- 3 и 6
- 1 и 20
Отговор: 4 и 5
4 + 5 = 9 и 4 · 5 = 20.
Решете системата x + y = −5, xy = 6.
- (2; 3) и (3; 2)
- (−1; −6) и (−6; −1)
- (2; −3) и (−3; 2)
- (−2; −3) и (−3; −2)
Отговор: (−2; −3) и (−3; −2)
x и y са корени на t² + 5t + 6 = 0, т.е. −2 и −3.
x + y = 6 и xy = 4. Колко е 1/x + 1/y?
- 3/2
- 2/3
- 10
- 1/6
Отговор: 3/2
1/x + 1/y = (x + y)/(xy) = 6/4 = 3/2.
x + y = 7 и xy = 10. Колко е (x − y)²?
- 3
- 89
- 9
- 29
Отговор: 9
(x − y)² = (x + y)² − 4xy = 49 − 40 = 9.
При коя стойност на a системата x + y = 4, xy = a има точно едно решение?
- a = 16
- a = 2
- a = 4
- a = −4
Отговор: a = 4
x и y са корени на t² − 4t + a = 0; единствено решение има при D = 16 − 4a = 0, т.е. a = 4.
Решете системата y = x − 1, x² + y = 5.
- (−2; −3) и (3; 2)
- (2; 1) и (−3; −4)
- (2; 1)
- (3; 2) и (−2; 3)
Отговор: (2; 1) и (−3; −4)
x² + x − 6 = 0, x = 2 или x = −3, а y = x − 1.
Решете системата x + y = 4, x² + y² = 10.
- (3; −1) и (−1; 3)
- (2; 2)
- (3; 1) и (1; 3)
- (5; −1) и (−1; 5)
Отговор: (3; 1) и (1; 3)
y = 4 − x: 2x² − 8x + 6 = 0, x² − 4x + 3 = 0, x = 1 или x = 3.
Решете системата 2x − y = 1, xy = 3.
- (1; 1) и (−3/2; −4)
- (1; 3) и (3; 1)
- (3; 1)
- (3/2; 2) и (−1; −3)
Отговор: (3/2; 2) и (−1; −3)
y = 2x − 1: 2x² − x − 3 = 0, x = 3/2 или x = −1.
Решете системата x − y = 2, x² − xy + y² = 7.
- (3; 1) и (−1; −3)
- (1; 3) и (−3; −1)
- (3; 1)
- (2; 0) и (4; 2)
Отговор: (3; 1) и (−1; −3)
x = y + 2: y² + 2y + 4 = 7, y² + 2y − 3 = 0, y = 1 или y = −3.
Колко общи точки имат правата y = 2x + 3 и параболата y = x² + 4x + 4?
- 2
- 1
- 0
- 3
Отговор: 1
x² + 2x + 1 = 0, (x + 1)² = 0: правата се допира до параболата в (−1; 1).
Решете системата y = 2, x² + y² = 13.
- (3; 2) и (−3; 2)
- само (3; 2)
- (2; 3) и (2; −3)
- (9; 2) и (−9; 2)
Отговор: (3; 2) и (−3; 2)
x² + 4 = 13, x² = 9, x = ±3.
Решете системата x = 2y, x² − y² = 27.
- (6; 3) и (6; −3)
- (3; 6) и (−3; −6)
- само (6; 3)
- (6; 3) и (−6; −3)
Отговор: (6; 3) и (−6; −3)
4y² − y² = 27, y² = 9, y = ±3, а x = 2y.
Решете системата x + 2y = 5, xy = 2.
- (1; 2) и (2; 1)
- (1; 2) и (4; 1/2)
- само (4; 1/2)
- (1; 2) и (−4; −1/2)
Отговор: (1; 2) и (4; 1/2)
x = 5 − 2y, (5 − 2y)y = 2, 2y² − 5y + 2 = 0, y = 2 или y = 1/2.
Решете системата x + y = 1, x² + xy + y² = 7.
- (−3; 2) и (2; −3)
- (3; 2) и (2; 3)
- само (3; −2)
- (3; −2) и (−2; 3)
Отговор: (3; −2) и (−2; 3)
x² + xy + y² = (x + y)² − xy = 1 − xy = 7, затова xy = −6. Числата със сбор 1 и произведение −6 са 3 и −2.
Колко решения има системата x + y = 5, x² + y² = 9?
- 1
- 0
- 2
- 4
Отговор: 0
2xy = (x + y)² − (x² + y²) = 16, xy = 8; уравнението t² − 5t + 8 = 0 има D = 25 − 32 < 0.
Колко общи точки имат окръжността x² + y² = 25 и правата y = 5?
- 2
- 0
- 4
- 1
Отговор: 1
x² = 0: единствената обща точка е (0; 5), правата е допирателна.
Колко общи точки имат параболата y = x² и правата y = x + 6?
- 2
- 1
- 0
- 3
Отговор: 2
x² − x − 6 = 0, x = −2 или x = 3.
Колко решения има системата x² + y² = 4, y = x + 5?
- 1
- 0
- 2
- 4
Отговор: 0
2x² + 10x + 21 = 0 има дискриминанта 100 − 168 < 0.
При каква стойност на m правата y = 2x + m се допира до параболата y = x²?
- m = 1
- m = 0
- m = −4
- m = −1
Отговор: m = −1
x² − 2x − m = 0 трябва да има един корен: D = 4 + 4m = 0, m = −1.
Колко общи точки имат окръжността x² + y² = 9 и оста Ox?
- 1
- 0
- 4
- 2
Отговор: 2
При y = 0: x² = 9, x = ±3.
Колко общи точки имат параболата y = x² + 1 и правата y = 0?
- 1
- 0
- 2
- безброй много
Отговор: 0
x² + 1 = 0 няма решение, защото x² + 1 ≥ 1.
Колко решения има системата xy = 4, x + y = 3?
- 0
- 1
- 2
- 4
Отговор: 0
x и y са корени на t² − 3t + 4 = 0, а D = 9 − 16 < 0.
При коя положителна стойност на m системата x² + y² = 8, x + y = m има точно едно решение?
- m = 2√2
- m = 8
- m = 4
- m = 2
Отговор: m = 4
y = m − x, 2x² − 2mx + m² − 8 = 0; D/4 = m² − 2(m² − 8) = 16 − m² = 0, m = 4.