Решаване на четириъгълник
При решаване на произволен четириъгълник го разделяме с диагонал на два триъгълника и прилагаме синусовата и косинусовата теорема. Сборът на ъглите на изпъкнал четириъгълник е 360°. Специални случаи са вписаният четириъгълник, при който срещуположните ъгли имат сбор 180°, и описаният, при който сборовете на срещуположните страни са равни.
Какво да запомним
- Сбор на ъглите на изпъкнал четириъгълник: 360°.
- Лице: S = ½d1d2·sin φ.
- Вписан четириъгълник: ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°.
- Описан четириъгълник: AB + CD = BC + AD; лице S = p·r.
Пример
В описан четириъгълник с AB = 7, BC = 6 и CD = 9 cm имаме AD = 7 + 9 − 6 = 10 cm.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Колко е сборът на вътрешните ъгли на изпъкнал четириъгълник?
- 360°
- 180°
- 540°
- 720°
Отговор: 360°
Диагоналът го разделя на два триъгълника: 2 · 180° = 360°.
Три от ъглите на четириъгълник са 80°, 95° и 110°. Колко е четвъртият?
- 75°
- 85°
- 65°
- 105°
Отговор: 75°
360° − (80° + 95° + 110°) = 75°.
Диагоналите на изпъкнал четириъгълник са 10 cm и 12 cm и сключват ъгъл 30°. Колко е лицето му?
- 60 cm2
- 120 cm2
- 30 cm2
- 30√3 cm2
Отговор: 30 cm2
S = (1/2) d1d2 sin φ = (1/2) · 10 · 12 · 1/2 = 30 cm2.
Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност и ∠A = 65°. Колко е ∠C?
- 65°
- 25°
- 125°
- 115°
Отговор: 115°
Във вписан четириъгълник сборът на срещуположните ъгли е 180°: 180° − 65° = 115°.
Четириъгълникът ABCD е описан около окръжност, AB = 7 cm, BC = 6 cm и CD = 9 cm. Колко е AD?
- 10 cm
- 8 cm
- 12 cm
- 22 cm
Отговор: 10 cm
В описан четириъгълник AB + CD = BC + AD: 7 + 9 = 6 + AD, AD = 10 cm.
Кой четириъгълник има равни и перпендикулярни диагонали, които се разполовяват?
- ромб
- правоъгълник
- делтоид
- квадрат
Отговор: квадрат
Разполовяващи се диагонали дават успоредник, равните диагонали дават правоъгълник, а перпендикулярните дават ромб, т.е. квадрат.
Колко е лицето на ромб с диагонали 6 cm и 10 cm?
- 60 cm2
- 15 cm2
- 30 cm2
- 16 cm2
Отговор: 30 cm2
S = d1d2/2 = 6·10/2 = 30 cm2.
Ъглите на четириъгълник се отнасят както 1 : 2 : 3 : 4. Колко е най-големият ъгъл?
- 120°
- 160°
- 108°
- 144°
Отговор: 144°
360° : 10 = 36°, а най-големият ъгъл е 4·36° = 144°.
Диагоналите на четириъгълник са 8 cm и 12 cm. Колко е периметърът на четириъгълника, чиито върхове са средите на страните му?
- 20 cm
- 40 cm
- 10 cm
- 24 cm
Отговор: 20 cm
Страните на получения успоредник са средни отсечки, т.е. 4 cm и 6 cm, затова периметърът е 2(4 + 6) = 20 cm.
Четириъгълник е описан около окръжност с радиус 3 cm и има периметър 40 cm. Колко е лицето му?
- 120 cm2
- 30 cm2
- 60 cm2
- 40 cm2
Отговор: 60 cm2
S = p·r, където p е полупериметърът: S = 20·3 = 60 cm2.
Кой четириъгълник има само една двойка успоредни страни?
- ромб
- трапец
- правоъгълник
- квадрат
Отговор: трапец
Трапецът има точно две успоредни страни (основите), а останалите имат по две двойки.
Четириъгълник е описан около окръжност и AB = 5 cm, CD = 8 cm. Колко е периметърът му?
- 13 cm
- 20 cm
- 26 cm
- 39 cm
Отговор: 26 cm
При описан четириъгълник AB + CD = BC + AD = 13 cm, затова периметърът е 2·13 = 26 cm.
Ъглите на четириъгълника ABCD са ∠A = 80°, ∠B = 110°, ∠C = 100° и ∠D = 70°. Може ли около него да се опише окръжност?
- да
- не
- само ако е ромб
- само ако е трапец
Отговор: да
∠A + ∠C = 180° и ∠B + ∠D = 180°, значи четириъгълникът е вписан.
В четириъгълника ABCD AB = 3 cm, BC = 4 cm, ∠B = 90°, CD = 12 cm и AC ⊥ CD. Колко е AD?
- 12 cm
- 15 cm
- √153 cm
- 13 cm
Отговор: 13 cm
От △ABC: AC = 5 cm. От правоъгълния △ACD: AD = √(25 + 144) = 13 cm.
Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност с радиус 5 cm и ∠A = 30°. Колко е диагоналът BD?
- 5√3 cm
- 5 cm
- 10 cm
- 2,5 cm
Отговор: 5 cm
По синусовата теорема за △ABD: BD = 2R·sin A = 10·1/2 = 5 cm.