Как да се упражни урокът у дома?

Прочетете обяснението и ключовите неща, после отговорете на въпросите по-долу. За повече упражнения отворете темата „Математика 12 клас: Екстремални задачи“ и изберете игра или режим „У дома“.

Математика · 12 клас · урок 2 от 4

Основни елементарни неравенства

Някои неравенства са верни винаги и помагат да намерим най-малка или най-голяма стойност. Най-важното е неравенството между средно аритметично и средно геометрично: за положителни a и b е изпълнено (a + b)/2 ≥ √(ab). Равенство има точно когато a = b. Следствие е, че x + 1/x ≥ 2 при x > 0, а също a² + b² ≥ 2ab за всички реални a и b.

Играйте само този урок:Вярно или невярно Табло Бомба Надбягване Отборен тест А/Б/В/Г Горещ стол

Работен лист за печат

Какво да запомним

(a + b)/2 ≥ √(ab) при a, b > 0, с равенство при a = b
a² + b² ≥ 2ab, защото (a − b)² ≥ 0
x + 1/x ≥ 2 при x > 0
При постоянен сбор произведението е най-голямо, когато числата са равни

Пример

x + 16/x ≥ 2√(x · 16/x) = 8 при x > 0, с равенство при x = 4. Най-малката стойност е 8.

Проверете се: 15 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

Кое неравенство е вярно за всички положителни a и b?
- (a + b)/2 ≤ √(ab)
- a + b ≤ 2√(ab)
- (a + b)/2 ≥ √(ab)
- a + b < √(ab)
Отговор: (a + b)/2 ≥ √(ab)
Средното аритметично не е по-малко от средното геометрично: a + b − 2√(ab) = (√a − √b)² ≥ 0.
Намерете най-малката стойност на x + 16/x при x > 0.
- 8
- 16
- 4
- 17
Отговор: 8
x + 16/x ≥ 2√16 = 8, с равенство при x = 4.
Намерете най-малката стойност на 4x + 1/x при x > 0.
- 5
- 4
- 2
- 1
Отговор: 4
4x + 1/x ≥ 2√(4x · 1/x) = 4, с равенство при 4x = 1/x, x = 1/2.
Намерете най-малката стойност на a² + 9/a² при a ≠ 0.
- 6
- 9
- 3
- 10
Отговор: 6
a² + 9/a² ≥ 2√9 = 6, с равенство при a² = 3.
Положителните числа x и y са такива, че x + 2y = 8. Намерете най-голямата стойност на xy.
- 16
- 8
- 4
- 32
Отговор: 8
x · 2y ≤ ((x + 2y)/2)² = 16, затова xy ≤ 8, с равенство при x = 4, y = 2.
Кое неравенство е вярно за всички реални a и b?
- a² + b² ≥ 2ab
- a + b ≥ 2ab
- a² + b² ≤ 2ab
- a − b ≥ 0
Отговор: a² + b² ≥ 2ab
a² + b² − 2ab = (a − b)² ≥ 0.
Намерете най-малката стойност на x + 1/x при x > 0.
- 1
- 0
- 2
- 4
Отговор: 2
По неравенството между средно аритметично и средно геометрично x + 1/x ≥ 2, равенство при x = 1.
Положителните числа a и b имат произведение 25. Колко е най-малкият възможен сбор a + b?
- 25
- 10
- 5
- 50
Отговор: 10
a + b ≥ 2√(ab) = 2 · 5 = 10, равенство при a = b = 5.
Намерете най-голямата стойност на 2x/(x² + 1) при x > 0.
- 1/2
- 2
- 4
- 1
Отговор: 1
Тъй като x² + 1 ≥ 2x, дробта е най-много 1, равенство при x = 1.
Положителните числа a и b са такива, че a + b = 1. Намерете най-малката стойност на 1/a + 1/b.
- 4
- 2
- 8
- 1
Отговор: 4
(a + b)(1/a + 1/b) ≥ 4, т.е. 1/a + 1/b ≥ 4, равенство при a = b = 1/2.
За положителни a и b кога е изпълнено (a + b)/2 = √(ab)?
- при a = 2b
- при a + b = 1
- при ab = 1
- при a = b
Отговор: при a = b
Неравенството между средното аритметично и средното геометрично става равенство точно когато числата са равни.
Колко е средното геометрично на числата 4 и 9?
- 6,5
- 13
- 6
- 36
Отговор: 6
Средното геометрично е √(4 · 9) = √36 = 6.
Положителните числа a и b имат сбор 10. Колко е най-голямото възможно произведение ab?
- 24
- 20
- 50
- 25
Отговор: 25
ab ≤ ((a + b)/2)² = 25, с равенство при a = b = 5.
Намерете най-малката стойност на x + 4/(x − 1) при x > 1.
- 4
- 5
- 6
- 3
Отговор: 5
x + 4/(x − 1) = (x − 1) + 4/(x − 1) + 1 ≥ 2 · 2 + 1 = 5, с равенство при x − 1 = 2, т.е. x = 3.
Положителните числа x и y са такива, че xy = 18. Намерете най-малката стойност на 2x + y.
- 9
- 18
- 12
- 6√2
Отговор: 12
2x + y ≥ 2√(2xy) = 2√36 = 12, с равенство при 2x = y, т.е. x = 3, y = 6.