Математика 12 клас: Екстремални задачи

Линейна функция

1. Намерете най-голямата стойност на f(x) = 2x − 1 в интервала [−1; 3].

   • −3
   • 5
   • 3
   • 7

   Отговор: 5

   Функцията е растяща, затова най-голямата стойност е f(3) = 5.

2. Намерете най-малката стойност на f(x) = x + 3 в интервала [−2; 4].

   • 1
   • 7
   • 3
   • −2

   Отговор: 1

   Функцията е растяща, затова най-малката стойност е f(−2) = −2 + 3 = 1.

3. Кога линейната функция f(x) = kx + b е растяща?

   • при k < 0
   • при b > 0
   • при k > 0
   • при b < 0

   Отговор: при k > 0

   Линейната функция расте, когато ъгловият коефициент k е положителен.

4. Намерете най-малката стойност на f(x) = −3x + 4 в интервала [0; 2].

   • 4
   • 0
   • 10
   • −2

   Отговор: −2

   Функцията е намаляваща, затова най-малката стойност е f(2) = −2.

5. Намерете най-голямата стойност на f(x) = −2x + 5 в интервала [−1; 3].

   • −1
   • 5
   • 7
   • 3

   Отговор: 7

   Функцията е намаляваща, затова най-голямата стойност е f(−1) = 2 + 5 = 7.

6. В коя точка на интервала [a; b] растяща линейна функция достига най-малката си стойност?

   • при x = b
   • при x = a
   • в средата на интервала
   • не я достига

   Отговор: при x = a

   Растящата функция е най-малка в левия край на интервала.

7. При кои стойности на m функцията f(x) = (m − 1)x + 2 е намаляваща?

   • m > 1
   • m < 0
   • m > 2
   • m < 1

   Отговор: m < 1

   Линейната функция намалява, когато ъгловият коефициент е отрицателен: m − 1 < 0.

8. При кои стойности на k функцията f(x) = (3 − k)x + 1 е растяща?

   • k > 3
   • k < 3
   • k = 3
   • k < −3

   Отговор: k < 3

   Линейната функция е растяща, когато ъгловият коефициент е положителен: 3 − k > 0, т.е. k < 3.

9. Функцията f(x) = ax + 1, където a > 0, има най-голяма стойност 7 в интервала [0; 2]. Намерете a.

   • 4
   • 6
   • 7/2
   • 3

   Отговор: 3

   При a > 0 функцията расте и максимумът е f(2) = 2a + 1 = 7, т.е. a = 3.

10. Намерете най-голямата стойност на f(x) = |x − 1| в интервала [−2; 3].

    • 2
    • 3
    • 0
    • 4

    Отговор: 3

    f(−2) = 3, f(3) = 2, а в x = 1 функцията е 0. Най-голямата стойност е 3.

11. Колко е разликата между най-голямата и най-малката стойност на f(x) = 4x − 3 в интервала [1; 5]?

    • 20
    • 4
    • 17
    • 16

    Отговор: 16

    f(5) = 17 и f(1) = 1, разликата е 17 − 1 = 16.

12. Намерете най-малката стойност на функцията f(x) = max(x + 1; 5 − x).

    • 3
    • 2
    • 5
    • 1

    Отговор: 3

    Едната права расте, другата намалява. Минимумът е в пресечната точка: x + 1 = 5 − x, x = 2, f(2) = 3.

13. Линейната функция f(x) = ax + b е такава, че f(1) = 3 и f(3) = 7. Намерете най-голямата ѝ стойност в интервала [0; 5].

    • 7
    • 13
    • 11
    • 9

    Отговор: 11

    a = (7 − 3)/2 = 2, b = 1. Функцията расте, затова най-голямата стойност е f(5) = 11.

14. Намерете най-малката стойност на f(x) = |x + 1| + |x − 3|.

    • 2
    • 4
    • 3
    • 0

    Отговор: 4

    Сборът на разстоянията от x до −1 и до 3 е поне разстоянието между −1 и 3, т.е. 4, и се достига за всяко x от [−1; 3].

15. Числата x и y са такива, че x ≥ 0, y ≥ 0 и x + y ≤ 4. Колко е най-голямата стойност на 3x + 2y?

    • 8
    • 20
    • 12
    • 10

    Отговор: 12

    Линейният израз е най-голям във връх на триъгълника с върхове (0; 0), (4; 0), (0; 4): стойностите са 0, 12 и 8.

Квадратна функция

1. Кой е върхът на параболата y = x² − 4x + 7?

   • (−2; 19)
   • (4; 7)
   • (2; −3)
   • (2; 3)

   Отговор: (2; 3)

   x₀ = 4/2 = 2, y₀ = 4 − 8 + 7 = 3.

2. Намерете най-малката стойност на y = x² + 2.

   • 0
   • 2
   • −2
   • 4

   Отговор: 2

   x² ≥ 0, затова y ≥ 2, като равенство има при x = 0.

3. Накъде са насочени клоните на параболата y = −3x² + 2?

   • нагоре
   • надолу
   • наляво
   • надясно

   Отговор: надолу

   Коефициентът пред x² е отрицателен, затова клоните сочат надолу.

4. Намерете най-голямата стойност на y = −x² + 6x − 5.

   • −5
   • 3
   • 4
   • 9

   Отговор: 4

   Върхът е при x = 3: y = −9 + 18 − 5 = 4.

5. Намерете най-малката стойност на y = x² − 8x + 10.

   • −6
   • 10
   • 4
   • −22

   Отговор: −6

   Върхът е при x = 4: y(4) = 16 − 32 + 10 = −6.

6. Колко е най-голямата стойност на y = −(x − 4)² + 7?

   • 4
   • −7
   • 7
   • 11

   Отговор: 7

   −(x − 4)² ≤ 0, затова y ≤ 7, с равенство при x = 4.

7. Намерете най-малката стойност на y = x² − 2x − 3 в интервала [2; 5].

   • −4
   • 12
   • 0
   • −3

   Отговор: −3

   Върхът x = 1 е вън от интервала, а функцията расте в [2; 5]: y(2) = −3.

8. Намерете най-голямата стойност на y = −x² + 4x + 1 в интервала [3; 5].

   • 5
   • 1
   • 4
   • −4

   Отговор: 4

   Върхът x = 2 е извън интервала, функцията намалява в [3; 5], затова най-голямата стойност е y(3) = −9 + 12 + 1 = 4.

9. При коя стойност на b върхът на параболата y = x² + bx + 5 има абсциса 3?

   • 6
   • 3
   • −3
   • −6

   Отговор: −6

   Абсцисата на върха е −b/2 = 3, откъдето b = −6.

10. Намерете най-голямата стойност на y = x² − 6x + 5 в интервала [0; 4].

    • 5
    • −3
    • −4
    • 4

    Отговор: 5

    Върхът x = 3 е вътре и дава най-малката стойност −4. Най-голямата е в по-далечния край: y(0) = 5 > y(4) = −3.

11. Намерете най-малката стойност на y = 2x² − 4x + 5 в интервала [−1; 2].

    • 11
    • 5
    • 2
    • 3

    Отговор: 3

    Върхът x = 1 е в интервала: y(1) = 2 − 4 + 5 = 3.

12. Функцията y = ax² − 4x + 1 има най-голяма стойност 5. Намерете a.

    • −1
    • 1
    • −2
    • 2

    Отговор: −1

    Нужно е a < 0. Върхът е при x = 2/a и y = 1 − 4/a = 5, откъдето a = −1.

13. При коя стойност на a най-малката стойност на y = x² + 4x + a е 5?

    • 1
    • 9
    • 5
    • −1

    Отговор: 9

    Най-малката стойност е y(−2) = a − 4 = 5, a = 9.

14. Най-голямата стойност на y = −x² + 6x в интервала [0; m], където 0 < m < 3, е 5. Намерете m.

    • 1
    • 5
    • 2
    • 3

    Отговор: 1

    При m 2 + 6m = 5, откъдето m = 1 (коренът 5 не е по-малък от 3).

15. Колко е разликата между най-голямата и най-малката стойност на y = x² − 2x в интервала [−1; 3]?

    • 3
    • 5
    • 4
    • 2

    Отговор: 4

    Най-малката е във върха: y(1) = −1. Най-голямата е в краищата: y(−1) = y(3) = 3. Разликата е 4.

Елементарни нерав.

1. Кое неравенство е вярно за всички положителни a и b?

   • (a + b)/2 ≤ √(ab)
   • a + b ≤ 2√(ab)
   • (a + b)/2 ≥ √(ab)
   • a + b < √(ab)

   Отговор: (a + b)/2 ≥ √(ab)

   Средното аритметично не е по-малко от средното геометрично: a + b − 2√(ab) = (√a − √b)² ≥ 0.

2. Кое неравенство е вярно за всички реални a и b?

   • a² + b² ≥ 2ab
   • a + b ≥ 2ab
   • a² + b² ≤ 2ab
   • a − b ≥ 0

   Отговор: a² + b² ≥ 2ab

   a² + b² − 2ab = (a − b)² ≥ 0.

3. Кое неравенство е вярно за всяко реално число a?

   • a² ≥ 0
   • a > 0
   • a² > a
   • −a < 0

   Отговор: a² ≥ 0

   Квадратът на всяко реално число е неотрицателен.

4. Намерете най-малката стойност на x + 16/x при x > 0.

   • 8
   • 16
   • 4
   • 17

   Отговор: 8

   x + 16/x ≥ 2√16 = 8, с равенство при x = 4.

5. Намерете най-малката стойност на x + 1/x при x > 0.

   • 1
   • 0
   • 2
   • 4

   Отговор: 2

   По неравенството между средно аритметично и средно геометрично x + 1/x ≥ 2, равенство при x = 1.

6. Колко е най-малката стойност на a/b + b/a при a > 0 и b > 0?

   • 1
   • 2
   • 0
   • 4

   Отговор: 2

   Сбор на положително число и реципрочното му е поне 2, с равенство при a = b.

7. Намерете най-малката стойност на 4x + 1/x при x > 0.

   • 5
   • 4
   • 2
   • 1

   Отговор: 4

   4x + 1/x ≥ 2√(4x · 1/x) = 4, с равенство при 4x = 1/x, x = 1/2.

8. Положителните числа a и b имат произведение 25. Колко е най-малкият възможен сбор a + b?

   • 25
   • 10
   • 5
   • 50

   Отговор: 10

   a + b ≥ 2√(ab) = 2 · 5 = 10, равенство при a = b = 5.

9. Числата a и b имат сбор 6. Колко е най-малката стойност на a² + b²?

   • 36
   • 12
   • 18
   • 9

   Отговор: 18

   a² + b² ≥ (a + b)²/2 = 36/2 = 18, с равенство при a = b = 3.

10. Намерете най-малката стойност на a² + 9/a² при a ≠ 0.

    • 6
    • 9
    • 3
    • 10

    Отговор: 6

    a² + 9/a² ≥ 2√9 = 6, с равенство при a² = 3.

11. Намерете най-голямата стойност на 2x/(x² + 1) при x > 0.

    • 1/2
    • 2
    • 4
    • 1

    Отговор: 1

    Тъй като x² + 1 ≥ 2x, дробта е най-много 1, равенство при x = 1.

12. Намерете най-малката стойност на (x + 1)(x + 4)/x при x > 0.

    • 5
    • 4
    • 13
    • 9

    Отговор: 9

    (x + 1)(x + 4)/x = x + 4/x + 5 ≥ 4 + 5 = 9, с равенство при x = 2.

13. Положителните числа x и y са такива, че x + 2y = 8. Намерете най-голямата стойност на xy.

    • 16
    • 8
    • 4
    • 32

    Отговор: 8

    x · 2y ≤ ((x + 2y)/2)² = 16, затова xy ≤ 8, с равенство при x = 4, y = 2.

14. Положителните числа a и b са такива, че a + b = 1. Намерете най-малката стойност на 1/a + 1/b.

    • 4
    • 2
    • 8
    • 1

    Отговор: 4

    (a + b)(1/a + 1/b) ≥ 4, т.е. 1/a + 1/b ≥ 4, равенство при a = b = 1/2.

15. Положителните числа a, b и c имат сбор 3. Колко е най-голямата стойност на abc?

    • 1
    • 3
    • 1/27
    • 27

    Отговор: 1

    ∛(abc) ≤ (a + b + c)/3 = 1, затова abc ≤ 1, с равенство при a = b = c = 1.

Екстремуми в алгебрата

1. Сборът на две числа е 12. Колко е най-голямото възможно тяхно произведение?

   • 35
   • 72
   • 36
   • 144

   Отговор: 36

   x(12 − x) е най-голямо при x = 6: 6 · 6 = 36.

2. Намерете най-малката стойност на y = (x − 3)² + 2.

   • 3
   • 2
   • 0
   • −3

   Отговор: 2

   (x − 3)² ≥ 0, затова y ≥ 2, равенство при x = 3.

3. Колко е най-малката стойност на израза |x − 7| + 3?

   • 7
   • 3
   • 0
   • 10

   Отговор: 3

   |x − 7| ≥ 0, затова изразът е поне 3, при x = 7.

4. Разликата на две числа е 6. Колко е най-малкото възможно тяхно произведение?

   • −9
   • 0
   • 9
   • −6

   Отговор: −9

   x(x − 6) = x² − 6x е най-малко при x = 3: 3 · (−3) = −9.

5. При коя стойност на x изразът x² − 10x + 30 е най-малък?

   • 5
   • −5
   • 10
   • 30

   Отговор: 5

   x² − 10x + 30 = (x − 5)² + 5, най-малък е при x = 5.

6. Колко е най-голямата стойност на израза 4 − 3sin x?

   • 4
   • 1
   • 7
   • 3

   Отговор: 7

   Най-голяма е при sin x = −1: 4 + 3 = 7.

7. Намерете най-малката стойност на y = (x − 1)² + (x − 5)².

   • 16
   • 0
   • 4
   • 8

   Отговор: 8

   y = 2x² − 12x + 26, върхът е при x = 3: y = 4 + 4 = 8.

8. Намерете най-голямата стойност на y = 5 − |x − 2|.

   • 2
   • 3
   • 5
   • 7

   Отговор: 5

   |x − 2| ≥ 0, затова y ≤ 5, равенство при x = 2.

9. Числата x и y са такива, че x + 2y = 5. Колко е най-малката стойност на x² + y²?

   • 25
   • 10
   • 2,5
   • 5

   Отговор: 5

   x = 5 − 2y и x² + y² = 5y² − 20y + 25 = 5(y − 2)² + 5 ≥ 5, при y = 2, x = 1.

10. При цена p евро се продават 100 − 2p броя от стока. Колко е най-големият възможен приход?

    • 2500 евро
    • 1200 евро
    • 1250 евро
    • 625 евро

    Отговор: 1250 евро

    Приходът p(100 − 2p) = −2p² + 100p е най-голям при p = 25: 25 · 50 = 1250 евро.

11. Намерете най-малката стойност на y = x⁴ − 4x² + 1.

    • 1
    • −4
    • −3
    • −1

    Отговор: −3

    Полагаме t = x² ≥ 0: t² − 4t + 1 има най-малка стойност при t = 2, тя е 4 − 8 + 1 = −3.

12. Намерете най-голямата стойност на y = −x⁴ + 2x² + 3.

    • 4
    • 3
    • 5
    • 2

    Отговор: 4

    С t = x² ≥ 0: −t² + 2t + 3 = −(t − 1)² + 4 ≤ 4, при t = 1, т.е. x = ±1.

13. Намерете най-голямата стойност на y = sin²x + 4cos x.

    • 5
    • 1
    • 3
    • 4

    Отговор: 4

    С cos x = t ∈ [−1; 1]: y = −t² + 4t + 1. Върхът t = 2 е вън от [−1; 1], функцията расте, y(1) = 4.

14. Намерете най-голямата стойност на y = cos 2x + 2 sin x.

    • 3
    • 3/2
    • 2
    • 1

    Отговор: 3/2

    cos 2x = 1 − 2sin²x, затова y = −2t² + 2t + 1 при t = sin x ∈ [−1; 1]; най-голяма стойност при t = 1/2: −1/2 + 1 + 1 = 3/2.

15. Намерете най-малката стойност на y = x² + 1/x² − 2(x + 1/x), x ≠ 0.

    • −3
    • 6
    • −2
    • −4

    Отговор: −2

    С t = x + 1/x, |t| ≥ 2: y = t² − 2t − 2. При t ≥ 2 минимумът е при t = 2: −2; при t ≤ −2 стойностите са поне 6.

Геометрични задачи

1. Периметърът на правоъгълник е 36 cm. Колко е най-голямото възможно лице?

   • 36 cm²
   • 81 cm²
   • 72 cm²
   • 324 cm²

   Отговор: 81 cm²

   При даден периметър най-голямо лице има квадратът: 9 · 9 = 81 cm².

2. Кой от правоъгълниците с даден периметър има най-голямо лице?

   • квадратът
   • този със страни в отношение 1 : 2
   • най-тесният
   • всички имат равни лица

   Отговор: квадратът

   При a + b = const произведението ab е най-голямо при a = b, т.е. за квадрата.

3. Кой от триъгълниците с даден периметър има най-голямо лице?

   • равностранният
   • правоъгълният
   • тъпоъгълният
   • равнобедреният правоъгълен

   Отговор: равностранният

   При даден периметър най-голямо лице има равностранният триъгълник.

4. Две страни на триъгълник са 5 cm и 12 cm. Колко е най-голямото възможно лице?

   • 30 cm²
   • 60 cm²
   • 15 cm²
   • 17 cm²

   Отговор: 30 cm²

   S = (1/2) · 5 · 12 · sin γ ≤ 30, с равенство при γ = 90°.

5. Сборът на катетите на правоъгълен триъгълник е 10 cm. Колко е най-голямото възможно лице?

   • 25 cm²
   • 50 cm²
   • 12,5 cm²
   • 10 cm²

   Отговор: 12,5 cm²

   S = ab/2, а при a + b = 10 произведението ab е най-голямо при a = b = 5, т.е. S = 25/2 = 12,5 cm².

6. Две съседни страни на успоредник са 4 cm и 7 cm. Колко е най-голямото възможно лице?

   • 14 cm²
   • 28 cm²
   • 22 cm²
   • 56 cm²

   Отговор: 28 cm²

   S = 4 · 7 · sin α ≤ 28 cm², с равенство при α = 90°.

7. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 10 cm. Колко е най-голямото възможно лице?

   • 50 cm²
   • 24 cm²
   • 25 cm²
   • 100 cm²

   Отговор: 25 cm²

   S = ab/2 ≤ (a² + b²)/4 = 100/4 = 25, с равенство при a = b.

8. Лицето на правоъгълник е 64 cm². Колко е най-малкият възможен периметър?

   • 16 cm
   • 34 cm
   • 64 cm
   • 32 cm

   Отговор: 32 cm

   a + b ≥ 2√(ab) = 16, затова P = 2(a + b) ≥ 32 cm, равенство за квадрат със страна 8 cm.

9. Колко е най-голямото лице на правоъгълник, вписан в окръжност с радиус 5 cm?

   • 25 cm²
   • 100 cm²
   • 50 cm²
   • 25π cm²

   Отговор: 50 cm²

   Диагоналът е диаметър, 10 cm. Лицето е (1/2)d²sin φ ≤ 50 cm², при квадрат.

10. Правоъгълник е вписан в полукръг с радиус 4 cm, като една негова страна лежи на диаметъра. Колко е най-голямото възможно лице?

    • 16 cm²
    • 32 cm²
    • 8 cm²
    • 12 cm²

    Отговор: 16 cm²

    При страна 2x върху диаметъра височината е √(16 − x²) и S = 2x√(16 − x²) ≤ x² + 16 − x² = 16.

11. С ограда от 40 m се загражда правоъгълен участък до стена (покрай стената няма ограда). Колко е най-голямото възможно лице?

    • 100 m²
    • 200 m²
    • 400 m²
    • 160 m²

    Отговор: 200 m²

    Ако страните, перпендикулярни на стената, са x, то S = x(40 − 2x), най-голямо при x = 10: S = 10 · 20 = 200 m².

12. Тел с дължина 24 cm се огъва във формата на правоъгълник. Колко е най-малкият възможен диагонал?

    • 12 cm
    • 6 cm
    • 4√3 cm
    • 6√2 cm

    Отговор: 6√2 cm

    a + b = 12 и d² = a² + b² ≥ (a + b)²/2 = 72, т.е. d ≥ 6√2 cm, при квадрат със страна 6 cm.

13. Сборът на диагоналите на ромб е 14 cm. Колко е най-голямото възможно лице на ромба?

    • 49 cm²
    • 12,25 cm²
    • 24,5 cm²
    • 24 cm²

    Отговор: 24,5 cm²

    S = d₁d₂/2 ≤ ((d₁ + d₂)/2)²/2 = 49/2 = 24,5 cm², при d₁ = d₂ = 7 cm.

14. Триъгълник има основа 8 cm и периметър 18 cm. Колко е най-голямото възможно лице?

    • 12 cm²
    • 20 cm²
    • 16 cm²
    • 24 cm²

    Отговор: 12 cm²

    При дадена основа и сбор на другите две страни 10 cm лицето е най-голямо при равни бедра по 5 cm: височината е 3 cm, S = 8 · 3/2 = 12 cm².

15. Върху страните на квадрат със страна 4 cm (в една посока на обхождане) са взети точки на разстояние x от върховете. Те са върхове на квадрат. Колко е най-малкото му лице?

    • 8 cm²
    • 4 cm²
    • 16 cm²
    • 12 cm²

    Отговор: 8 cm²

    Лицето на вътрешния квадрат е x² + (4 − x)² = 2(x − 2)² + 8 ≥ 8, при x = 2.

Финален въпрос