Успоредник. Свойства
Успоредник е четириъгълник, на който двете двойки срещуположни страни са успоредни. Срещуположните му страни са равни, срещуположните ъгли са равни, а сборът на два съседни ъгъла е 180°. Диагоналите на успоредника се разполовяват от пресечната си точка. Тези свойства помагат да намираме страни, ъгли и периметри.
Какво да запомним
- Срещуположните страни са успоредни и равни.
- Срещуположните ъгли са равни; съседните ъгли са със сбор 180°.
- Диагоналите се разполовяват.
- Периметър: P = 2(a + b).
Пример
В успоредник ∠B = 3·∠A и ∠A + ∠B = 180°, затова 4·∠A = 180° и ∠A = 45°.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Какви са срещуположните страни на успоредника?
- успоредни и равни
- перпендикулярни
- успоредни, но с различна дължина
- равни, но не успоредни
Отговор: успоредни и равни
По определение срещуположните страни на успоредника са успоредни, а от свойствата следва, че са и равни.
В успоредник ABCD ∠B = 3·∠A. Колко градуса е ∠A?
- 60°
- 135°
- 45°
- 30°
Отговор: 45°
Съседните ъгли на успоредника имат сбор 180°: ∠A + 3∠A = 180°, ∠A = 45°.
Диагоналите на успоредник ABCD се пресичат в точка O, AC = 14 cm и BD = 10 cm. На колко е равен сборът AO + BO?
- 24 cm
- 17 cm
- 12 cm
- 6 cm
Отговор: 12 cm
Диагоналите се разполовяват: AO = 7 cm, BO = 5 cm, сборът е 12 cm.
Периметърът на успоредник е 40 cm, а едната му страна е с 4 cm по-дълга от другата. Колко сантиметра е по-дългата страна?
- 8 cm
- 16 cm
- 12 cm
- 22 cm
Отговор: 12 cm
Сборът на две съседни страни е 20 cm: b + (b + 4) = 20, b = 8, по-дългата е 12 cm.
В успоредник ABCD ъглополовящата на ∠D пресича страната AB в точка M, като AM = 5 cm и MB = 3 cm. Колко сантиметра е периметърът?
- 26 cm
- 16 cm
- 21 cm
- 32 cm
Отговор: 26 cm
∠AMD = ∠MDC = ∠ADM (кръстни ъгли и ъглополовяща), затова AD = AM = 5 cm. AB = 8 cm, P = 2(5 + 8) = 26 cm.
Какви са срещуположните ъгли на успоредника?
- със сбор 180°
- винаги прави
- равни
- със сбор 90°
Отговор: равни
В успоредника срещуположните ъгли са равни.
В успоредник ABCD AB = 9 cm и BC = 5 cm. Колко сантиметра е периметърът?
- 14 cm
- 28 cm
- 45 cm
- 23 cm
Отговор: 28 cm
P = 2(9 + 5) = 28 cm.
В успоредник ABCD ∠A + ∠C = 140°. Колко градуса е ∠B?
- 110°
- 70°
- 140°
- 40°
Отговор: 110°
∠A = ∠C = 70°, а ∠B = 180° − 70° = 110°.
В успоредник ABCD диагоналът BD е перпендикулярен на AD, ∠A = 60° и AD = 4 cm. Колко сантиметра е AB?
- 4 cm
- 2 cm
- 12 cm
- 8 cm
Отговор: 8 cm
В правоъгълния ΔABD ∠ABD = 30°, а AD е срещу него, значи AB = 2·AD = 8 cm.
В успоредник ABCD ъглополовящите на ∠A и ∠B се пресичат в точка M. Колко градуса е ∠AMB?
- 60°
- 120°
- 90°
- зависи от ъглите
Отговор: 90°
∠A + ∠B = 180°, половинките им са 90°, значи ∠AMB = 90°.
В успоредник ABCD ∠A = 65°. Колко градуса е ∠C?
- 115°
- 65°
- 25°
- 130°
Отговор: 65°
Срещуположните ъгли на успоредника са равни, затова ∠C = ∠A = 65°.
В успоредник ABCD ∠A = 72°. Колко градуса е ∠D?
- 72°
- 118°
- 18°
- 108°
Отговор: 108°
∠A и ∠D са съседни, сборът им е 180°: 180° − 72° = 108°.
Диагоналите на успоредник ABCD се пресичат в O и OC = 7 cm. Колко сантиметра е AC?
- 7 cm
- 3,5 cm
- 21 cm
- 14 cm
Отговор: 14 cm
Диагоналите се разполовяват, затова AC = 2 · OC = 14 cm.
Периметърът на успоредник ABCD е 30 cm, а AB = 9 cm. Колко сантиметра е BC?
- 21 cm
- 6 cm
- 12 cm
- 3 cm
Отговор: 6 cm
AB + BC = 30 : 2 = 15 cm, затова BC = 15 − 9 = 6 cm.
Сборът на три от ъглите на успоредник е 290°. Колко градуса е четвъртият ъгъл?
- 70°
- 110°
- 290°
- 145°
Отговор: 70°
Сборът на ъглите е 360°, затова четвъртият е 360° − 290° = 70°.