Математика 12 клас: към ДЗИ, първи срок

Статистика

1. Коя е модата на данните 2, 3, 3, 5, 7?

   • 4
   • 5
   • 3
   • 7

   Отговор: 3

   Модата е най-често срещаната стойност.

2. Коя е медианата на данните 5, 1, 8, 3, 9?

   • 8
   • 5
   • 3
   • 5,2

   Отговор: 5

   Подредени: 1, 3, 5, 8, 9. Средният елемент е 5.

3. Колко е средното аритметично на числата 4, 6, 8, 10 и 12?

   • 6
   • 8
   • 10
   • 40

   Отговор: 8

   (4 + 6 + 8 + 10 + 12)/5 = 40/5 = 8.

4. Колко е дисперсията (σ², генерална съкупност) на данните 3, 5, 7, 9, 11?

   • 40
   • 10
   • 8
   • √8

   Отговор: σ² = 8

   Средното е 7, квадратите на отклоненията са 16, 4, 0, 4, 16, сборът е 40, a 40 : 5 = 8.

5. Колко е размахът на данните 14, 3, 9, 21, 7?

   • 21
   • 18
   • 11
   • 7

   Отговор: 18

   Размахът е разликата между най-голямата и най-малката стойност: 21 − 3 = 18.

6. Коя е медианата на данните 2, 4, 7, 9, 10, 12?

   • 7
   • 9
   • 8
   • 7,3

   Отговор: 8

   При четен брой подредени данни медианата е средното на двете средни: (7 + 9)/2 = 8.

7. Оценки на 20 ученици: 3 (2 ученици), 4 (5 ученици), 5 (8 ученици), 6 (5 ученици). Колко е средният успех?

   • 4,50
   • 5,00
   • 4,80
   • 4,75

   Отговор: 4,80

   (3·2 + 4·5 + 5·8 + 6·5) : 20 = 96 : 20 = 4,80.

8. Средното аритметично на 6 числа е 10. Едно от тях, 16, се премахва. Колко е средното аритметично на останалите?

   • 9
   • 10
   • 8,8
   • 7,6

   Отговор: 8,8

   Сборът е 60, без 16 остава 44, а 44 : 5 = 8,8.

9. Към всяка стойност от данни се добавя 5. Как се променя дисперсията?

   • не се променя
   • увеличава се с 5
   • увеличава се с 25
   • увеличава се 5 пъти

   Отговор: не се променя

   Отклоненията от средното не се променят, затова и дисперсията остава същата.

10. От 250 анкетирани 60 предпочитат градски транспорт. Каква е относителната честота на този отговор?

    • 60%
    • 24%
    • 2,4%
    • 40%

    Отговор: 24%

    60 : 250 = 0,24 = 24%.

11. Средното аритметично на 4 числа е 6, а на други 6 числа е 11. Колко е средното аритметично на всичките 10 числа?

    • 8,5
    • 8
    • 17
    • 9

    Отговор: 9

    (4·6 + 6·11) : 10 = (24 + 66) : 10 = 9.

12. Колко е стандартното отклонение (генерална съкупност) на данните 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9?

    • 4
    • √5
    • 3
    • 2

    Отговор: 2

    Средното е 5. Квадратите на отклоненията: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, сбор 32. σ² = 32/8 = 4, σ = 2.

13. В извадка от 200 изделия 6 са дефектни. Колко дефектни изделия очакваме в партида от 5000 броя?

    • 30
    • 150
    • 300
    • 60

    Отговор: 150

    Относителната честота е 6/200 = 0,03, а 0,03·5000 = 150.

14. Данни имат средно аритметично 20 и стандартно отклонение 3. Всяка стойност се умножава по 2 и към нея се добавя 5. Колко е новото стандартно отклонение?

    • 6
    • 11
    • 3
    • 12

    Отговор: 6

    Добавянето на число не променя разсейването, а умножението по 2 удвоява стандартното отклонение: 2·3 = 6.

15. Средният ръст на 20 ученици е 165 cm. Към тях се присъединява още един ученик и средният ръст става 166 cm. Колко е висок новият ученик?

    • 176 cm
    • 186 cm
    • 167 cm
    • 185 cm

    Отговор: 186 cm

    21 · 166 − 20 · 165 = 3486 − 3300 = 186 cm.

Модулни и показателни

1. Решете уравнението 2^x = 32.

   • 16
   • 4
   • 5
   • 6

   Отговор: x = 5

   32 = 2⁵.

2. Решете уравнението 5^x = 1/25.

   • x = 2
   • x = −1/2
   • x = −2
   • x = 1/2

   Отговор: x = −2

   1/25 = 5⁻², затова x = −2.

3. Решете уравнението |x| = 4.

   • x = 4
   • x = −4
   • x = ±4
   • няма решение

   Отговор: x = ±4

   Числата с модул 4 са 4 и −4.

4. Решете уравнението |x − 3| = 5.

   • само 8
   • −2 и 8
   • 2 и 8
   • −8 и 2

   Отговор: x = −2, x = 8

   x − 3 = 5 или x − 3 = −5.

5. Решете уравнението |2x + 1| = 7.

   • x = 3
   • x = −3, x = 4
   • x = 4
   • x = −4, x = 3

   Отговор: x = −4, x = 3

   2x + 1 = 7 дава x = 3, а 2x + 1 = −7 дава x = −4.

6. Решете уравнението 2^{x − 1} = 1.

   • x = 0
   • x = 1
   • x = −1
   • x = 2

   Отговор: x = 1

   1 = 2⁰, затова x − 1 = 0 и x = 1.

7. Решете уравнението 9^x = 27.

   • 3
   • 3/2
   • 2/3
   • 1/3

   Отговор: x = 3/2

   3^2x = 3³, откъдето 2x = 3.

8. Решете уравнението 3^{x + 2} − 3^x = 72.

   • x = 2
   • x = 3
   • x = 1
   • x = 4

   Отговор: x = 2

   3^x(9 − 1) = 72, т.е. 3^x = 9 и x = 2.

9. Решете уравнението |x + 2| = −3.

   • няма решение
   • x = 1
   • x = −5
   • x = 1 и x = −5

   Отговор: няма решение

   Модулът е неотрицателен и не може да е равен на −3.

10. Решете уравнението 4^x − 3·2^x − 4 = 0.

    • 4
    • −1 и 2
    • −1 и 4
    • 2

    Отговор: x = 2

    t = 2^x > 0: t² − 3t − 4 = 0, t = 4 или t = −1 (отхвърля се). 2^x = 4, x = 2.

11. Решете уравнението |x − 1| = 2x + 4.

    • x = −5
    • x = −1
    • x = −5, x = −1
    • няма решение

    Отговор: x = −1

    При x ≥ 1: x − 1 = 2x + 4 дава x = −5, което не е в случая. При x < 1: 1 − x = 2x + 4 дава x = −1. Проверка: |−2| = 2 = 2·(−1) + 4.

12. Решете уравнението (1/2)^x = 4^{x − 3}.

    • x = 3
    • x = −2
    • x = 6
    • x = 2

    Отговор: x = 2

    2^−x = 2^{2x − 6}, откъдето −x = 2x − 6 и x = 2.

13. Намерете сбора от корените на уравнението |x² − 4x| = 3.

    • 4
    • 0
    • 12
    • 8

    Отговор: 8

    x² − 4x = 3 дава два корена със сбор 4, а x² − 4x = −3 дава 1 и 3 (сбор 4). Общо 8.

14. Решете уравнението 2^x + 2^{2 − x} = 5.

    • x = 1, x = 4
    • x = 0, x = 2
    • x = 2
    • x = 0

    Отговор: x = 0, x = 2

    Полагаме t = 2^x > 0: t + 4/t = 5, t² − 5t + 4 = 0, t = 1 или t = 4, т.е. x = 0 или x = 2.

15. Решете уравнението |x − 1| + |x − 3| = 2.

    • x = 1 и x = 3
    • x ∈ [1; 3]
    • x = 2
    • няма решение

    Отговор: x ∈ [1; 3]

    Сборът от разстоянията до 1 и до 3 е поне 2 и е точно 2 за всяко x между 1 и 3.

Логаритмични уравнения

1. Решете уравнението log₃x = 2.

   • 6
   • 9
   • 8
   • 2/3

   Отговор: x = 9

   x = 3² = 9.

2. Решете уравнението log₅x = −1.

   • x = −5
   • x = 5
   • x = 1/5
   • x = −1/5

   Отговор: x = 1/5

   x = 5⁻¹ = 1/5.

3. Решете уравнението log₂x = 0.

   • x = 0
   • x = 2
   • x = 1
   • x = 1/2

   Отговор: x = 1

   x = 2⁰ = 1.

4. Решете уравнението log₂(x − 1) = 3.

   • 7
   • 8
   • 4
   • 9

   Отговор: x = 9

   x − 1 = 2³ = 8.

5. Решете уравнението log₂(x² − 1) = 3.

   • x = 3
   • x = ±3
   • x = ±2
   • x = 9

   Отговор: x = ±3

   x² − 1 = 8, x² = 9, x = ±3, и за двата корена x² − 1 > 0.

6. Решете уравнението lg x = 2.

   • x = 100
   • x = 20
   • x = 2
   • x = 0,01

   Отговор: x = 100

   x = 10² = 100.

7. Решете уравнението lg x + lg(x − 3) = 1.

   • −2 и 5
   • −2
   • 5
   • 10

   Отговор: x = 5

   x(x − 3) = 10, x = 5 или x = −2. ДМ: x > 3, затова остава x = 5.

8. Решете уравнението log₃(x + 1) − log₃(x − 1) = 1.

   • x = 1
   • x = 3
   • x = 4
   • x = 2

   Отговор: x = 2

   При x > 1: (x + 1)/(x − 1) = 3, x + 1 = 3x − 3, x = 2.

9. Решете уравнението log₄x = log₂3.

   • x = 3
   • x = 9
   • x = 6
   • x = 81

   Отговор: x = 9

   log₂3 = log₄9, затова x = 9.

10. Решете уравнението log₂²x − 3log₂x + 2 = 0.

    • 1 и 2
    • само 4
    • 2 и 4
    • 2 и 16

    Отговор: x = 2, x = 4

    Полагаме t = log₂x: t² − 3t + 2 = 0, t = 1 или t = 2.

11. Решете уравнението lg(x² − 15) = lg(2x).

    • x = 5
    • x = −3
    • x = 5, x = −3
    • няма решение

    Отговор: x = 5

    x² − 15 = 2x, x² − 2x − 15 = 0, x = 5 или x = −3. При x = −3 изразът lg(2x) не е дефиниран.

12. Решете уравнението log₂(2^x − 7) = 3 − x.

    • x = 8
    • x = 0
    • x = 3 и x = 0
    • x = 3

    Отговор: x = 3

    2^x − 7 = 8/2^x. При t = 2^x > 0: t² − 7t − 8 = 0, t = 8 (t = −1 отпада), x = 3.

13. Решете уравнението log_x16 = 2.

    • ±4
    • −4
    • 8
    • 4

    Отговор: x = 4

    x² = 16, но основата трябва да е положителна и различна от 1, значи x = 4.

14. Решете уравнението x^log₂x = 8x².

    • x = 8
    • x = 3, x = −1
    • x = 8, x = 1/2
    • x = 1/8, x = 2

    Отговор: x = 8, x = 1/2

    Логаритмуваме при основа 2 и полагаме t = log₂x: t² = 3 + 2t, t = 3 или t = −1, т.е. x = 8 или x = 1/2.

15. Колко корена има уравнението lg(x − 1)² = 2?

    • 1
    • 2
    • 0
    • 4

    Отговор: 2

    (x − 1)² = 100, x − 1 = ±10, x = 11 или x = −9. И двата са допустими, защото (x − 1)² > 0.

Тригонометрични ур.

1. Решете уравнението sin x = 1.

   • x = π/2 + 2kπ
   • x = π/2 + kπ
   • x = kπ
   • x = 2kπ

   Отговор: x = π/2 + 2kπ, k ∈ Z

   sin x = 1 само в една точка от всеки период 2π.

2. Решете уравнението cos x = 0.

   • x = π/2 + kπ, k ∈ Z
   • x = kπ, k ∈ Z
   • x = 2kπ, k ∈ Z
   • x = π + 2kπ, k ∈ Z

   Отговор: x = π/2 + kπ, k ∈ Z

   Косинусът е 0 в точките π/2 и 3π/2 от единичната окръжност, т.е. при x = π/2 + kπ.

3. Решете уравнението cos x = −1.

   • x = π + 2kπ, k ∈ Z
   • x = kπ, k ∈ Z
   • x = π/2 + kπ, k ∈ Z
   • x = 2kπ, k ∈ Z

   Отговор: x = π + 2kπ, k ∈ Z

   cos x = −1 само в точката (−1; 0) от единичната окръжност, т.е. при x = π + 2kπ.

4. Решете уравнението cos x = 1/2.

   • x = ±π/3 + 2kπ
   • x = ±π/6 + 2kπ
   • x = π/3 + kπ
   • x = ±2π/3 + 2kπ

   Отговор: x = ±π/3 + 2kπ, k ∈ Z

   cos(π/3) = 1/2, а косинусът е четен.

5. Решете уравнението sin x = −1/2.

   • x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ
   • x = ±π/3 + 2kπ
   • x = −π/3 + kπ
   • x = −π/6 + 2kπ и x = 7π/6 + 2kπ

   Отговор: x = −π/6 + 2kπ и x = 7π/6 + 2kπ

   sin(−π/6) = −1/2 и sin(π + π/6) = −1/2, а синусът има период 2π.

6. Решете уравнението cotg x = 1.

   • x = π/4 + 2kπ, k ∈ Z
   • x = π/4 + kπ, k ∈ Z
   • x = 3π/4 + kπ, k ∈ Z
   • x = π/2 + kπ, k ∈ Z

   Отговор: x = π/4 + kπ, k ∈ Z

   cotg(π/4) = 1, а периодът на котангенса е π.

7. Решете уравнението tg x = √3.

   • x = π/3 + kπ
   • x = π/6 + kπ
   • x = π/3 + 2kπ
   • x = ±π/3 + kπ

   Отговор: x = π/3 + kπ, k ∈ Z

   tg(π/3) = √3, а периодът на тангенса е π.

8. Решете уравнението tg x = −1.

   • x = −π/4 + kπ, k ∈ Z
   • x = π/4 + kπ, k ∈ Z
   • x = −π/4 + 2kπ, k ∈ Z
   • x = ±π/4 + 2kπ, k ∈ Z

   Отговор: x = −π/4 + kπ, k ∈ Z

   tg(−π/4) = −1, а тангенсът има период π.

9. Решете уравнението sin 2x = 1.

   • x = π/2 + 2kπ, k ∈ Z
   • x = π/4 + 2kπ, k ∈ Z
   • x = π/4 + kπ, k ∈ Z
   • x = π/2 + kπ, k ∈ Z

   Отговор: x = π/4 + kπ, k ∈ Z

   2x = π/2 + 2kπ, откъдето x = π/4 + kπ.

10. Колко решения има уравнението sin x = 0 в интервала [0; 2π]?

    • 3
    • 2
    • 1
    • 4

    Отговор: 3 (0, π, 2π)

    sin x = 0 при x = kπ, в интервала попадат 0, π и 2π.

11. Колко решения има уравнението sin 2x = sin x в интервала [0; 2π)?

    • 2
    • 4
    • 3
    • 5

    Отговор: 4

    sin x(2cos x − 1) = 0: sin x = 0 дава 0 и π, а cos x = 1/2 дава π/3 и 5π/3.

12. Колко решения има уравнението cos²x = 1/4 в интервала [0; 2π)?

    • 2
    • 3
    • 6
    • 4

    Отговор: 4

    cos x = ±1/2 дава x = π/3, 2π/3, 4π/3 и 5π/3.

13. Колко решения има уравнението 2sin²x − 3sin x + 1 = 0 в интервала [0; 2π)?

    • 3
    • 2
    • 4
    • 1

    Отговор: 3

    sin x = 1 (x = π/2) или sin x = 1/2 (x = π/6, 5π/6).

14. Колко решения има уравнението sin x + cos x = 1 в интервала [0; 2π)?

    • 2
    • 1
    • 3
    • 4

    Отговор: 2

    √2·sin(x + π/4) = 1, т.е. sin(x + π/4) = √2/2. В интервала решенията са x = 0 и x = π/2.

15. Решете уравнението sin x · cos x = 1/4.

    • x = π/12 + kπ и x = 5π/12 + kπ, k ∈ Z
    • x = π/6 + kπ и x = 5π/6 + kπ, k ∈ Z
    • x = π/12 + 2kπ, k ∈ Z
    • x = π/24 + kπ/2, k ∈ Z

    Отговор: x = π/12 + kπ и x = 5π/12 + kπ, k ∈ Z

    Уравнението е sin 2x = 1/2, т.е. 2x = π/6 + 2kπ или 2x = 5π/6 + 2kπ, откъдето x = π/12 + kπ или x = 5π/12 + kπ.

Неравенства

1. Решете неравенството 2^x > 8.

   • x < 3
   • x > 4
   • x > 8
   • x > 3

   Отговор: x ∈ (3; +∞)

   2^x > 2³, основата 2 > 1, знакът се запазва.

2. Решете неравенството |x| ≥ 2.

   • x ∈ [−2; 2]
   • x ∈ (−2; 2)
   • x ∈ (−∞; −2] ∪ [2; +∞)
   • x ∈ [2; +∞)

   Отговор: x ∈ (−∞; −2] ∪ [2; +∞)

   Числата, които са на разстояние поне 2 от нулата, са x ≤ −2 или x ≥ 2.

3. Решете неравенството |x| < 3.

   • x ∈ (−3; 3)
   • x ∈ (−∞; 3)
   • x ∈ (3; +∞)
   • x ∈ (−∞; −3) ∪ (3; +∞)

   Отговор: x ∈ (−3; 3)

   Числата на разстояние, по-малко от 3, от нулата са между −3 и 3.

4. Решете неравенството log₃x < 2.

   • 0 < x < 9
   • x < 9
   • x < 6
   • x > 9

   Отговор: x ∈ (0; 9)

   x 2 = 9 и x > 0 (ДМ).

5. Решете неравенството (1/3)^x < 9.

   • x < −2
   • x > 2
   • x > −2
   • x < 2

   Отговор: x > −2

   9 = (1/3)⁻², а функцията с основа 1/3 е намаляваща, затова x > −2.

6. Решете неравенството log₂x > 0.

   • x > 0
   • x > 1
   • x > 2
   • 0 < x < 1

   Отговор: x > 1

   log₂x > log₂1 и основата е по-голяма от 1, затова x > 1.

7. Решете неравенството |x² − 5| < 4.

   • x ∈ (−3; 3)
   • x ∈ (−3; −1) ∪ (1; 3)
   • x ∈ (1; 3)
   • x ∈ (−∞; −3) ∪ (3; +∞)

   Отговор: (−3; −1) ∪ (1; 3)

   −4 2 − 5 2 < 9.

8. Решете неравенството lg(x − 2) < 1.

   • x ∈ (2; 12)
   • x ∈ (−∞; 12)
   • x ∈ (2; 3)
   • x ∈ (12; +∞)

   Отговор: x ∈ (2; 12)

   Условия: x − 2 > 0 и x − 2 < 10, т.е. 2 < x < 12.

9. Решете неравенството 3^{2x − 1} ≤ 27.

   • x ≤ 1
   • x ≥ 2
   • x ≤ 2
   • x ≤ 3

   Отговор: x ≤ 2

   27 = 3³, основата е по-голяма от 1: 2x − 1 ≤ 3, x ≤ 2.

10. Решете неравенството √(x + 2) < x.

    • x ∈ (2; +∞)
    • x ∈ [−2; −1) ∪ (2; +∞)
    • x ∈ (−1; 2)
    • x ∈ [−2; +∞)

    Отговор: (2; +∞)

    Нужно е x > 0 и x + 2 2, т.е. x² − x − 2 > 0: x > 2 (другият интервал x 0).

11. Решете неравенството √(x + 3) ≤ x + 1.

    • x ∈ [−3; −2] ∪ [1; +∞)
    • x ∈ [−1; +∞)
    • x ∈ (−∞; −2] ∪ [1; +∞)
    • x ∈ [1; +∞)

    Отговор: x ∈ [1; +∞)

    Нужно е x + 1 ≥ 0 и x + 3 ≤ (x + 1)², т.е. x² + x − 2 ≥ 0. При x ≥ −1 това дава x ≥ 1.

12. Решете неравенството |x − 2| > 2x − 1.

    • x > 1
    • x < −1
    • x ∈ (−1; 1)
    • x < 1

    Отговор: x < 1

    При x ≥ 2: x − 2 > 2x − 1 дава x 2x − 1 дава x < 1.

13. Решете неравенството log_0,5(x − 1) > −2.

    • x ∈ (5; +∞)
    • x ∈ (−∞; 5)
    • x ∈ (1; 4)
    • x ∈ (1; 5)

    Отговор: (1; 5)

    ДМ: x > 1. Основата е между 0 и 1, знакът се обръща: x − 1 −2 = 4.

14. Решете неравенството 4^x − 2^{x + 1} − 8 > 0.

    • x > 4
    • x < 2
    • −2 < x < 4
    • x > 2

    Отговор: x > 2

    Полагаме t = 2^x > 0: t² − 2t − 8 > 0, (t − 4)(t + 2) > 0, t > 4, т.е. x > 2.

15. Решете неравенството log₂(x − 1) + log₂(x + 1) < 3.

    • x ∈ (−3; 3)
    • x ∈ (1; 3)
    • x ∈ (3; +∞)
    • x ∈ (−1; 3)

    Отговор: x ∈ (1; 3)

    Допустими са x > 1. Тогава log₂(x² − 1) 2 − 1 2 < 9. С ДМ: 1 < x < 3.

Финален въпрос