Математика 12 клас: Статистика

Честоти

1. От 40 ученици 10 имат отличен успех. Колко е относителната честота на отличните?

   • 10%
   • 40%
   • 4%
   • 25%

   Отговор: 25%

   10/40 = 0,25 = 25%.

2. Стойностите на данни имат абсолютни честоти 4, 7 и 9. Колко е обемът на данните?

   • 9
   • 3
   • 20
   • 63

   Отговор: 20

   Обемът е сборът на абсолютните честоти: 4 + 7 + 9 = 20.

3. На колко е равен сборът на относителните честоти на всички стойности в едни данни?

   • 0
   • 100
   • 1
   • на обема на данните

   Отговор: 1

   Относителните честоти са части от цялото, затова сборът им е 1 (или 100%).

4. Колко е абсолютната честота на стойността 5 в данните 2, 4, 4, 5, 5, 5, 6?

   • 5
   • 3
   • 3/7
   • 15

   Отговор: 3

   Числото 5 се среща 3 пъти.

5. Стойност има относителна честота 0,15 в данни с обем 60. Колко е абсолютната ѝ честота?

   • 15
   • 9
   • 4
   • 6

   Отговор: 9

   Абсолютната честота е 0,15·60 = 9.

6. Кой вид диаграма е най-подходящ за представяне на дяловете от едно цяло?

   • линейна
   • кръгова
   • точкова
   • хистограма

   Отговор: кръгова

   Кръговата диаграма показва всяка група като сектор, пропорционален на дела ѝ.

7. Данни са групирани в интервали [0; 10), [10; 20), [20; 30), [30; 40) с честоти 3, 7, 6, 4. Коя е средата на интервала с най-голяма честота?

   • 7
   • 25
   • 15
   • 10

   Отговор: 15

   Най-голяма е честотата 7 на интервала [10; 20), средата му е 15.

8. В клас от 25 ученици 5 имат оценка 6, 10 имат 5, 7 имат 4 и 3 имат 3. Колко е относителната честота на оценките под 5?

   • 28%
   • 12%
   • 60%
   • 40%

   Отговор: 40%

   Под 5 са 7 + 3 = 10 ученици, а 10/25 = 0,4 = 40%.

9. Данни със стойности от 18 до 57 се групират в интервали с ширина 10, като първият е [10; 20). Колко интервала са нужни?

   • 4
   • 6
   • 3
   • 5

   Отговор: 5

   Интервалите са [10; 20), [20; 30), [30; 40), [40; 50) и [50; 60), т.е. 5.

10. Четири групи имат относителни честоти 0,1; 0,35; x и 0,15. Намерете x.

    • 0,6
    • 0,35
    • 0,5
    • 0,4

    Отговор: 0,4

    Сборът на относителните честоти е 1: x = 1 − 0,6 = 0,4.

11. Данни са групирани в 5 интервала с честоти 5, 12, 18, 10 и 5. Какъв процент от данните е в последните два интервала?

    • 15%
    • 10%
    • 36%
    • 30%

    Отговор: 30%

    Обемът е 50, а в последните два интервала са 10 + 5 = 15 стойности: 15/50 = 30%.

12. Абсолютните честоти на три групи се отнасят както 2 : 3 : 5. Колко е относителната честота на третата група?

    • 0,5
    • 0,3
    • 0,25
    • 0,2

    Отговор: 0,5

    Общо има 2 + 3 + 5 = 10 части, а третата група е 5/10 = 0,5.

13. Група с относителна честота 15% се представя в кръгова диаграма. Колко градуса е секторът ѝ?

    • 54°
    • 15°
    • 45°
    • 36°

    Отговор: 54°

    0,15 · 360° = 54°.

14. В анкета 35% са избрали отговор A, 45% отговор B, а останалите отговор C. Отговор C са дали 32 души. Колко души са анкетирани?

    • 160
    • 128
    • 200
    • 96

    Отговор: 160

    Отговор C е дал 100% − 35% − 45% = 20%, затова анкетираните са 32 : 0,2 = 160.

15. Стойностите 1, 2, 3 и 4 имат честоти x, 2x, 3x и 4x, а обемът на данните е 50. Колко е честотата на стойността 4?

    • 10
    • 15
    • 20
    • 25

    Отговор: 20

    10x = 50, откъдето x = 5 и честотата на 4 е 4 · 5 = 20.

Акумулирани честоти

1. Стойностите 1, 2, 3, 4 имат честоти 3, 5, 8, 4. Колко е акумулираната честота на стойността 3?

   • 16
   • 8
   • 13
   • 20

   Отговор: 16

   3 + 5 + 8 = 16.

2. Четири групи имат честоти 2, 6, 7 и 5. Кои са акумулираните им честоти?

   • 2, 8, 15, 20
   • 2, 8, 14, 20
   • 20, 18, 12, 5
   • 2, 6, 7, 5

   Отговор: 2, 8, 15, 20

   Всяка акумулирана честота е сборът на честотите до тази група: 2, 2 + 6 = 8, 8 + 7 = 15, 15 + 5 = 20.

3. На какво е равна акумулираната честота на последната група в таблица?

   • на 0
   • на 1
   • на обема на данните
   • на най-голямата честота

   Отговор: на обема на данните

   Акумулираната честота на последната група събира всички честоти, т.е. е равна на обема.

4. Ръстовете на ученици са групирани: [150; 160) - 4, [160; 170) - 10, [170; 180) - 12, [180; 190) - 4. Колко ученици са под 170 cm?

   • 10
   • 14
   • 26
   • 4

   Отговор: 14

   4 + 10 = 14.

5. Акумулираните относителни честоти на четири групи са 0,1; 0,4; 0,75 и 1. Каква част от данните е в първите две групи?

   • 0,5
   • 0,3
   • 0,4
   • 0,75

   Отговор: 0,4

   Акумулираната относителна честота на втората група показва дела на първите две групи: 0,4.

6. Как се изменят акумулираните честоти от първата към последната група?

   • намаляват
   • не намаляват
   • остават постоянни
   • се редуват

   Отговор: не намаляват

   Към всяка следваща се добавя неотрицателна честота, затова акумулираните честоти не намаляват.

7. Акумулираните честоти на четири групи са 6, 15, 27 и 30. Колко е честотата на третата група?

   • 27
   • 9
   • 15
   • 12

   Отговор: 12

   27 − 15 = 12.

8. Акумулираните честоти на пет групи са 4, 11, 20, 25 и 30. В коя група е медианата?

   • във втората
   • в четвъртата
   • в петата
   • в третата

   Отговор: в третата

   Обемът е 30, медианата е между 15-ата и 16-ата стойност, а те са в третата група (от 12-ата до 20-ата стойност).

9. Акумулираните честоти на групите [0; 10), [10; 20), [20; 30) и [30; 40) са 5, 13, 22 и 25. Колко данни са в [10; 30)?

   • 22
   • 9
   • 13
   • 17

   Отговор: 17

   В [10; 30) са данните след първата група до края на третата: 22 − 5 = 17.

10. Акумулираните относителни честоти на четири групи са 0,2; 0,45; 0,8 и 1. Колко е относителната честота на втората група?

    • 0,25
    • 0,45
    • 0,2
    • 0,65

    Отговор: 0,25

    0,45 − 0,2 = 0,25.

11. Акумулираните честоти на оценките 2, 3, 4, 5 и 6 са 1, 4, 12, 22 и 30. Колко ученици имат оценка поне 5?

    • 10
    • 22
    • 8
    • 18

    Отговор: 18

    До оценка 4 включително са 12 ученици, затова с оценка 5 или 6 са 30 − 12 = 18.

12. Акумулираните относителни честоти на четири групи са 0,15; 0,4; 0,7 и 1, а обемът е 200. Колко данни има в четвъртата група?

    • 60
    • 200
    • 140
    • 30

    Отговор: 60

    Относителната честота на четвъртата група е 1 − 0,7 = 0,3, а 0,3 · 200 = 60.

13. Стойностите 1, 2, 3, 4, 5 имат честоти 2, 5, 9, 3, 1. Коя е медианата?

    • 2
    • 3
    • 2,5
    • 4

    Отговор: 3

    Обемът е 20. Акумулираните честоти са 2, 7, 16, ..., затова 10-ата и 11-ата стойност са 3.

14. Стойностите 1, 2, 3 и 4 имат акумулирани относителни честоти 0,2; 0,5; 0,9 и 1. Колко е средното аритметично на данните?

    • 2,5
    • 2,4
    • 2,6
    • 3

    Отговор: 2,4

    Относителните честоти са 0,2; 0,3; 0,4 и 0,1, затова средното е 1·0,2 + 2·0,3 + 3·0,4 + 4·0,1 = 2,4.

15. Стойностите 10, 20, 30 и 40 имат акумулирани честоти 3, 10, 14 и 20. Коя е модата?

    • 40
    • 30
    • 20
    • 10

    Отговор: 20

    Честотите са 3, 7, 4 и 6. Най-голямата е 7, на стойността 20.

Средни стойности

1. Колко е средното аритметично на 4, 7, 10 и 11?

   • 7
   • 8,5
   • 32
   • 8

   Отговор: 8

   (4 + 7 + 10 + 11)/4 = 32/4 = 8.

2. Коя е модата на данните 4, 6, 6, 8, 9, 6, 4?

   • 4
   • 7
   • 6
   • 9

   Отговор: 6

   Модата е стойността с най-голяма честота: 6 се среща 3 пъти.

3. Кое от изброените е мярка за централна тенденция?

   • медианата
   • размахът
   • дисперсията
   • стандартното отклонение

   Отговор: медианата

   Медианата показва „средата“ на данните, а другите са мерки за разсейване.

4. Коя е медианата на данните 9, 2, 7, 4, 12, 5?

   • 7
   • 5
   • 6,5
   • 6

   Отговор: 6

   Подредени: 2, 4, 5, 7, 9, 12. Медианата е (5 + 7)/2 = 6.

5. Коя е медианата на данните 3, 8, 1, 6, 10?

   • 5,6
   • 8
   • 6
   • 3

   Отговор: 6

   Подредени: 1, 3, 6, 8, 10. Средният елемент е 6.

6. Кои данни имат две моди?

   • 1, 2, 3, 4
   • 1, 2, 2, 3, 3, 4
   • 2, 2, 2, 3
   • 1, 1, 2, 3, 4

   Отговор: 1, 2, 2, 3, 3, 4

   В 1, 2, 2, 3, 3, 4 стойностите 2 и 3 се срещат най-често, по два пъти.

7. Средното аритметично на 5 числа е 12. Добавя се числото 18. Колко е новото средно?

   • 15
   • 12,5
   • 13
   • 14

   Отговор: 13

   Сборът става 60 + 18 = 78, а 78/6 = 13.

8. Средното аритметично на 8 числа е 15. Едно от тях, 15, се заменя с 31. Колко е новото средно аритметично?

   • 16
   • 15
   • 19
   • 17

   Отговор: 17

   Сборът става 120 + 16 = 136, а 136 : 8 = 17.

9. Към данните 4, 6, 8, 10, 12 се добавя числото 100. Коя средна стойност се променя повече?

   • медианата
   • и двете еднакво
   • нито една
   • средното аритметично

   Отговор: средното аритметично

   Средното аритметично става 140/6 ≈ 23,3 вместо 8, а медианата става 9.

10. Средният успех на 10 момичета е 5,50, а на 15 момчета е 4,50. Колко е средният успех на целия клас?

    • 5,00
    • 4,90
    • 5,10
    • 4,80

    Отговор: 4,90

    (10 · 5,5 + 15 · 4,5)/25 = (55 + 67,5)/25 = 4,9.

11. Средната заплата в отдел с 9 служители е 1500 евро. Назначават нов служител и средната заплата става 1600 евро. Колко е заплатата на новия служител?

    • 1600 евро
    • 2500 евро
    • 1700 евро
    • 3100 евро

    Отговор: 2500 евро

    Новият сбор е 10·1600 = 16 000, старият е 9·1500 = 13 500, разликата е 2500 евро.

12. В клас 5 ученици имат оценка 6, 10 ученици имат 5 и 5 ученици имат 4. Колко е средният успех?

    • 5,00
    • 4,90
    • 5,10
    • 4,80

    Отговор: 5,00

    (5 · 6 + 10 · 5 + 5 · 4)/20 = 100/20 = 5,00.

13. Данните 3, 5, x, 8, 10 имат средно аритметично 7. Намерете x.

    • 9
    • 7
    • 8
    • 6

    Отговор: 9

    Сборът е 35: 26 + x = 35, x = 9.

14. Четири числа имат средно аритметично 10. Три от тях са 6, 9 и 13. Колко е медианата на четирите числа?

    • 11
    • 10,5
    • 10
    • 9,5

    Отговор: 10,5

    Четвъртото число е 40 − 28 = 12. Подредени: 6, 9, 12, 13, медианата е (9 + 12)/2 = 10,5.

15. Средното аритметично на 10 числа е 20. Махат се две от тях, чието средно аритметично е 30. Колко е средното аритметично на останалите?

    • 15
    • 18
    • 17,5
    • 20

    Отговор: 17,5

    Сборът е 200, махат се 60 и остават 140 за 8 числа: 140/8 = 17,5.

Разсейване

1. Колко е размахът на данните 12, 7, 20, 15, 9?

   • 8
   • 20
   • 13
   • 11

   Отговор: 13

   20 − 7 = 13.

2. Колко е дисперсията на данните 5, 5, 5, 5?

   • 5
   • 1
   • 0
   • 25

   Отговор: 0

   Всички стойности са равни на средното, затова отклоненията и дисперсията са 0.

3. Как се нарича разликата между най-голямата и най-малката стойност в данни?

   • медиана
   • размах
   • мода
   • средно аритметично

   Отговор: размах

   Размахът е най-голямата минус най-малката стойност.

4. Колко е дисперсията σ² на данните 2, 4, 6?

   • 4
   • 2
   • 8/3
   • 8

   Отговор: 8/3

   Средното е 4, квадратите на отклоненията са 4, 0, 4: σ² = 8/3.

5. Размахът на едни данни е 12, а най-малката стойност е 7. Колко е най-голямата стойност?

   • 19
   • 5
   • 12
   • 84

   Отговор: 19

   Размахът е най-голямата минус най-малката стойност: 7 + 12 = 19.

6. Как се получава стандартното отклонение от дисперсията?

   • умножава се по 2
   • повдига се на квадрат
   • извлича се квадратен корен
   • дели се на обема

   Отговор: извлича се квадратен корен

   σ = √(σ²).

7. Всички данни се увеличават с 5. Какво става с дисперсията?

   • не се променя
   • се увеличава с 5
   • се увеличава с 25
   • се увеличава 5 пъти

   Отговор: не се променя

   Отклоненията от средното не се променят, затова и дисперсията остава същата.

8. Колко е дисперсията σ² на данните 1, 2, 3, 4, 5?

   • 2,5
   • 2
   • √2
   • 10

   Отговор: 2

   Средното е 3, квадратите на отклоненията са 4, 1, 0, 1, 4, а σ² = 10 : 5 = 2.

9. Средното аритметично на квадратите на данните е 30, а средното аритметично на данните е 5. Колко е дисперсията?

   • 25
   • 30
   • √5
   • 5

   Отговор: 5

   σ² = (средно на x²) − (средно)² = 30 − 25 = 5.

10. Всички данни се умножават по 3. Какво става със стандартното отклонение?

    • се умножава по 3
    • се умножава по 9
    • не се променя
    • се увеличава с 3

    Отговор: се умножава по 3

    Отклоненията се умножават по 3, дисперсията по 9, а коренът от нея по 3.

11. Коя от редиците данни със средно 5 има най-голямо стандартно отклонение?

    • 1, 5, 9
    • 4, 5, 6
    • 3, 5, 7
    • 5, 5, 5

    Отговор: 1, 5, 9

    При 1, 5, 9 стойностите са най-далеч от средното 5 (σ² = 32/3).

12. Двама стрелци имат еднакъв среден резултат, но стандартни отклонения 1,2 и 2,5. Кой стреля по-стабилно?

    • първият
    • вторият
    • еднакво
    • не може да се каже

    Отговор: първият

    По-малкото стандартно отклонение означава по-малко разсейване около средното.

13. Колко е стандартното отклонение σ на данните 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9?

    • 4
    • 2
    • 5
    • √2

    Отговор: 2

    Средното е 40/8 = 5. Квадратите на отклоненията са 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16 със сбор 32: σ² = 4, σ = 2.

14. Пет числа имат средно аритметично 10 и стандартно отклонение 2. Колко е сборът на квадратите им?

    • 500
    • 520
    • 104
    • 20

    Отговор: 520

    σ² = (средно на квадратите) − (средно)²: 4 = m − 100, m = 104, а сборът е 5·104 = 520.

15. Дисперсията на данни е 5. Всяко число се умножава по −2 и към него се добавя 3. Колко става дисперсията?

    • −10
    • 20
    • 10
    • 23

    Отговор: 20

    Добавянето на число не променя дисперсията, а умножението по k я умножава по k² = 4: 5 · 4 = 20.

Извадки и оценки

1. Монета е хвърлена 200 пъти и 108 пъти се е паднало ези. Колко е относителната честота на ези?

   • 0,5
   • 1,08
   • 0,54
   • 0,46

   Отговор: 0,54

   108/200 = 0,54.

2. Коя извадка е най-подходяща за проучване на мнението на учениците в едно училище?

   • учениците от един клас
   • само отличниците
   • случайно избрани ученици от всички класове
   • приятелите на анкетьора

   Отговор: случайно избрани ученици от всички класове

   Представителна е извадката, в която всеки ученик има еднакъв шанс да бъде избран.

3. Как се нарича цялата съвкупност, от която се избира извадка?

   • мода
   • генерална съвкупност
   • честота
   • интервал

   Отговор: генерална съвкупност

   Извадката е част от генералната съвкупност.

4. В анкета с 400 души 120 подкрепят предложение. Каква е оценката за дела на поддръжниците?

   • 12%
   • 40%
   • 30%
   • 70%

   Отговор: 30%

   120/400 = 0,3 = 30%.

5. В училище с 800 ученици са анкетирани 50. Колко е обемът на извадката?

   • 800
   • 750
   • 16
   • 50

   Отговор: 50

   Обемът на извадката е броят на анкетираните: 50.

6. Защо извадката трябва да е случайна?

   • за да е по-малка
   • за да е по-евтина
   • за да е представителна
   • за да няма разсейване

   Отговор: за да е представителна

   Случайният избор дава на всеки елемент шанс да попадне в извадката и така тя отразява цялото.

7. В езеро са уловени, маркирани и пуснати 100 риби. По-късно от 150 уловени риби 6 са маркирани. Колко риби има приблизително в езерото?

   • 2500
   • 900
   • 600
   • 15000

   Отговор: 2500

   Делът на маркираните е 6/150 = 4%, затова 100 риби са около 4% от всички: 100/0,04 = 2500.

8. Стрелец е уцелил 42 от 60 изстрела. Каква е оценката за вероятността да уцели при следващ изстрел?

   • 0,7
   • 0,42
   • 0,6
   • 0,3

   Отговор: 0,7

   Оценката е относителната честота: 42/60 = 0,7.

9. Кой начин на избор дава непредставителна извадка за спортните навици на жителите на град?

   • жребий от списък на всички жители
   • случайни номера от регистъра на населението
   • пропорционален избор по възраст и квартал
   • анкета само сред посетителите на един фитнес

   Отговор: анкета само сред посетителите на един фитнес

   Посетителите на фитнес спортуват повече от средния жител, затова оценката ще е изкривена.

10. Зар се хвърля 600 пъти. Колко пъти очакваме приблизително да се падне шестица?

    • 60
    • 6
    • 300
    • 100

    Отговор: 100

    600 · 1/6 = 100.

11. Зар е хвърлен 300 пъти и шестица се е паднала 80 пъти. С колко относителната честота на шестиците надвишава теоретичната вероятност 1/6?

    • 0,1
    • 0,03
    • 0,2
    • 0,27

    Отговор: 0,1

    80/300 = 4/15, а 4/15 − 1/6 = 8/30 − 5/30 = 1/10 = 0,1.

12. Какво става по правило с точността на оценката, когато обемът на случайната извадка се увеличи?

    • увеличава се
    • намалява
    • не се променя
    • зависи само от модата

    Отговор: увеличава се

    При по-голяма случайна извадка случайните отклонения се компенсират и оценката е по-точна.

13. От 250 анкетирани избиратели 90 подкрепят кандидат. Колко поддръжници се очакват сред 40 000 избиратели?

    • 9 000
    • 14 400
    • 3 600
    • 25 600

    Отговор: 14 400

    90/250 = 0,36, а 0,36 · 40 000 = 14 400.

14. В училище има 300 ученици от 8. до 10. клас и 200 от 11. и 12. клас. Прави се пропорционална извадка от 50 ученици. Колко от тях трябва да са от 11. и 12. клас?

    • 20
    • 25
    • 30
    • 10

    Отговор: 20

    Делът на 11. и 12. клас е 200/500 = 0,4, а 0,4·50 = 20.

15. Средната височина в случайна извадка от 50 ученици е 168 cm. Какво е 168 cm за всички ученици в училището?

    • точната средна височина
    • медианата на училището
    • точкова оценка на средната височина
    • размахът на височините

    Отговор: точкова оценка на средната височина

    Средното от извадката е точкова оценка на неизвестното средно на генералната съвкупност.

Финален въпрос