Математика 12 клас: Уравнения

Модулни уравнения

1. Решете уравнението |x² − 1| = 3.

   • −2 и 2
   • само 2
   • −2, 0 и 2
   • няма решение

   Отговор: −2 и 2

   x² − 1 = 3 дава x = ±2, а x² − 1 = −3 няма решение.

2. Решете уравнението |x² − 9| = 0.

   • 3
   • 9
   • −9 и 9
   • −3 и 3

   Отговор: −3 и 3

   |A| = 0 ⇔ A = 0, т.е. x² = 9 и x = ±3.

3. Решете уравнението |x − 3| = 5.

   • 8 и −2
   • 8
   • −8 и 2
   • 2 и 8

   Отговор: 8 и −2

   x − 3 = 5 или x − 3 = −5, откъдето x = 8 или x = −2.

4. Колко корена има уравнението |x² − 5x| = 6?

   • 2
   • 3
   • 4
   • 1

   Отговор: 4

   x² − 5x = 6 дава 6 и −1, а x² − 5x = −6 дава 2 и 3.

5. Решете уравнението |x² + 1| = 5.

   • −2 и 2
   • −√6 и √6
   • 2
   • −2, 2, −√6 и √6

   Отговор: −2 и 2

   x² + 1 > 0, затова x² + 1 = 5, x² = 4 и x = ±2.

6. Решете уравнението |2x + 1| = |x − 4|.

   • 5 и −1
   • −5 и 1
   • 1
   • −5

   Отговор: −5 и 1

   2x + 1 = x − 4 дава x = −5, а 2x + 1 = −(x − 4) дава x = 1.

7. Решете уравнението |x² − 4| = 5.

   • −3, −1, 1 и 3
   • −3 и 3
   • само 3
   • −1 и 1

   Отговор: −3 и 3

   x² − 4 = 5 дава x = ±3, а x² − 4 = −5 няма решение.

8. Кой е най-големият корен на уравнението |x² − 6x| = 7?

   • 7
   • 3 + √2
   • 6
   • −1

   Отговор: 7

   x² − 6x = 7 дава x = 7 и x = −1, а x² − 6x = −7 дава x = 3 ± √2. Най-големият корен е 7.

9. Решете уравнението x² − 5|x| + 6 = 0.

   • 2 и 3
   • −2 и −3
   • −3, −2, 2 и 3
   • няма решение

   Отговор: −3, −2, 2 и 3

   С t = |x|: t² − 5t + 6 = 0, t = 2 или t = 3, следователно x = ±2 и x = ±3.

10. При коя стойност на m уравнението |x² − 4x| = m има точно 3 корена?

    • m = 0
    • m = 2
    • m = 4
    • m = 8

    Отговор: m = 4

    Графиката на |x² − 4x| има връх (2; 4) след отразяването. Правата y = 4 я пресича в 3 точки: 2 и 2 ± 2√2.

11. Решете уравнението |2x² − 3x| = 2.

    • −1/2 и 2
    • 2
    • 1/2 и −2
    • −1/2, 1 и 2

    Отговор: −1/2 и 2

    2x² − 3x − 2 = 0 дава x = 2 и x = −1/2, а 2x² − 3x + 2 = 0 няма реални корени (D = −7).

12. Решете уравнението |x − 1| + |x − 3| = 2.

    • x = 1 и x = 3
    • x = 2
    • няма решение
    • x ∈ [1; 3]

    Отговор: x ∈ [1; 3]

    Сборът на разстоянията от x до 1 и до 3 е равен на 2 точно когато x е между 1 и 3.

13. Намерете сбора от корените на уравнението |x² − 2x − 3| = 5.

    • 2
    • 4
    • 6
    • 0

    Отговор: 2

    x² − 2x − 3 = 5 дава 4 и −2, а x² − 2x + 2 = 0 няма реални корени. Сборът е 2.

14. При кои стойности на m уравнението |x² − 2x − 3| = m има точно 4 корена?

    • m > 4
    • m = 4
    • 0 < m < 4
    • m ≥ 0

    Отговор: 0 < m < 4

    Най-малката стойност на x² − 2x − 3 е −4. Графиката на модула има „гърбица“ с височина 4, а правата y = m я пресича в 4 точки при 0 < m < 4.

15. Решете уравнението |x² − 3x| = x.

    • 0, 2 и 4
    • 2 и 4
    • 0 и 4
    • −2, 0 и 4

    Отговор: 0, 2 и 4

    Нужно е x ≥ 0. От x² − 3x = x: x = 0 или 4; от x² − 3x = −x: x = 0 или 2.

Показателни уравнения

1. Решете уравнението 3^{x − 1} = 27.

   • 4
   • 3
   • 2
   • 9

   Отговор: 4

   27 = 3³, затова x − 1 = 3, x = 4.

2. Решете уравнението 10^x = 0,001.

   • −3
   • 3
   • −1/3
   • 1/3

   Отговор: −3

   0,001 = 10⁻³, затова x = −3.

3. Решете уравнението 5^x = 125.

   • 25
   • 3
   • 5
   • 1/3

   Отговор: 3

   125 = 5³, затова x = 3.

4. Решете уравнението (1/2)^x = 8.

   • −3
   • 3
   • 1/3
   • −1/3

   Отговор: −3

   (1/2)^x = 2^−x = 2³, затова x = −3.

5. Решете уравнението 25^x = 1/5.

   • 1/2
   • −2
   • −1/2
   • 2

   Отговор: −1/2

   5^2x = 5⁻¹, 2x = −1, x = −1/2.

6. Решете уравнението 4^x = 8.

   • 2
   • 2/3
   • 3/2
   • 1/2

   Отговор: 3/2

   2^2x = 2³, откъдето 2x = 3 и x = 3/2.

7. Решете уравнението 2^{x2 − x} = 4.

   • 1 и −2
   • −1 и 2
   • само 2
   • 0 и 1

   Отговор: −1 и 2

   x² − x = 2, x² − x − 2 = 0, x = −1 или x = 2.

8. Решете уравнението 2^x = 3^x.

   • 1
   • няма решение
   • всяко реално x
   • 0

   Отговор: 0

   Делим на 3^x > 0: (2/3)^x = 1, откъдето x = 0.

9. Решете уравнението (2/3)^x = (9/4)^{x − 3}.

   • 3
   • −2
   • 6
   • 2

   Отговор: 2

   9/4 = (2/3)⁻², така че x = −2(x − 3), 3x = 6 и x = 2.

10. Решете уравнението 9^x − 4 · 3^x + 3 = 0.

    • 1 и 3
    • 0 и 1
    • само 1
    • 0 и 3

    Отговор: 0 и 1

    С 3^x = t: t² − 4t + 3 = 0, t = 1 или t = 3, откъдето x = 0 или x = 1.

11. Решете уравнението 3^{2x + 1} − 10·3^x + 3 = 0.

    • 1
    • −1 и 1
    • 3 и 1/3
    • 0 и 1

    Отговор: −1 и 1

    С t = 3^x > 0: 3t² − 10t + 3 = 0, t = 3 или t = 1/3, т.е. x = 1 или x = −1.

12. Решете уравнението 3^x = 7.

    • log₃7
    • log₇3
    • 7/3
    • 7 − 3

    Отговор: log₃7

    По определението на логаритъм x = log₃7.

13. Решете уравнението 2^{x + 1} + 2^{x − 1} = 20.

    • 2
    • 3
    • 4
    • 5

    Отговор: 3

    2^{x − 1}(4 + 1) = 20, 2^{x − 1} = 4, x − 1 = 2, x = 3.

14. Решете уравнението 2^x·5^{x − 1} = 200.

    • 3
    • 2
    • 4
    • 1000

    Отговор: 3

    2^x·5^x/5 = 200, т.е. 10^x = 1000 и x = 3.

15. Решете уравнението 3 · 4^x − 5 · 6^x + 2 · 9^x = 0.

    • 1 и 2
    • 0
    • 0 и 1
    • −1 и 0

    Отговор: 0 и 1

    Делим на 9^x и полагаме t = (2/3)^x: 3t² − 5t + 2 = 0, t = 1 или t = 2/3, т.е. x = 0 или x = 1.

Логаритмични уравнения

1. Решете уравнението log₂(x + 3) = 4.

   • 5
   • 19
   • 1
   • 13

   Отговор: 13

   x + 3 = 2⁴ = 16, x = 13.

2. Решете уравнението log₄x = 1/2.

   • 8
   • 16
   • 2
   • 1/2

   Отговор: 2

   x = 4^1/2 = 2.

3. Решете уравнението log_x16 = 2.

   • 4
   • 8
   • 256
   • ±4

   Отговор: 4

   x² = 16, а основата трябва да е положителна и различна от 1, затова x = 4.

4. Решете уравнението lg(3x − 2) = 1.

   • 1
   • 3
   • 4
   • 12

   Отговор: 4

   3x − 2 = 10, x = 4.

5. Решете уравнението lg(x + 1) = 0.

   • 1
   • 0
   • −1
   • 10

   Отговор: 0

   x + 1 = 10⁰ = 1, затова x = 0.

6. Решете уравнението log₃(x − 1) = log₃(5 − x).

   • 2
   • 3
   • 4
   • няма решение

   Отговор: 3

   При 1 < x < 5 имаме x − 1 = 5 − x, т.е. x = 3.

7. Решете уравнението log₃(x² − 8x) = 2.

   • само 9
   • −1 и 9
   • 1 и −9
   • няма решение

   Отговор: −1 и 9

   x² − 8x = 9, x = 9 или x = −1. И за двата корена x² − 8x = 9 > 0.

8. Решете уравнението log₃(2x + 3) = 2log₃x.

   • −1 и 3
   • 3
   • −1
   • 9

   Отговор: 3

   При x > 0: 2x + 3 = x², x² − 2x − 3 = 0, x = 3 или x = −1, но x = −1 не е допустим.

9. Решете уравнението lg(x + 2) − lg x = lg 3.

   • 2
   • 1/2
   • 1
   • 3

   Отговор: 1

   lg((x + 2)/x) = lg 3, така че x + 2 = 3x и x = 1 (допустимо, x > 0).

10. Решете уравнението log₂x + log₂(x + 2) = 3.

    • 2
    • −4 и 2
    • −4
    • 4

    Отговор: 2

    x(x + 2) = 8, x² + 2x − 8 = 0, x = 2 или x = −4. Допустимо е само x = 2.

11. Решете уравнението log₂x + log₄x = 6.

    • 8
    • 64
    • 16
    • 4

    Отговор: 16

    log₄x = (1/2)log₂x, затова (3/2)log₂x = 6, log₂x = 4 и x = 16.

12. Решете уравнението log₂(2^x − 7) = 3 − x.

    • 8
    • −1 и 3
    • 0
    • 3

    Отговор: 3

    2^x − 7 = 8/2^x. С t = 2^x > 0: t² − 7t − 8 = 0, t = 8, т.е. x = 3.

13. Решете уравнението lg²x − lg x − 2 = 0.

    • −1 и 2
    • 10 и 100
    • 1/10 и 100
    • само 100

    Отговор: 1/10 и 100

    С lg x = t: t² − t − 2 = 0, t = 2 или t = −1, т.е. x = 100 или x = 1/10.

14. Решете уравнението log_x2 + log₂x = 5/2.

    • 4
    • 2 и 1/2
    • 16 и 2
    • 4 и √2

    Отговор: 4 и √2

    С t = log₂x: 1/t + t = 5/2, 2t² − 5t + 2 = 0, t = 2 или t = 1/2, т.е. x = 4 или x = √2.

15. Решете уравнението x^{lg x} = 1000x².

    • 1000 и 0,1
    • 100 и 0,1
    • 1000
    • 10 и 0,01

    Отговор: 1000 и 0,1

    Логаритмуваме: lg²x = 3 + 2lg x, откъдето lg x = 3 или lg x = −1, т.е. x = 1000 или x = 0,1.

sin x = a и cos x = a

1. Решете уравнението sin x = 0.

   • x = 2kπ
   • x = π/2 + kπ
   • x = π + 2kπ
   • x = kπ

   Отговор: x = kπ

   Синусът е 0 в точките 0, π, 2π, ... и отрицателните им, т.е. x = kπ.

2. Решете уравнението cos x = 1.

   • x = kπ
   • x = 2kπ
   • x = π/2 + kπ
   • x = π + 2kπ

   Отговор: x = 2kπ

   Косинусът е 1 само в точката 0 от единичната окръжност, затова x = 2kπ, k ∈ Z.

3. На колко е равно arcsin(1/2)?

   • π/3
   • π/6
   • π/4
   • 5π/6

   Отговор: π/6

   arcsin(1/2) е ъгълът от [−π/2; π/2] със синус 1/2, т.е. π/6.

4. Решете уравнението cos x = −1.

   • x = 2kπ
   • x = kπ
   • x = −π/2 + 2kπ
   • x = π + 2kπ

   Отговор: x = π + 2kπ

   cos x = −1 само в точката π от единичната окръжност: x = π + 2kπ.

5. Решете уравнението sin x = −1.

   • x = π/2 + 2kπ
   • x = −π/2 + kπ
   • x = π + 2kπ
   • x = −π/2 + 2kπ

   Отговор: x = −π/2 + 2kπ

   Синусът е −1 само при ъгъл −π/2 (или 3π/2) от единичната окръжност, с период 2π.

6. Решете уравнението cos x = 2.

   • x = 2kπ
   • x = π/3 + 2kπ
   • няма решение
   • x = 0

   Отговор: няма решение

   cos x приема стойности само от −1 до 1, затова уравнението няма решение.

7. Решете уравнението sin x = √2/2.

   • x = ±π/4 + 2kπ
   • x = π/4 + 2kπ и x = 3π/4 + 2kπ
   • x = π/4 + kπ
   • x = ±3π/4 + 2kπ

   Отговор: x = π/4 + 2kπ и x = 3π/4 + 2kπ

   Синусът е √2/2 при π/4 и π − π/4 = 3π/4, с период 2π.

8. Решете уравнението cos x = −√3/2.

   • x = ±π/6 + 2kπ
   • x = ±2π/3 + 2kπ
   • x = ±5π/6 + 2kπ
   • x = 5π/6 + kπ

   Отговор: x = ±5π/6 + 2kπ

   cos(5π/6) = −√3/2, а решенията на cos x = a са x = ±arccos a + 2kπ.

9. Решете уравнението 2sin x + 1 = 0.

   • x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ
   • x = ±2π/3 + 2kπ
   • x = −π/3 + kπ
   • x = −π/6 + 2kπ и x = 7π/6 + 2kπ

   Отговор: x = −π/6 + 2kπ и x = 7π/6 + 2kπ

   sin x = −1/2, откъдето x = −π/6 + 2kπ или x = π + π/6 + 2kπ = 7π/6 + 2kπ.

10. Решете уравнението cos 2x = 1/2.

    • x = ±π/3 + 2kπ
    • x = ±π/6 + 2kπ
    • x = ±π/3 + kπ
    • x = ±π/6 + kπ

    Отговор: x = ±π/6 + kπ

    2x = ±π/3 + 2kπ, затова x = ±π/6 + kπ.

11. Решете уравнението sin(x − π/6) = 0.

    • x = −π/6 + kπ
    • x = π/6 + kπ
    • x = π/6 + 2kπ
    • x = π/3 + kπ

    Отговор: x = π/6 + kπ

    x − π/6 = kπ, откъдето x = π/6 + kπ, k ∈ Z.

12. Решете уравнението cos(2x − π/3) = 0.

    • x = 5π/12 + kπ/2
    • x = 5π/6 + kπ
    • x = π/12 + kπ
    • x = 5π/12 + kπ

    Отговор: x = 5π/12 + kπ/2

    2x − π/3 = π/2 + kπ, 2x = 5π/6 + kπ, x = 5π/12 + kπ/2.

13. Колко решения има уравнението sin 2x = 1/2 в интервала [0; 2π]?

    • 2
    • 8
    • 1
    • 4

    Отговор: 4

    2x ∈ [0; 4π]: 2x = π/6, 5π/6, 13π/6, 17π/6, т.е. x = π/12, 5π/12, 13π/12, 17π/12.

14. Колко решения има уравнението cos x = 1/3 в интервала [0; 4π]?

    • 2
    • 3
    • 6
    • 4

    Отговор: 4

    Във всеки период [0; 2π) има две решения (arccos(1/3) и 2π − arccos(1/3)), а интервалът съдържа два периода.

15. Колко е сборът от решенията на уравнението cos x = 1/2 в интервала [0; 2π]?

    • π
    • 2π/3
    • 2π
    • 4π/3

    Отговор: 2π

    Решенията в интервала са π/3 и 5π/3, а сборът им е 2π.

tg, cotg и квадратни

1. Решете уравнението tg x = 1.

   • x = π/4 + 2kπ
   • x = ±π/4 + kπ
   • x = 3π/4 + kπ
   • x = π/4 + kπ

   Отговор: x = π/4 + kπ

   tg π/4 = 1, а периодът на tg е π.

2. Решете уравнението tg x = 0.

   • x = kπ
   • x = π/2 + kπ
   • x = 2kπ
   • x = π/4 + kπ

   Отговор: x = kπ

   tg x = sin x/cos x = 0, когато sin x = 0, т.е. x = kπ, k ∈ Z.

3. Колко е основният период на функцията y = tg x?

   • 2π
   • π
   • π/2
   • 4π

   Отговор: π

   tg(x + π) = tg x, затова периодът е π.

4. Решете уравнението cotg x = −√3.

   • x = π/6 + kπ
   • x = −π/3 + kπ
   • x = 5π/6 + kπ
   • x = 2π/3 + kπ

   Отговор: x = 5π/6 + kπ

   cotg(5π/6) = −√3, а периодът на cotg е π.

5. Решете уравнението cotg x = 1.

   • x = −π/4 + kπ
   • x = π/4 + kπ
   • x = π/4 + 2kπ
   • x = π/2 + kπ

   Отговор: x = π/4 + kπ

   cotg(π/4) = 1, а котангенсът има период π.

6. Решете уравнението tg 2x = 1.

   • x = π/4 + kπ
   • x = π/8 + kπ
   • x = π/8 + kπ/2
   • x = π/2 + kπ

   Отговор: x = π/8 + kπ/2

   2x = π/4 + kπ, затова x = π/8 + kπ/2.

7. Колко решения има уравнението 2cos²x − cos x − 1 = 0 в интервала [0; 2π)?

   • 2
   • 3
   • 4
   • 1

   Отговор: 3

   cos x = 1 дава x = 0, а cos x = −1/2 дава x = 2π/3 и 4π/3.

8. Решете уравнението tg²x = 3.

   • x = π/3 + kπ
   • x = ±π/6 + kπ
   • x = ±π/3 + kπ
   • x = ±π/3 + 2kπ

   Отговор: x = ±π/3 + kπ

   tg x = √3 или tg x = −√3, т.е. x = π/3 + kπ или x = −π/3 + kπ.

9. Решете уравнението 2sin²x + sin x − 1 = 0.

   • x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ
   • x = −π/2 + 2kπ
   • x = ±π/3 + 2kπ и x = π + 2kπ
   • x = π/6 + 2kπ, x = 5π/6 + 2kπ и x = −π/2 + 2kπ

   Отговор: x = π/6 + 2kπ, x = 5π/6 + 2kπ и x = −π/2 + 2kπ

   С t = sin x: 2t² + t − 1 = 0, t = 1/2 или t = −1. Оттук x = π/6 + 2kπ, x = 5π/6 + 2kπ и x = −π/2 + 2kπ.

10. Решете уравнението tg x + 3cotg x = 4.

    • x = π/4 + kπ и x = arctg 3 + kπ
    • x = π/4 + kπ
    • x = −π/4 + kπ и x = −arctg 3 + kπ
    • x = π/4 + 2kπ и x = arctg 3 + 2kπ

    Отговор: x = π/4 + kπ и x = arctg 3 + kπ

    С tg x = t: t + 3/t = 4, t² − 4t + 3 = 0, t = 1 или t = 3.

11. Колко решения има уравнението 2sin²x − sin x = 0 в интервала [0; 2π)?

    • 4
    • 2
    • 3
    • 6

    Отговор: 4

    sin x(2sin x − 1) = 0: sin x = 0 дава 0 и π, а sin x = 1/2 дава π/6 и 5π/6.

12. Решете уравнението cos 2x + sin x = 0.

    • x = π/2 + 2kπ, x = −π/6 + 2kπ и x = 7π/6 + 2kπ
    • x = π/2 + 2kπ
    • x = −π/6 + 2kπ и x = 7π/6 + 2kπ
    • x = ±π/3 + 2kπ

    Отговор: x = π/2 + 2kπ, x = −π/6 + 2kπ и x = 7π/6 + 2kπ

    cos 2x = 1 − 2sin²x, така че 2sin²x − sin x − 1 = 0, sin x = 1 или sin x = −1/2.

13. Решете уравнението 2sin²x + 3cos x = 0.

    • x = ±π/3 + 2kπ
    • x = ±2π/3 + 2kπ и x = 2kπ
    • x = ±2π/3 + 2kπ
    • x = ±2π/3 + kπ

    Отговор: x = ±2π/3 + 2kπ

    2 − 2cos²x + 3cos x = 0, 2cos²x − 3cos x − 2 = 0, cos x = −1/2 или cos x = 2 (отхвърля се).

14. Решете уравнението sin²x − 3sin x cos x + 2cos²x = 0.

    • x = π/4 + kπ
    • x = arctg 2 + kπ
    • x = −π/4 + kπ и x = −arctg 2 + kπ
    • x = π/4 + kπ и x = arctg 2 + kπ

    Отговор: x = π/4 + kπ и x = arctg 2 + kπ

    cos x = 0 не е решение, затова делим на cos²x: tg²x − 3tg x + 2 = 0, tg x = 1 или tg x = 2.

15. Решете уравнението sin x + cos x = √2.

    • x = π/4 + kπ
    • x = −π/4 + 2kπ
    • x = π/4 + 2kπ
    • няма решение

    Отговор: x = π/4 + 2kπ

    sin x + cos x = √2 sin(x + π/4) = √2, т.е. sin(x + π/4) = 1 и x = π/4 + 2kπ.

Финален въпрос