Формули за медиани на триъгълник
Медианата на триъгълник е отсечката от връх до средата на срещулежащата страна. Дължината ѝ може да се намери само чрез трите страни, по формула, която следва от косинусовата теорема. Трите медиани се пресичат в една точка (медицентър), която дели всяка медиана в отношение 2 : 1 от върха. В правоъгълен триъгълник медианата към хипотенузата е половината от нея.
Какво да запомним
- ma2 = (2b2 + 2c2 − a2)/4.
- Медицентърът дели медианата в отношение 2 : 1, считано от върха.
- Медианата към хипотенузата е равна на половината от хипотенузата.
- В равнобедрен триъгълник медианата към основата е и височина.
Пример
При a = 10, b = 8, c = 6 cm: ma2 = (128 + 72 − 100)/4 = 25, значи ma = 5 cm.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Страните на ΔABC са a = 10 cm, b = 8 cm и c = 6 cm. Намерете медианата ma.
- 7 cm
- 5 cm
- √73 cm
- 6 cm
Отговор: 5 cm
ma2 = (2·64 + 2·36 − 100)/4 = 25, ma = 5 cm.
Колко е медианата към хипотенузата на правоъгълен триъгълник с катети 5 cm и 12 cm?
- 13 cm
- 6 cm
- 6,5 cm
- 8,5 cm
Отговор: 6,5 cm
Хипотенузата е 13 cm, а медианата към нея е половината: 6,5 cm.
Коя е формулата за медианата ma към страната a?
- ma2 = (b2 + c2 − a2)/4
- ma2 = (2a2 + 2b2 − c2)/4
- ma2 = (2b2 + 2c2 − a2)/4
- ma2 = (2b2 + 2c2 + a2)/4
Отговор: ma2 = (2b2 + 2c2 − a2)/4
Формулата следва от косинусовата теорема за двата триъгълника, на които медианата разделя дадения.
Триъгълник има страни a = 6 cm, b = 5 cm и c = 5 cm. Намерете ma.
- 3 cm
- 4 cm
- 5 cm
- √34 cm
Отговор: 4 cm
ma2 = (50 + 50 − 36)/4 = 16, значи ma = 4 cm.
Триъгълник има страни a = 4 cm, b = 5 cm и c = 6 cm. Намерете ma.
- √46/2 cm
- √79/2 cm
- 5 cm
- √106/2 cm
Отговор: √106/2 cm
ma2 = (2·25 + 2·36 − 16)/4 = 106/4, значи ma = √106/2 cm.
В какво отношение медицентърът дели всяка медиана, считано от върха?
- 1 : 1
- 2 : 1
- 1 : 2
- 3 : 1
Отговор: 2 : 1
Медицентърът е на 2/3 от медианата, мерено от върха.
Как се нарича пресечната точка на медианите на триъгълник?
- ортоцентър
- инцентър
- център на описаната окръжност
- медицентър
Отговор: медицентър
Трите медиани се пресичат в медицентъра.
Медианата към хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 7 cm. Колко е хипотенузата?
- 14 cm
- 7 cm
- 3,5 cm
- 7√2 cm
Отговор: 14 cm
Медианата към хипотенузата е половината от нея: 2·7 = 14 cm.
Медианата AM на ΔABC е 9 cm, а G е медицентърът. Колко е AG?
- 3 cm
- 4,5 cm
- 6 cm
- 9 cm
Отговор: 6 cm
AG = 2/3·AM = 6 cm.
Равнобедрен ΔABC има основа AB = 8 cm и бедра 5 cm. Колко е медианата към основата?
- 4 cm
- √41 cm
- 3 cm
- 6 cm
Отговор: 3 cm
Медианата към основата е и височина: √(25 − 16) = 3 cm.
Равностранен триъгълник има страна 6 cm. Намерете медианата му.
- 3√3 cm
- 3 cm
- 6√3 cm
- √27/2 cm
Отговор: 3√3 cm
m2 = (2·36 + 2·36 − 36)/4 = 27, m = 3√3 cm.
В ΔABC b = 5 cm, c = 7 cm и медианата ma = 4 cm. Намерете a.
- √84/2 cm
- 8 cm
- 2√13 cm
- 2√21 cm
Отговор: 2√21 cm
16 = (2·25 + 2·49 − a2)/4, 64 = 148 − a2, a2 = 84, a = 2√21 cm.
Страните на триъгълник са 4 cm, 6 cm и 8 cm. Намерете сбора на квадратите на трите медиани.
- 116 cm2
- 87 cm2
- 58 cm2
- 77 cm2
Отговор: 87 cm2
Квадратите на медианите са 46, 31 и 10, сборът е 87. Това е и 3/4·(16 + 36 + 64).
В ΔABC медианите към страните a и b са перпендикулярни, a = 6 cm и b = 8 cm. Намерете c.
- 10 cm
- 2√5 cm
- 5 cm
- 4√5 cm
Отговор: 2√5 cm
При ma ⊥ mb от правоъгълния ΔAGB следва a2 + b2 = 5c2, c2 = 20, c = 2√5 cm.
В ΔABC AB = 10 cm, а медианата CM към AB е 5 cm. Колко градуса е ∠C?
- 60°
- 45°
- 120°
- 90°
Отговор: 90°
MA = MB = MC = 5 cm, затова C лежи на окръжност с диаметър AB и ∠C = 90°.