Как да се упражни урокът у дома?

Прочетете обяснението и ключовите неща, после отговорете на въпросите по-долу. За повече упражнения отворете темата „Решаване на триъгълник“ и изберете игра или режим „У дома“.

Как се записва косинусовата теорема за страната a?

a² = b² + c² − 2bc·cos α

Каква теорема се получава от косинусовата при α = 90°?

теоремата на Талес

теоремата за медианите

Математика · 10 клас · урок 4 от 7

Косинусова теорема

Косинусовата теорема обобщава Питагоровата теорема за произволен триъгълник. Тя свързва трите страни и един ъгъл. С нея намираме третата страна по две страни и ъгъла между тях, както и ъгъл, ако са известни трите страни. Тя помага и да определим дали триъгълникът е остроъгълен, правоъгълен или тъпоъгълен.

Играйте само този урок:Вярно или невярно Табло Бомба Надбягване Отборен тест А/Б/В/Г Горещ стол

Работен лист за печат

Какво да запомним

a² = b² + c² − 2bc·cos α.
cos α = (b² + c² − a²)/(2bc).
Ако a² > b² + c², ъгълът α е тъп; ако a² 2 + c², е остър.
При α = 90° теоремата става Питагоровата теорема.

Пример

При b = 5 cm, c = 3 cm и ∠A = 120°: a² = 25 + 9 + 15 = 49, значи a = 7 cm.

Проверете се: 15 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

В ΔABC b = 2 cm, c = 3 cm и ∠A = 60°. Намерете a.
- √19 cm
- 7 cm
- √7 cm
- √13 cm
Отговор: √7 cm
a² = 4 + 9 − 2·2·3·(1/2) = 7, a = √7 cm.
Страните на триъгълник са 3 cm, 5 cm и 7 cm. Колко градуса е най-големият му ъгъл?
- 150°
- 135°
- 90°
- 120°
Отговор: 120°
cos γ = (9 + 25 − 49)/30 = −1/2, γ = 120°.
Страните на триъгълник са 5 cm, 6 cm и 7 cm. Какъв е триъгълникът според ъглите си?
- остроъгълен
- правоъгълен
- тъпоъгълен
- не съществува
Отговор: остроъгълен
7² = 49 2 + 6² = 61, затова най-големият ъгъл е остър.
В ΔABC b = 5 cm, c = 3 cm и ∠A = 120°. Намерете a.
- √19 cm
- 7 cm
- 8 cm
- √34 cm
Отговор: 7 cm
a² = 25 + 9 − 2·5·3·(−1/2) = 49, a = 7 cm.
Успоредник има страни 4 cm и 6 cm и ъгъл 60°. Намерете по-дългия му диагонал.
- 2√7 cm
- 10 cm
- 2√19 cm
- √52 cm
Отговор: 2√19 cm
Срещу тъпия ъгъл 120°: d² = 16 + 36 + 24 = 76, d = 2√19 cm.
Как се записва косинусовата теорема за страната a?
- a² = b² + c² + 2bc·cos α
- a² = b² + c² − 2bc·cos α
- a = b + c − 2bc·cos α
- a² = b² + c² − bc·cos α
Отговор: a² = b² + c² − 2bc·cos α
Косинусовата теорема обобщава Питагоровата: при α = 90° се получава a² = b² + c².
В равнобедрения ΔABC AC = BC = 5 cm и ∠C = 120°. Намерете AB.
- 5 cm
- 10 cm
- 5√2 cm
- 5√3 cm
Отговор: 5√3 cm
AB² = 25 + 25 − 2·25·cos 120° = 75, AB = 5√3 cm.
В ΔABC a² > b² + c². Какъв е ъгълът α?
- тъп
- остър
- прав
- равен на 60°
Отговор: тъп
От косинусовата теорема 2bc·cos α = b² + c² − a² < 0, затова cos α < 0.
Успоредник има страни 5 cm и 8 cm и диагонал 7 cm. Колко градуса е острият му ъгъл?
- 30°
- 60°
- 45°
- 75°
Отговор: 60°
49 = 25 + 64 − 80·cos α, cos α = 1/2, α = 60°.
В ΔABC a = 7 cm, b = 8 cm и ∠A = 60°. Намерете c.
- 3 cm
- 3 cm или 5 cm
- 5 cm
- √57 cm
Отговор: 3 cm или 5 cm
49 = 64 + c² − 8c, c² − 8c + 15 = 0, c = 3 или c = 5. И двата триъгълника съществуват.
Каква теорема се получава от косинусовата при α = 90°?
- синусовата теорема
- теоремата на Талес
- Питагоровата теорема
- теоремата за медианите
Отговор: Питагоровата теорема
cos 90° = 0, затова a² = b² + c².
В ΔABC b = c = 4 cm и ∠A = 60°. Намерете a.
- 4√3 cm
- 2 cm
- 4 cm
- 8 cm
Отговор: 4 cm
a² = 16 + 16 − 2·16·(1/2) = 16, a = 4 cm. Триъгълникът е равностранен.
Страните на триъгълник са 4 cm, 5 cm и 6 cm. Намерете косинуса на най-големия ъгъл.
- 1/8
- −1/8
- 3/4
- 1/2
Отговор: 1/8
Най-големият ъгъл е срещу 6 cm: cos = (16 + 25 − 36)/(2·4·5) = 5/40 = 1/8.
Триъгълник има страни 3 cm, 4 cm и x cm, като x > 4. При кои x той е тъпоъгълен?
- x > 5
- 4 < x < 5
- x < 7
- 5 < x < 7
Отговор: 5 < x < 7
Ъгълът срещу x е тъп при x² > 9 + 16 = 25, т.е. x > 5. От неравенството на триъгълника x < 7.
В ΔABC a = 7 cm, b + c = 8 cm и ∠A = 60°. Намерете произведението bc.
- 15
- 5
- 8
- 49
Отговор: 5
49 = b² + c² − bc = (b + c)² − 3bc = 64 − 3bc, bc = 5.