Ирационални изрази: корени, рационализиране, сравняване
Корен n-ти от a е число, чиято n-та степен е a. Корен с нечетен показател е дефиниран за всяко a, а с четен показател само за a ≥ 0, като √(a2) = |a|. При преобразуване се изнася множител пред корена, рационализира се знаменателят чрез умножение със спрегнатия израз и се използват формулите за съкратено умножение. За да се сравнят корени с различни показатели, числата се повдигат на подходяща обща степен.
Какво да запомним
- √(a2) = |a|; ∛(a3) = a за всяко a.
- (√a − √b)(√a + √b) = a − b; (a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3.
- √(5 + 2√6) = √3 + √2, защото (√3 + √2)2 = 5 + 2√6.
- Сравняване на ∛5 и √3: на шеста степен са 25 и 27.
Пример
2/(√5 − √3) = 2(√5 + √3)/((√5)2 − (√3)2) = 2(√5 + √3)/2 = √5 + √3.
Проверете се: 10 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Пресметнете ∛(−216).
- 6
- −36
- −6
- 36
Отговор: −6
(−6)3 = −216.
Пресметнете 4√16 · ∛8.
- 6
- 4
- 8
- 2
Отговор: 4
4√16 = 2 и ∛8 = 2; произведението е 4.
Рационализирайте знаменателя: 2/(√5 − √3).
- √5 − √3
- (√5 + √3)/2
- 2(√5 + √3)
- √5 + √3
Отговор: √5 + √3
Умножаваме по √5 + √3: знаменателят става 5 − 3 = 2.
Опростете √(5 + 2√6).
- √3 − √2
- 5 + √6
- √5 + √6
- √3 + √2
Отговор: √3 + √2
(√3 + √2)2 = 3 + 2√6 + 2 = 5 + 2√6.
Кое от числата ∛5 и √3 е по-голямо?
- √3
- ∛5
- Равни са
- Не могат да се сравнят
Отговор: √3
На шеста степен: (∛5)6 = 25, (√3)6 = 27.
Пресметнете 5√243.
- 3
- 5
- 9
- 81
Отговор: 3
35 = 243.
Опростете √(a2) при a < 0.
- a
- a2
- Изразът няма смисъл
- −a
Отговор: −a
√(a2) = |a|, а при a < 0 това е −a.
Пресметнете (∛9 − ∛3 + 1)(∛3 + 1).
- 3
- 4
- 2
- ∛3
Отговор: 4
При x = ∛3 изразът е (x2 − x + 1)(x + 1) = x3 + 1 = 3 + 1 = 4.
При кои x е дефиниран изразът √(4 − x2)?
- x ∈ (−2; 2)
- x ≥ 2
- x ≤ 4
- x ∈ [−2; 2]
Отговор: x ∈ [−2; 2]
Трябва 4 − x2 ≥ 0, т.е. −2 ≤ x ≤ 2.
Пресметнете √(6 − 2√5) + √(6 + 2√5).
- 2
- 12
- 2√5
- √5
Отговор: 2√5
√(6 − 2√5) = √5 − 1 и √(6 + 2√5) = √5 + 1; сборът е 2√5.