Степен и логаритъм: задачи за упражнение

Ирационални изрази

1. Пресметнете ∛(−216).

   • 6
   • −36
   • −6
   • 36

   Отговор: −6

   (−6)³ = −216.

2. Пресметнете ⁵√243.

   • 3
   • 5
   • 9
   • 81

   Отговор: 3

   3⁵ = 243.

3. Пресметнете ⁴√16 · ∛8.

   • 6
   • 4
   • 8
   • 2

   Отговор: 4

   ⁴√16 = 2 и ∛8 = 2; произведението е 4.

4. Опростете √(a²) при a < 0.

   • a
   • a²
   • Изразът няма смисъл
   • −a

   Отговор: −a

   √(a²) = |a|, а при a < 0 това е −a.

5. Рационализирайте знаменателя: 2/(√5 − √3).

   • √5 − √3
   • (√5 + √3)/2
   • 2(√5 + √3)
   • √5 + √3

   Отговор: √5 + √3

   Умножаваме по √5 + √3: знаменателят става 5 − 3 = 2.

6. Пресметнете (∛9 − ∛3 + 1)(∛3 + 1).

   • 3
   • 4
   • 2
   • ∛3

   Отговор: 4

   При x = ∛3 изразът е (x² − x + 1)(x + 1) = x³ + 1 = 3 + 1 = 4.

7. Опростете √(5 + 2√6).

   • √3 − √2
   • 5 + √6
   • √5 + √6
   • √3 + √2

   Отговор: √3 + √2

   (√3 + √2)² = 3 + 2√6 + 2 = 5 + 2√6.

8. При кои x е дефиниран изразът √(4 − x²)?

   • x ∈ (−2; 2)
   • x ≥ 2
   • x ≤ 4
   • x ∈ [−2; 2]

   Отговор: x ∈ [−2; 2]

   Трябва 4 − x² ≥ 0, т.е. −2 ≤ x ≤ 2.

9. Кое от числата ∛5 и √3 е по-голямо?

   • √3
   • ∛5
   • Равни са
   • Не могат да се сравнят

   Отговор: √3

   На шеста степен: (∛5)⁶ = 25, (√3)⁶ = 27.

10. Пресметнете √(6 − 2√5) + √(6 + 2√5).

    • 2
    • 12
    • 2√5
    • √5

    Отговор: 2√5

    √(6 − 2√5) = √5 − 1 и √(6 + 2√5) = √5 + 1; сборът е 2√5.

Рационална степен

1. Пресметнете 125^2/3.

   • 5
   • 25
   • 50
   • 15

   Отговор: 25

   125^2/3 = (∛125)² = 5² = 25.

2. Как се записва √x като степен при x ≥ 0?

   • x²
   • x^−1/2
   • 2x
   • x^1/2

   Отговор: x^1/2

   Корен квадратен е степен с показател 1/2.

3. Пресметнете 81^−3/4.

   • −27
   • 27
   • 1/27
   • 1/9

   Отговор: 1/27

   81^3/4 = (⁴√81)³ = 27, затова 81^−3/4 = 1/27.

4. Пресметнете 27^1/3 + 16^1/4.

   • 6
   • 7
   • 5
   • 4

   Отговор: 5

   27^1/3 = 3 и 16^1/4 = 2.

5. Опростете a^1/3 · a^1/2 : a^1/6 при a > 0.

   • a^2/3
   • a
   • a^1/2
   • a^1/36

   Отговор: a^2/3

   Показателят е 1/3 + 1/2 − 1/6 = 2/3.

6. Пресметнете 4^0,5 · 8^1/3 · 16^0,25.

   • 6
   • 4
   • 8
   • 16

   Отговор: 8

   Всеки множител е 2: 2 · 2 · 2 = 8.

7. Пресметнете 0,04^−1,5.

   • 1/125
   • 125
   • 25
   • 0,008

   Отговор: 125

   0,04 = 1/25; (1/25)^−3/2 = 25^3/2 = 125.

8. Решете уравнението x^2/3 = 4 при x > 0.

   • x = 2
   • x = 16
   • x = 8
   • x = 64

   Отговор: x = 8

   x = 4^3/2 = (√4)³ = 8.

9. Опростете (x − 1)/(x^1/2 + 1) при x ≥ 0.

   • x^1/2 + 1
   • x − 1
   • 1
   • x^1/2 − 1

   Отговор: x^1/2 − 1

   x − 1 = (x^1/2 − 1)(x^1/2 + 1).

10. Кое от числата 2³⁰⁰ и 3²⁰⁰ е по-голямо?

    • 3²⁰⁰
    • 2³⁰⁰
    • Равни са
    • Не могат да се сравнят

    Отговор: 3²⁰⁰

    2³⁰⁰ = (2³)¹⁰⁰ = 8¹⁰⁰, а 3²⁰⁰ = 9¹⁰⁰.

Показателна функция

1. Коя от функциите е показателна?

   • y = x³
   • y = 3x
   • y = 3^x
   • y = log₃x

   Отговор: y = 3^x

   При показателната функция променливата е в показателя.

2. През коя от точките минава графиката на y = 5^x?

   • (5; 1)
   • (1; 5)
   • (0; 5)
   • (1; 0)

   Отговор: (1; 5)

   При x = 1: y = 5.

3. Кое е множеството от стойности на y = 3^x − 1?

   • y > −1
   • y > 0
   • y ≥ −1
   • y ∈ ℝ

   Отговор: y > −1

   3^x > 0, затова 3^x − 1 > −1.

4. Коя права е хоризонтална асимптота на графиката на y = 2^x + 1?

   • y = 0
   • x = 1
   • y = 2
   • y = 1

   Отговор: y = 1

   2^x → 0 при x → −∞, затова y → 1.

5. Кое от неравенствата е вярно?

   • 2⁻¹ > 2⁰
   • 0,7² < 0,7^1,5
   • 5^0,3 < 1
   • (1/3)⁻² < 1

   Отговор: 0,7² < 0,7^1,5

   При основа 0,7 < 1 функцията е намаляваща: по-големият показател дава по-малка стойност.

6. Сравнете 3^√2 и 3^1,4.

   • 3^√2 > 3^1,4
   • 3^√2 < 3^1,4
   • 3^√2 = 3^1,4
   • Не могат да се сравнят

   Отговор: 3^√2 > 3^1,4

   Основата 3 > 1, функцията е растяща, а √2 ≈ 1,414 > 1,4.

7. 10 000 бактерии се удвояват всеки час. Колко ще са след 5 часа?

   • 100 000
   • 50 000
   • 160 000
   • 320 000

   Отговор: 320 000

   N = 10 000 · 2⁵ = 320 000.

8. 1000 евро се олихвяват с 10% годишна сложна лихва. Колко евро ще има след 2 години?

   • 1210
   • 1200
   • 1100
   • 1331

   Отговор: 1210

   1000 · 1,1² = 1210.

9. При кои стойности на a функцията y = (a − 1)^x е намаляваща?

   • a > 2
   • 1 < a < 2
   • a < 1
   • 0 < a < 1

   Отговор: 1 < a < 2

   Основата трябва да е между 0 и 1: 0 < a − 1 < 1.

10. Колко решения има уравнението 2^x = x + 1?

    • 1
    • 2
    • 0
    • 3

    Отговор: 2

    Решенията са x = 0 и x = 1; правата пресича изпъкналата графика в най-много две точки.

Логаритъм

1. Пресметнете log₃81.

   • 4
   • 3
   • 27
   • 9

   Отговор: 4

   3⁴ = 81.

2. Пресметнете log₉1.

   • 0
   • 1
   • 9
   • −1

   Отговор: 0

   9⁰ = 1.

3. Пресметнете lg 1000 − lg 0,1.

   • 4
   • 2
   • 3
   • 1

   Отговор: 4

   lg 1000 = 3, lg 0,1 = −1; 3 − (−1) = 4.

4. Пресметнете log_1/39.

   • −2
   • 2
   • 1/2
   • −1/2

   Отговор: −2

   (1/3)⁻² = 9.

5. Пресметнете 3^log₃11.

   • 11
   • 3
   • 33
   • log₃11

   Отговор: 11

   Основно логаритмично тъждество: a^log_ab = b.

6. При кои x е дефиниран изразът log₂(5 − x)?

   • x > 5
   • x < 5
   • x ≤ 5
   • x ≠ 5

   Отговор: x < 5

   Аргументът трябва да е положителен: 5 − x > 0.

7. Пресметнете log₄8.

   • 3/2
   • 2
   • 2/3
   • 1/2

   Отговор: 3/2

   4^3/2 = (√4)³ = 8.

8. Пресметнете log₂₇9.

   • 3/2
   • 1/3
   • 2/3
   • 3

   Отговор: 2/3

   27^2/3 = (∛27)² = 9.

9. Кое от числата log₂3 и log₃2 е по-голямо?

   • log₃2
   • Равни са
   • Не могат да се сравнят
   • log₂3

   Отговор: log₂3

   log₂3 > log₂2 = 1, а log₃2 < log₃3 = 1.

10. Пресметнете 4^log₂3.

    • 6
    • 3
    • 9
    • 12

    Отговор: 9

    4^log₂3 = (2^log₂3)² = 3² = 9.

Логаритмуване

1. Пресметнете log₁₅9 + log₁₅25.

   • 34
   • 1
   • 2
   • 3

   Отговор: 2

   log₁₅(9 · 25) = log₁₅225 = 2.

2. Пресметнете lg 50 + lg 2.

   • 1
   • 2
   • 52
   • 100

   Отговор: 2

   lg(50 · 2) = lg 100 = 2.

3. Пресметнете log₅250 − log₅2.

   • 248
   • 3
   • 125
   • 2

   Отговор: 3

   log₅(250 : 2) = log₅125 = 3.

4. Пресметнете log₂(4 · 32).

   • 128
   • 10
   • 5
   • 7

   Отговор: 7

   log₂4 + log₂32 = 2 + 5 = 7.

5. Пресметнете 3log₂4 − log₂16.

   • 4
   • 0
   • 2
   • −2

   Отговор: 2

   3 · 2 − 4 = 2.

6. Пресметнете log₂∛16.

   • 3/4
   • 4
   • 1/3
   • 4/3

   Отговор: 4/3

   ∛16 = 2^4/3.

7. lg 2 = a. Изразете lg 5 чрез a.

   • a/2
   • 1 + a
   • 1 − a
   • a − 1

   Отговор: 1 − a

   lg 5 = lg(10/2) = 1 − lg 2.

8. Пресметнете (log₂12 − log₂3)/log₂16.

   • 2
   • 1/2
   • 3/4
   • 1/4

   Отговор: 1/2

   Числителят е log₂4 = 2, знаменателят е 4.

9. log₂5 = a. Изразете log₅8 чрез a.

   • 3a
   • a/3
   • 8/a
   • 3/a

   Отговор: 3/a

   log₅8 = 3log₅2 = 3/log₂5 = 3/a.

10. Колко цифри има числото 2¹⁰⁰, ако lg 2 ≈ 0,301?

    • 31
    • 30
    • 100
    • 301

    Отговор: 31

    lg 2¹⁰⁰ ≈ 30,1, затова 10³⁰ < 2¹⁰⁰ < 10³¹.

Финален въпрос