ТърсиУченик? Влез с код30 дни безплатноБезплатно
Класове
Начален етап
Прогимназиален етап
Гимназиален етап
Всички игриНВО и матуриЦениСтатииВидеоЗа родителиЗа училищаВход за учителиУченик? Влез с код
Математика · 11 клас · урок 2 от 11

Основни тригонометрични тъждества

Основните тригонометрични тъждества важат за всеки обобщен ъгъл, за който функциите са дефинирани. С тях по стойността на една функция намираме останалите, като знакът се определя от квадранта, в който е ъгълът. Тъждествата се използват и при пресмятане на изрази, в които са дадени sin α + cos α или tg α.

Играйте само този урок:Вярно или невярноТаблоБомбаНадбягванеОтборен тест А/Б/В/ГГорещ стол

Работен лист за печат

Какво да запомним

  • sin2α + cos2α = 1.
  • tg α = sin α/cos α, cotg α = cos α/sin α, tg α·cotg α = 1.
  • 1 + tg2α = 1/cos2α, 1 + cotg2α = 1/sin2α.
  • Знакът на търсената функция зависи от квадранта на ъгъла.

Пример

Ако sin α = −5/13 и α е в III квадрант, то cos α = −12/13 и tg α = 5/12.

Проверете се: 15 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

  1. α е остър ъгъл и cos α = 0,6. Намерете sin α.
    • 0,8
    • 0,4
    • 0,16
    • −0,8

    Отговор: 0,8

    sin2α = 1 − 0,36 = 0,64, а за остър ъгъл sin α > 0: sin α = 0,8.

  2. tg α = 3. Намерете cotg α.
    • −3
    • 3
    • √10
    • 1/3

    Отговор: 1/3

    tg α · cotg α = 1, затова cotg α = 1/3.

  3. На какво е равно 1 + tg2α?
    • 1/sin2α
    • cos2α
    • 1/cos2α
    • 1

    Отговор: 1/cos2α

    1 + sin2α/cos2α = (cos2α + sin2α)/cos2α = 1/cos2α.

  4. sin α = −5/13 и 180° < α < 270°. Намерете tg α.
    • 5/12
    • −5/12
    • 12/5
    • −12/13

    Отговор: 5/12

    В III квадрант cos α = −12/13, затова tg α = (−5/13)/(−12/13) = 5/12.

  5. sin α + cos α = 1/2. Намерете sin α · cos α.
    • −3/8
    • 3/8
    • −3/4
    • 1/4

    Отговор: −3/8

    (sin α + cos α)2 = 1 + 2sin α cos α = 1/4, затова sin α cos α = −3/8.

  6. Пресметнете sin237° + cos237°.
    • 1
    • 0
    • 2
    • sin 74°

    Отговор: 1

    sin2α + cos2α = 1 за всеки ъгъл α.

  7. α е остър ъгъл и tg α = 3/4. Намерете cos α.
    • 3/5
    • 3/4
    • 4/5
    • 5/4

    Отговор: 4/5

    1 + tg2α = 1/cos2α: 1 + 9/16 = 25/16, cos2α = 16/25 и cos α = 4/5.

  8. Опростете (1 − cos2α)/sin α при sin α ≠ 0.
    • cos α
    • sin α
    • 1
    • tg α

    Отговор: sin α

    1 − cos2α = sin2α, а sin2α/sin α = sin α.

  9. Пресметнете tg 20°·cotg 20°.
    • 0
    • 1
    • tg 40°
    • 2

    Отговор: 1

    tg α·cotg α = 1 за всеки ъгъл, за който двете функции са дефинирани.

  10. sin α = 0,6 и cos α = 0,8. На какво е равно cotg α?
    • 3/4
    • 0,48
    • 4/3
    • 1,4

    Отговор: 4/3

    cotg α = cos α : sin α = 0,8 : 0,6 = 4/3.

  11. cos α = −0,6 и 90° < α < 180°. Намерете tg α.
    • 4/3
    • −3/4
    • 3/4
    • −4/3

    Отговор: −4/3

    sin α = √(1 − 0,36) = 0,8 (във II квадрант е положителен), tg α = 0,8 : (−0,6) = −4/3.

  12. tg α = 2. Пресметнете sin α·cos α.
    • 2/5
    • 1/2
    • 2/3
    • 4/5

    Отговор: 2/5

    Делим на sin2α + cos2α = 1: sin α cos α = tg α/(1 + tg2α) = 2/5.

  13. cotg α = −2 и 270° < α < 360°. Намерете sin α.
    • √5/5
    • −√5/5
    • −2√5/5
    • 2√5/5

    Отговор: −√5/5

    1/sin2α = 1 + cotg2α = 5, sin2α = 1/5. В IV квадрант sin α < 0, затова sin α = −√5/5.

  14. tg α + cotg α = 3. Намерете tg2α + cotg2α.
    • 9
    • 5
    • 7
    • 11

    Отговор: 7

    Повдигаме на квадрат: tg2α + 2 + cotg2α = 9, откъдето сборът е 7.

  15. sin α = 3/5 и α е във II квадрант. Намерете tg α + cotg α.
    • 25/12
    • −25/12
    • −7/12
    • 7/12

    Отговор: −25/12

    cos α = −4/5, tg α = −3/4, cotg α = −4/3, сборът е −25/12.