ТърсиУченик? Влез с код30 дни безплатноБезплатно
Класове
Начален етап
Прогимназиален етап
Гимназиален етап
Всички игриНВО и матуриЦениСтатииВидеоЗа родителиЗа училищаВход за учителиУченик? Влез с код
Математика · 11 клас · урок 11 от 11

Преобразуване на тригонометрични изрази

Последният урок от темата съчетава всички формули: основните тъждества, формулите за сбор, за удвоен и половин ъгъл, за сбор и произведение на функции. Целта е да опростим израз, да пресметнем точна стойност или да докажем тъждество. Важно е да изберем формулата, която води най-бързо до целта, и да следим кога изразът е дефиниран.

Играйте само този урок:Вярно или невярноТаблоБомбаНадбягванеОтборен тест А/Б/В/ГГорещ стол

Работен лист за печат

Какво да запомним

  • Формули за привеждане: sin(90° + α) = cos α, cos(180° − α) = −cos α.
  • sin4α − cos4α = (sin2α − cos2α)(sin2α + cos2α) = −cos 2α.
  • Ако е даден tg α, делим числител и знаменател на cos α.
  • (1 − cos 2α)/sin 2α = tg α.

Пример

При tg α = 2: (sin α + cos α)/(sin α − cos α) = (tg α + 1)/(tg α − 1) = 3.

Проверете се: 15 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

  1. Опростете sin4α − cos4α.
    • 1
    • (sin α − cos α)2
    • sin2α − cos2α
    • 2sin2α

    Отговор: sin2α − cos2α

    sin4α − cos4α = (sin2α − cos2α)(sin2α + cos2α) = sin2α − cos2α.

  2. tg α = 2. Пресметнете (sin α + cos α)/(sin α − cos α).
    • 1/3
    • −3
    • 3
    • 2

    Отговор: 3

    Делим числителя и знаменателя на cos α: (tg α + 1)/(tg α − 1) = 3/1 = 3.

  3. Опростете sin 2α/(2sin α) при sin α ≠ 0.
    • sin α
    • tg α
    • 2cos α
    • cos α

    Отговор: cos α

    sin 2α = 2sin α cos α, след съкращаване остава cos α.

  4. Опростете (1 − cos 2α)/sin 2α.
    • tg α
    • cotg α
    • sin α
    • 1

    Отговор: tg α

    (1 − cos 2α)/sin 2α = 2sin2α/(2sin α cos α) = tg α.

  5. Опростете sin(90° + α) + cos(180° − α).
    • 2cos α
    • 0
    • 2sin α
    • −2cos α

    Отговор: 0

    sin(90° + α) = cos α, а cos(180° − α) = −cos α, сборът е 0.

  6. На какво е равно cos(90° − α)?
    • cos α
    • sin α
    • −sin α
    • −cos α

    Отговор: sin α

    По формулите за привеждане cos(90° − α) = sin α.

  7. На какво е равно cos(180° + α)?
    • cos α
    • sin α
    • −sin α
    • −cos α

    Отговор: −cos α

    Ъгълът 180° + α е в III квадрант при остър α, там косинусът е отрицателен: cos(180° + α) = −cos α.

  8. Опростете 1 − sin2α.
    • sin2α
    • cos 2α
    • cos2α
    • tg2α

    Отговор: cos2α

    От sin2α + cos2α = 1 следва 1 − sin2α = cos2α.

  9. Опростете (sin α + cos α)2 + (sin α − cos α)2.
    • 1
    • 2
    • 2sin 2α
    • 0

    Отговор: 2

    Удвоените произведения се унищожават и остава 2(sin2α + cos2α) = 2.

  10. Опростете cos2α − cos 2α.
    • sin2α
    • cos2α
    • 1
    • −sin2α

    Отговор: sin2α

    cos2α − (cos2α − sin2α) = sin2α.

  11. Пресметнете (sin 75° + sin 15°)/(cos 75° + cos 15°).
    • √3
    • √3/3
    • 2
    • 1

    Отговор: 1

    Числителят е 2sin 45° cos 30°, знаменателят е 2cos 45° cos 30°, частното е tg 45° = 1.

  12. Опростете (sin α + sin 3α)/sin 2α при sin 2α ≠ 0.
    • cos α
    • 2cos α
    • 2sin α
    • sin 2α

    Отговор: 2cos α

    sin α + sin 3α = 2sin 2α·cos α, затова изразът е 2cos α.

  13. tg α = 1/3. Пресметнете sin 2α.
    • 4/5
    • 2/3
    • 3/5
    • 3/10

    Отговор: 3/5

    sin 2α = 2tg α/(1 + tg2α) = (2/3) : (10/9) = 3/5.

  14. Опростете sin6α + cos6α + 3sin2α cos2α.
    • 1
    • 0
    • 3
    • sin22α

    Отговор: 1

    При a = sin2α, b = cos2α: a3 + b3 + 3ab(a + b) = (a + b)3 = 1, защото a + b = 1.

  15. Пресметнете cos210° + cos250° + cos270°.
    • 1
    • 3/4
    • 3/2
    • 2

    Отговор: 3/2

    С cos2x = (1 + cos 2x)/2 сборът е (3 + cos 20° + cos 100° + cos 140°)/2, а сборът на косинусите е 0. Остава 3/2.