Математика 11 клас: Тригонометрия

Обобщен ъгъл. Радиан

1. Колко радиана е ъгъл 60°?

   • π/6
   • 3π
   • π/3
   • π/2

   Отговор: π/3

   60° = 60 · π/180 = π/3.

2. Колко градуса е ъгъл π/4 радиана?

   • 90°
   • 45°
   • 30°
   • 60°

   Отговор: 45°

   π радиана = 180°, затова π/4 = 180° : 4 = 45°.

3. Колко радиана е ъгъл 90°?

   • π
   • π/2
   • π/4
   • 2π

   Отговор: π/2

   180° = π rad, затова 90° = π/2 rad.

4. Колко градуса е ъгъл 5π/6 радиана?

   • 300°
   • 120°
   • 105°
   • 150°

   Отговор: 150°

   5π/6 · 180°/π = 150°.

5. Колко радиана е ъгъл 270°?

   • 2π/3
   • 3π/4
   • 5π/4
   • 3π/2

   Отговор: 3π/2

   270° = (270/180)·π = 3π/2.

6. Приблизително колко градуса е 1 радиан?

   • ≈ 57°
   • ≈ 90°
   • ≈ 3,14°
   • ≈ 180°

   Отговор: ≈ 57°

   1 rad = 180°/π ≈ 57,3°.

7. В кой квадрант е краят на ъгъл 4 радиана?

   • II
   • III
   • IV
   • I

   Отговор: III

   π ≈ 3,14 < 4 < 3π/2 ≈ 4,71, затова ъгълът е в III квадрант.

8. Пресметнете sin 750°.

   • 1/2
   • √3/2
   • −1/2
   • 1

   Отговор: 1/2

   750° = 2·360° + 30°, затова sin 750° = sin 30° = 1/2.

9. В кой квадрант е краят на ъгъл −100°?

   • II
   • IV
   • III
   • I

   Отговор: III

   −100° има същата крайна страна като −100° + 360° = 260°, който е в III квадрант.

10. Пресметнете cos 300°.

    • 1/2
    • −1/2
    • √3/2
    • −√3/2

    Отговор: 1/2

    cos 300° = cos(360° − 60°) = cos 60° = 1/2.

11. Пресметнете cos(−240°).

    • −1/2
    • 1/2
    • −√3/2
    • √3/2

    Отговор: −1/2

    cos(−240°) = cos 240° = cos(180° + 60°) = −cos 60° = −1/2.

12. Пресметнете sin(5π/4) · cos(5π/4).

    • −1/2
    • 1
    • −1
    • 1/2

    Отговор: 1/2

    5π/4 = 225°, sin 225° = cos 225° = −√2/2, произведението е 1/2.

13. Пресметнете tg(−765°).

    • 1
    • 0
    • −√3
    • −1

    Отговор: −1

    −765° = −2 · 360° − 45°, затова tg(−765°) = tg(−45°) = −1.

14. Колко е дължината на дъга с централен ъгъл 2 радиана в окръжност с радиус 5 cm?

    • 5 cm
    • 2,5 cm
    • 10π cm
    • 10 cm

    Отговор: 10 cm

    Дължината на дъгата е l = r·α = 5·2 = 10 cm (α в радиани).

15. Колко е лицето на кръгов сектор с радиус 6 cm и централен ъгъл π/3?

    • 2π cm²
    • 12π cm²
    • 6π cm²
    • 3π cm²

    Отговор: 6π cm²

    S = (1/2)r²α = (1/2) · 36 · π/3 = 6π cm².

Основни тъждества

1. α е остър ъгъл и cos α = 0,6. Намерете sin α.

   • 0,8
   • 0,4
   • 0,16
   • −0,8

   Отговор: 0,8

   sin²α = 1 − 0,36 = 0,64, а за остър ъгъл sin α > 0: sin α = 0,8.

2. Пресметнете sin²37° + cos²37°.

   • 1
   • 0
   • 2
   • sin 74°

   Отговор: 1

   sin²α + cos²α = 1 за всеки ъгъл α.

3. На какво е равно sin α/cos α при cos α ≠ 0?

   • cotg α
   • tg α
   • 1
   • sin²α

   Отговор: tg α

   По определение tg α = sin α/cos α.

4. tg α = 3. Намерете cotg α.

   • −3
   • 3
   • √10
   • 1/3

   Отговор: 1/3

   tg α · cotg α = 1, затова cotg α = 1/3.

5. α е остър ъгъл и tg α = 3/4. Намерете cos α.

   • 3/5
   • 3/4
   • 4/5
   • 5/4

   Отговор: 4/5

   1 + tg²α = 1/cos²α: 1 + 9/16 = 25/16, cos²α = 16/25 и cos α = 4/5.

6. Пресметнете tg 40° · tg 50°.

   • 1
   • 0
   • √3
   • 1/2

   Отговор: 1

   tg 50° = cotg 40°, а tg 40° · cotg 40° = 1.

7. На какво е равно 1 + tg²α?

   • 1/sin²α
   • cos²α
   • 1/cos²α
   • 1

   Отговор: 1/cos²α

   1 + sin²α/cos²α = (cos²α + sin²α)/cos²α = 1/cos²α.

8. Опростете (1 − cos²α)/sin α при sin α ≠ 0.

   • cos α
   • sin α
   • 1
   • tg α

   Отговор: sin α

   1 − cos²α = sin²α, а sin²α/sin α = sin α.

9. α е от II квадрант и cos α = −0,6. Намерете tg α.

   • 4/3
   • −3/4
   • 3/4
   • −4/3

   Отговор: −4/3

   sin α = √(1 − 0,36) = 0,8 (положителен във II квадрант), tg α = 0,8/(−0,6) = −4/3.

10. sin α = −5/13 и 180° < α < 270°. Намерете tg α.

    • 5/12
    • −5/12
    • 12/5
    • −12/13

    Отговор: 5/12

    В III квадрант cos α = −12/13, затова tg α = (−5/13)/(−12/13) = 5/12.

11. Опростете sin⁴α − cos⁴α.

    • 1
    • (sin α − cos α)²
    • sin²α − cos²α
    • 2sin²α

    Отговор: sin²α − cos²α

    sin⁴α − cos⁴α = (sin²α − cos²α)(sin²α + cos²α) = sin²α − cos²α.

12. Опростете tg α · cos α + sin α при cos α ≠ 0.

    • sin α
    • 2sin α
    • 1
    • sin α + cos α

    Отговор: 2sin α

    tg α · cos α = sin α, затова сборът е 2sin α.

13. sin α + cos α = 1/2. Намерете sin α · cos α.

    • −3/8
    • 3/8
    • −3/4
    • 1/4

    Отговор: −3/8

    (sin α + cos α)² = 1 + 2sin α cos α = 1/4, затова sin α cos α = −3/8.

14. tg α = 2. Пресметнете (sin α + cos α)/(sin α − cos α).

    • 1/3
    • −3
    • 3
    • 2

    Отговор: 3

    Делим числителя и знаменателя на cos α: (tg α + 1)/(tg α − 1) = 3/1 = 3.

15. tg α = 3. Пресметнете sin α · cos α.

    • 3/4
    • 1/3
    • 3/10
    • 3/5

    Отговор: 3/10

    sin α · cos α = sin α · cos α/(sin²α + cos²α) = tg α/(1 + tg²α) = 3/10.

Свойства и графики

1. Коя от функциите е четна?

   • y = sin x
   • y = tg x
   • y = cos x
   • y = cotg x

   Отговор: y = cos x

   cos(−x) = cos x, а другите три функции са нечетни.

2. Кое е множеството от стойности на функцията y = sin x?

   • (−∞; +∞)
   • [−1; 1]
   • [0; 1]
   • [−π; π]

   Отговор: [−1; 1]

   За всяко x е вярно, че −1 ≤ sin x ≤ 1, и всички тези стойности се достигат.

3. Коя от функциите е нечетна?

   • y = cos x
   • y = tg x
   • y = x²
   • y = |sin x|

   Отговор: y = tg x

   tg(−x) = −tg x, затова тангенсът е нечетна функция.

4. Колко е основният период на y = sin 3x?

   • 2π/3
   • 6π
   • π/3
   • 2π

   Отговор: 2π/3

   Периодът на sin kx е 2π/k = 2π/3.

5. Колко е основният период на функцията y = tg x?

   • π
   • 2π
   • π/2
   • 4π

   Отговор: π

   tg(x + π) = tg x, а по-малък положителен период няма.

6. Колко е най-голямата стойност на функцията y = sin x + 2?

   • 1
   • 2
   • 3
   • 4

   Отговор: 3

   Най-голямата стойност на sin x е 1, затова най-голямата стойност на y е 3.

7. Кое е множеството от стойности на y = 2cos x − 1?

   • [−1; 1]
   • [−2; 2]
   • [−3; 3]
   • [−3; 1]

   Отговор: [−3; 1]

   −1 ≤ cos x ≤ 1, затова −2 − 1 ≤ 2cos x − 1 ≤ 2 − 1.

8. В кой от интервалите функцията y = cos x е намаляваща?

   • [0; π]
   • [−π; 0]
   • [π/2; 3π/2]
   • [−π/2; π/2]

   Отговор: [0; π]

   От x = 0 до x = π стойността на cos x намалява от 1 до −1.

9. Колко е основният период на функцията y = cos(x/2)?

   • 4π
   • π
   • π/2
   • 2π

   Отговор: 4π

   Периодът на cos kx е 2π/k, тук 2π : (1/2) = 4π.

10. Колко нули има функцията y = sin x в интервала [0; 3π]?

    • 3
    • 4
    • 2
    • 6

    Отговор: 4

    sin x = 0 при x = kπ: 0, π, 2π и 3π.

11. Колко общи точки имат графиките на y = sin x и y = cos x в интервала [0; 2π]?

    • 1
    • 4
    • 3
    • 2

    Отговор: 2

    sin x = cos x ⇔ tg x = 1, а в [0; 2π] решенията са x = π/4 и x = 5π/4.

12. За кои x функцията y = tg x не е дефинирана?

    • x = kπ, k ∈ Z
    • x = 2kπ, k ∈ Z
    • x = π/4 + kπ, k ∈ Z
    • x = π/2 + kπ, k ∈ Z

    Отговор: x = π/2 + kπ, k ∈ Z

    tg x = sin x/cos x не е дефиниран, когато cos x = 0, т.е. при x = π/2 + kπ.

13. Кое е най-голямото от числата sin 1, sin 2, sin 3 и sin 4 (ъглите са в радиани)?

    • sin 1
    • sin 2
    • sin 3
    • sin 4

    Отговор: sin 2

    sin 2 = sin(π − 2) ≈ sin 1,14, а 1,14 е по-близо до π/2 от 1. sin 3 е малко положително, а sin 4 < 0.

14. Колко е основният период на функцията y = sin x · cos x?

    • π
    • 2π
    • π/2
    • 4π

    Отговор: π

    sin x · cos x = (1/2)sin 2x, а основният период на sin 2x е 2π/2 = π.

15. Кое е множеството от стойности на функцията y = sin x + cos x?

    • [−2; 2]
    • [−1; 1]
    • [−√2; √2]
    • [0; √2]

    Отговор: [−√2; √2]

    sin x + cos x = √2 · sin(x + π/4), а синусът е между −1 и 1.

Сбор и удвоен ъгъл

1. Коя формула е вярна за cos 2α?

   • 1 − 2cos²α
   • 2sin²α − 1
   • 1 + 2sin²α
   • 1 − 2sin²α

   Отговор: 1 − 2sin²α

   cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α.

2. На какво е равно sin(α − β)?

   • sin α cos β + cos α sin β
   • cos α cos β − sin α sin β
   • sin α cos β − cos α sin β
   • sin α − sin β

   Отговор: sin α cos β − cos α sin β

   Това е формулата за синус от разлика на два ъгъла.

3. Коя формула е вярна за sin 2α?

   • sin 2α = 2sin α
   • sin 2α = sin²α − cos²α
   • sin 2α = 2sin α cos α
   • sin 2α = sin α cos α

   Отговор: sin 2α = 2sin α cos α

   Формулата за синус от удвоен ъгъл е sin 2α = 2sin α cos α.

4. Пресметнете cos 75°.

   • (√6 − √2)/4
   • (√6 + √2)/4
   • (√3 − 1)/2
   • (√2 − √6)/4

   Отговор: (√6 − √2)/4

   cos(45° + 30°) = cos 45° cos 30° − sin 45° sin 30° = (√6 − √2)/4.

5. Пресметнете cos 50°·cos 10° − sin 50°·sin 10°.

   • √3/2
   • 1/2
   • √2/2
   • 0

   Отговор: 1/2

   Изразът е cos(50° + 10°) = cos 60° = 1/2.

6. Пресметнете sin 105°.

   • (√6 − √2)/4
   • (√6 + √2)/4
   • (√3 + 1)/2
   • √2/2

   Отговор: (√6 + √2)/4

   sin(60° + 45°) = (√3/2)(√2/2) + (1/2)(√2/2) = (√6 + √2)/4.

7. Пресметнете sin 20° cos 40° + cos 20° sin 40°.

   • 1/2
   • √3/2
   • sin 20°
   • 1

   Отговор: √3/2

   Това е sin(20° + 40°) = sin 60° = √3/2.

8. α е остър ъгъл и cos α = 0,8. Намерете cos 2α.

   • 0,96
   • 0,6
   • 0,36
   • 0,28

   Отговор: 0,28

   cos 2α = 2cos²α − 1 = 2·0,64 − 1 = 0,28.

9. α е остър ъгъл и sin α = 5/13. Намерете sin 2α.

   • 120/169
   • 10/13
   • 60/169
   • 119/169

   Отговор: 120/169

   cos α = 12/13, sin 2α = 2 · (5/13) · (12/13) = 120/169.

10. tg α = 1/2. Намерете tg 2α.

    • 1
    • 2/3
    • 3/4
    • 4/3

    Отговор: 4/3

    tg 2α = 2tg α/(1 − tg²α) = 1/(3/4) = 4/3.

11. Пресметнете 2sin 15°·cos 15° + cos²15° − sin²15°.

    • 1
    • √3
    • (1 + √3)/2
    • (√3 − 1)/2

    Отговор: (1 + √3)/2

    2sin 15°cos 15° = sin 30° = 1/2 и cos²15° − sin²15° = cos 30° = √3/2, сборът е (1 + √3)/2.

12. Пресметнете tg 105°.

    • 2 + √3
    • 2 − √3
    • √3 − 2
    • −2 − √3

    Отговор: −2 − √3

    tg(60° + 45°) = (√3 + 1)/(1 − √3) = −(2 + √3).

13. cos α = −3/5 и 90° < α < 180°. Намерете cos(α − 60°).

    • (4√3 + 3)/10
    • (4√3 − 3)/10
    • (3 − 4√3)/10
    • (−4√3 − 3)/10

    Отговор: (4√3 − 3)/10

    sin α = 4/5. cos(α − 60°) = cos α cos 60° + sin α sin 60° = −3/10 + 4√3/10.

14. tg α = 3. Намерете tg(α + 45°).

    • 2
    • −2
    • 4
    • −1/2

    Отговор: −2

    tg(α + 45°) = (tg α + 1)/(1 − tg α) = 4/(−2) = −2.

15. cos α = −5/13 и π < α < 3π/2. Намерете tg 2α.

    • 120/119
    • −120/119
    • −119/120
    • 24/5

    Отговор: −120/119

    sin α = −12/13, tg α = 12/5, tg 2α = (24/5)/(1 − 144/25) = (24/5) · (−25/119) = −120/119.

Преобразувания

1. На какво е равно sin²(α/2)?

   • (1 + cos α)/2
   • 1 − cos α
   • (1 − cos α)/2
   • (1 − sin α)/2

   Отговор: (1 − cos α)/2

   От cos α = 1 − 2sin²(α/2) следва sin²(α/2) = (1 − cos α)/2.

2. На какво е равно 1 + cos 2α?

   • 2sin²α
   • 2cos²α
   • cos²α
   • 2cos α

   Отговор: 2cos²α

   cos 2α = 2cos²α − 1, затова 1 + cos 2α = 2cos²α.

3. На какво е равно cos²(α/2)?

   • (1 − cos α)/2
   • (1 + cos α)/2
   • (1 + sin α)/2
   • (cos α)/2

   Отговор: (1 + cos α)/2

   От cos α = 2cos²(α/2) − 1 следва cos²(α/2) = (1 + cos α)/2.

4. Пресметнете 1 − 2sin²22,5°.

   • 1/2
   • √3/2
   • √2/2
   • 0

   Отговор: √2/2

   1 − 2sin²α = cos 2α, затова изразът е cos 45° = √2/2.

5. Пресметнете cos 75° + cos 15°.

   • √2/2
   • √3/2
   • √6/2
   • 1

   Отговор: √6/2

   cos 75° + cos 15° = 2cos 45°·cos 30° = 2·(√2/2)·(√3/2) = √6/2.

6. На какво е равно 1 − cos 2α?

   • 2cos²α
   • sin²α
   • 2sin²α
   • 2sin α

   Отговор: 2sin²α

   cos 2α = 1 − 2sin²α, затова 1 − cos 2α = 2sin²α.

7. Пресметнете sin 105° − sin 15°.

   • √2/2
   • √6/2
   • 1/2
   • √3/2

   Отговор: √2/2

   sin 105° − sin 15° = 2cos 60° sin 45° = 2 · 1/2 · √2/2 = √2/2.

8. Пресметнете 2sin 75°·cos 15°.

   • (2 + √3)/2
   • 1/2
   • (2 − √3)/2
   • √3/2

   Отговор: (2 + √3)/2

   2sin α cos β = sin(α + β) + sin(α − β) = sin 90° + sin 60° = 1 + √3/2 = (2 + √3)/2.

9. Пресметнете 2sin 45° · cos 15°.

   • (√3 + 1)/2
   • (√3 − 1)/2
   • √3/2
   • 1

   Отговор: (√3 + 1)/2

   2sin 45° · cos 15° = sin 60° + sin 30° = √3/2 + 1/2 = (√3 + 1)/2.

10. Пресметнете 2sin 75° sin 15°.

    • 1
    • 1/2
    • √3/2
    • 1/4

    Отговор: 1/2

    2sin α sin β = cos(α − β) − cos(α + β) = cos 60° − cos 90° = 1/2.

11. Опростете (cos α − cos 3α)/(sin 3α − sin α).

    • cotg 2α
    • tg α
    • −tg 2α
    • tg 2α

    Отговор: tg 2α

    Числителят е 2sin 2α·sin α, а знаменателят е 2cos 2α·sin α, затова частното е tg 2α.

12. Опростете (sin α + sin 3α)/(2sin 2α) при sin 2α ≠ 0.

    • sin α
    • cos 2α
    • tg α
    • cos α

    Отговор: cos α

    sin 3α + sin α = 2sin 2α · cos α, затова изразът е cos α.

13. Пресметнете tg 15°.

    • 2 + √3
    • √3 − 1
    • 2 − √3
    • (√3 − 1)/2

    Отговор: 2 − √3

    tg 15° = (1 − cos 30°)/sin 30° = (1 − √3/2)/(1/2) = 2 − √3.

14. Пресметнете tg 22,5°.

    • √2 + 1
    • 2 − √3
    • √2/2
    • √2 − 1

    Отговор: √2 − 1

    tg(α/2) = (1 − cos α)/sin α, затова tg 22,5° = (1 − √2/2)/(√2/2) = √2 − 1.

15. Пресметнете sin 10° · sin 50° · sin 70°.

    • 1/4
    • √3/8
    • 1/8
    • 1/16

    Отговор: 1/8

    sin 50° · sin 70° = (cos 20° − cos 120°)/2 = (cos 20° + 1/2)/2. Тогава произведението е (sin 10° cos 20°)/2 + sin 10°/4 = (sin 30° − sin 10°)/4 + sin 10°/4 = 1/8.

Финален въпрос