Формули за произведение на тригонометрични функции
Формулите за произведение превръщат произведение на тригонометрични функции в сбор или разлика. Те са обратни на формулите за сбор на функции и следват директно от формулите за cos(α ± β) и sin(α ± β). Използват се при пресмятане на произведения като 2sin 75° sin 15° и при доказване на тъждества.
Какво да запомним
- 2sin α cos β = sin(α + β) + sin(α − β).
- 2cos α cos β = cos(α − β) + cos(α + β).
- 2sin α sin β = cos(α − β) − cos(α + β).
- Пример: 2sin 75° sin 15° = cos 60° − cos 90° = 1/2.
Пример
2sin 75°·cos 15° = sin 90° + sin 60° = 1 + √3/2 = (2 + √3)/2.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Пресметнете 2sin 75° sin 15°.
- 1
- 1/2
- √3/2
- 1/4
Отговор: 1/2
2sin α sin β = cos(α − β) − cos(α + β) = cos 60° − cos 90° = 1/2.
Пресметнете 2sin 75°·cos 15°.
- (2 + √3)/2
- 1/2
- (2 − √3)/2
- √3/2
Отговор: (2 + √3)/2
2sin α cos β = sin(α + β) + sin(α − β) = sin 90° + sin 60° = 1 + √3/2 = (2 + √3)/2.
Коя формула е вярна за 2sin α cos β?
- sin(α + β) + sin(α − β)
- cos(α − β) + cos(α + β)
- sin(α + β) − sin(α − β)
- cos(α − β) − cos(α + β)
Отговор: sin(α + β) + sin(α − β)
Събираме sin(α + β) и sin(α − β) и получаваме 2sin α cos β.
Пресметнете 2cos 45°·cos 15°.
- √3/2
- 1
- (1 + √3)/2
- (√3 − 1)/2
Отговор: (1 + √3)/2
2cos 45° cos 15° = cos 30° + cos 60° = √3/2 + 1/2 = (1 + √3)/2.
Пресметнете sin 20°·sin 40°·sin 80°.
- 1/8
- √3/8
- √3/4
- 1/4
Отговор: √3/8
sin 20° sin 40° = (cos 20° − cos 60°)/2; като умножим по sin 80° и приложим формулите още веднъж, получаваме (sin 60°)/4 = √3/8.
На какво е равно 2cos α cos β?
- cos(α − β) + cos(α + β)
- cos(α − β) − cos(α + β)
- sin(α + β) + sin(α − β)
- cos(α + β)
Отговор: cos(α − β) + cos(α + β)
Събираме формулите за cos(α − β) и cos(α + β): получаваме 2cos α cos β.
На какво е равно 2sin α sin β?
- cos(α + β) − cos(α − β)
- cos(α − β) − cos(α + β)
- cos(α − β) + cos(α + β)
- sin(α + β)
Отговор: cos(α − β) − cos(α + β)
Изваждаме cos(α + β) от cos(α − β): получаваме 2sin α sin β.
Пресметнете 2cos 60°·cos 30°.
- 1/2
- √3
- √3/2
- 1
Отговор: √3/2
2cos 60° cos 30° = cos 30° + cos 90° = √3/2.
Запишете като сбор 2sin 3x·cos x.
- sin 4x − sin 2x
- cos 4x + cos 2x
- sin 3x
- sin 4x + sin 2x
Отговор: sin 4x + sin 2x
2sin 3x cos x = sin(3x + x) + sin(3x − x) = sin 4x + sin 2x.
Запишете като сбор 2cos 5x·cos 3x.
- cos 8x + cos 2x
- cos 8x − cos 2x
- sin 8x + sin 2x
- cos 15x
Отговор: cos 8x + cos 2x
2cos 5x cos 3x = cos(5x − 3x) + cos(5x + 3x) = cos 2x + cos 8x.
Пресметнете 2sin 45°·sin 15°.
- (√3 + 1)/2
- (√3 − 1)/2
- (√2 − 1)/2
- √3/2
Отговор: (√3 − 1)/2
2sin 45° sin 15° = cos 30° − cos 60° = √3/2 − 1/2.
Опростете 2sin(45° + α)·sin(45° − α).
- sin 2α
- 1
- cos 2α
- cos2α
Отговор: cos 2α
2sin(45° + α) sin(45° − α) = cos 2α − cos 90° = cos 2α.
Пресметнете sin 37,5°·cos 7,5°.
- (√2 + 1)/2
- (√2 + 1)/4
- (√3 + 1)/4
- √2/4
Отговор: (√2 + 1)/4
sin 37,5° cos 7,5° = ½(sin 45° + sin 30°) = ½(√2/2 + 1/2) = (√2 + 1)/4.
Опростете 2sin x·sin 3x + cos 4x.
- cos 4x
- sin 2x
- 2cos 4x
- cos 2x
Отговор: cos 2x
2sin x sin 3x = cos 2x − cos 4x, затова изразът е cos 2x.
Колко е най-голямата стойност на y = sin(x + 30°)·cos(x − 30°)?
- (2 + √3)/4
- 1
- (1 + √3)/2
- √3/4
Отговор: (2 + √3)/4
y = ½(sin 2x + sin 60°), а най-голямата стойност на sin 2x е 1: y = ½(1 + √3/2) = (2 + √3)/4.