ТърсиКод от учителяЗапочни безплатноЗапочни
Започни безплатно
Класове
Начален етап
Прогимназиален етап
Гимназиален етап
ИгриЗа родителиЦениУченик? Влез с код от учителя
Още
НВО и матуриСтатииВидеоЗа училища
Математика · 12 клас · урок 5 от 5

Тригонометрични уравнения чрез полагане: квадратни уравнения

Много тригонометрични уравнения се свеждат до квадратни чрез полагане t = sin x, t = cos x или t = tg x. Преди това уравнението се записва с една функция, като се използват тъждествата sin2x + cos2x = 1, cos 2x = 2cos2x − 1 = 1 − 2sin2x и tg x · cotg x = 1. Стойностите на t, по-големи по модул от 1, при синус и косинус се отхвърлят. Еднородните уравнения (напр. sin x + √3cos x = 0) се делят на cos x.

Играйте само този урок:Вярно или невярноТаблоБомбаНадбягванеОтборен тест А/Б/В/ГГорещ стол

Работен лист за печат

Какво да запомним

  • Полагане t = sin x или t = cos x, |t| ≤ 1.
  • sin2x = 1 − cos2x; cos 2x = 2cos2x − 1.
  • Еднородно уравнение: деление на cos x ≠ 0 и решаване спрямо tg x.
  • При броене на решения в интервал всяка серия се проверява поотделно.

Пример

2sin2x − 3sin x + 1 = 0 дава sin x = 1 или sin x = 1/2; в [0; 2π) решенията са π/6, π/2 и 5π/6.

Проверете се: 10 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

  1. Решете уравнението 2sin2x − 1 = 0.
    • x = π/4 + kπ/2
    • x = ±π/4 + 2kπ
    • x = π/4 + kπ
    • x = π/2 + kπ

    Отговор: x = π/4 + kπ/2

    1 − 2sin2x = cos 2x = 0, 2x = π/2 + kπ, x = π/4 + kπ/2.

  2. Решете уравнението sin2x − sin x = 0.
    • x = kπ
    • x = kπ и x = π/2 + 2kπ
    • x = π/2 + kπ
    • x = 2kπ и x = π/2 + 2kπ

    Отговор: x = kπ и x = π/2 + 2kπ

    sin x(sin x − 1) = 0: sin x = 0 или sin x = 1.

  3. Решете уравнението 2cos2x + cos x − 1 = 0.
    • x = ±π/3 + 2kπ
    • x = ±π/6 + 2kπ и x = π + 2kπ
    • x = ±π/3 + 2kπ и x = π + 2kπ
    • x = π/3 + kπ

    Отговор: x = ±π/3 + 2kπ и x = π + 2kπ

    t = cos x: 2t2 + t − 1 = 0, t = 1/2 или t = −1.

  4. Решете уравнението 2sin2x − 3cos x − 3 = 0.
    • x = ±π/3 + 2kπ
    • x = π + 2kπ
    • x = ±2π/3 + 2kπ и x = π + 2kπ
    • x = ±2π/3 + 2kπ

    Отговор: x = ±2π/3 + 2kπ и x = π + 2kπ

    2(1 − cos2x) − 3cos x − 3 = 0, 2cos2x + 3cos x + 1 = 0, cos x = −1/2 или cos x = −1.

  5. Колко решения има уравнението tg2x − tg x = 0 в интервала [0; 2π)?
    • 2
    • 3
    • 4
    • 6

    Отговор: 4

    tg x = 0: x = 0 и π; tg x = 1: x = π/4 и 5π/4.

  6. Решете уравнението sin2x = 1/4.
    • x = π/6 + 2kπ
    • x = ±π/3 + kπ
    • x = π/6 + kπ
    • x = ±π/6 + kπ

    Отговор: x = ±π/6 + kπ

    sin x = ±1/2: решенията са π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6 + 2kπ, т.е. x = ±π/6 + kπ.

  7. Решете уравнението tg x + cotg x = 2.
    • x = π/4 + 2kπ
    • x = −π/4 + kπ
    • x = π/4 + kπ
    • x = π/2 + kπ

    Отговор: x = π/4 + kπ

    t = tg x: t + 1/t = 2, (t − 1)2 = 0, t = 1.

  8. Решете уравнението cos 2x + sin x = 1.
    • x = kπ
    • x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ
    • x = 2kπ и x = π/6 + kπ
    • x = kπ, x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ

    Отговор: x = kπ, x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ

    1 − 2sin2x + sin x = 1, sin x(1 − 2sin x) = 0: sin x = 0 или sin x = 1/2.

  9. Решете уравнението sin x + √3cos x = 0.
    • x = π/3 + kπ
    • x = −π/3 + kπ
    • x = −π/6 + kπ
    • x = 2π/3 + 2kπ

    Отговор: x = −π/3 + kπ

    Делим на cos x ≠ 0: tg x = −√3, x = −π/3 + kπ.

  10. Колко решения има уравнението 2cos2x − 3cos x + 1 = 0 в интервала [0; 2π)?
    • 3
    • 2
    • 4
    • 1

    Отговор: 3

    cos x = 1: x = 0; cos x = 1/2: x = π/3 и x = 5π/3.