ТърсиКод от учителяЗапочни безплатноЗапочни
Започни безплатно
Класове
Начален етап
Прогимназиален етап
Гимназиален етап
ИгриЗа родителиЦениУченик? Влез с код от учителя
Още
НВО и матуриСтатииВидеоЗа училища
Математика · 12 клас

Уравнения: задачи за подготовка за ДЗИ

51 въпроса с отговори, 10 ключови понятия и 6 задачи за мислене и 19 игри за проектора.

  1. 1 Тема: Уравнения: задачи за подготовка за ДЗИ
  2. 2 Изберете игра
  3. 3 Пуснете на проектора
По тема 50 въпроса, 10 понятия, 6 задачи · 19 игриДобави в любими

Уравнения: задачи за подготовка за ДЗИ

Модулни уравненияПоказателни уравненияЛогаритмични уравненияsin, cos, tg = aКъм квадратни

Табло и Вярно или невярно са безплатни с профил. Всички игри и „На живо“: 30 дни безплатно за учители. Цени

На живо с телефониУчениците влизат с код и отговарят от телефона си. Класация в реално време.
Без интернет в класната стая?Без профил можете да свалите безплатните игри (Табло и Вярно или невярно). С профил се свалят всички игри по темата.

Без проектор и без телефони

Отбелязвате от своя компютър, а всеки отговор отива в профила на ученика.
Учителят водиВъпросът е на вашия компютър. Избирате ученик, той отговаря устно, вие цъкате Вярно или Грешно.Само компютърКарти А Б В ГЦелият клас вдига карта с буква наведнъж. Цъкате само сгрешилите, отговорите отиват в профилите.Карти от принтер или пръсти 1-4Тест за печатРазпечатайте тест с ключ. След проверката цъкате грешните отговори в таблица и виждате кое е трудно.Принтер

Отборни битки

Класът е разделен на отбори, които се състезават за точки.
Табло5 теми по 5 въпроса, от 100 до 500 точки. Отборите избират поле, едно поле крие двойна стойност.БезплатноОтборен тест А/Б/В/ГВъпрос с четири отговора и таймер. Всеки отбор вдига карта с буква.Пусни на проектораНадбягванеВсеки отбор има писта. Верният отговор движи колата напред, трудният въпрос дава турбо.Пусни на проектораТеглене на въжеДва отбора един срещу друг. Всеки верен отговор дърпа въжето към твоя отбор.Пусни на проектораМорски шахХ срещу О на поле 3 на 3. За да заемеш квадрат, трябва да отговориш на въпроса в него.Пусни на проектораБомбаБомбата с неизвестен фитил минава от отбор на отбор при верен отговор. Не я задържай!Пусни на проектораКолелотоЗавъртете колелото: то избира темата и наградата. Понякога носи бонус, понякога взима хода.Пусни на проектора

Целият клас

Всички играят заедно или един по един пред класа.
Ескейп стаяПет заключени врати и часовник. Всяка решена врата дава цифра от кода за изход.Пусни на проектораМилионер15 въпроса с нарастваща трудност, три жокера и сигурни суми.Пусни на проектораГорещ столЕдин ученик, 60 секунди и колкото може повече верни отговори. Класът следи класацията.Пусни на проектораБингоРазпечатайте картите. Учителят чете въпросите, учениците зачеркват отговорите.Пусни на проектораВярно или невярноБързи твърдения. Класът гласува с палец нагоре или надолу.Безплатно

Думи и понятия

Ключовите понятия от темата: познай, свържи, запомни.
КръстословицаКръстословица от 10 ключови понятия. Решавате на екрана или я разпечатвате.Пусни на проектораБесеницаПознайте понятието буква по буква, преди да свършат опитите.Пусни на проектораТайният обектТри подсказки от трудна към лесна. Колкото по-рано познаеш, толкова повече точки.Пусни на проектораМемориОбърнати карти с въпроси и отговори. Намерете двойките и запомнете къде са.Пусни на проектораСвържи двойкитеШест въпроса и шест отговора, разбъркани. Отборите ги свързват на ред.Пусни на проектора

Мислене

Подреждане и откриване на грешки: разбиране, не наизуст.
ПодредиРазбъркани стъпки, събития или стойности. Класът ги подрежда в правилния ред.Пусни на проектораНамери грешкатаРешение или бележки с един грешен ред. Кой ще го открие пръв?Пусни на проектора

Уроци в темата

Кратко обяснение, най-важното за запомняне и въпроси за всеки урок от учебната програма.

Урок 1 · 10 въпросаМодулни уравнения: решаване и брой корениУрок 2 · 10 въпросаПоказателни уравнения: свеждане до обща основа и полаганеУрок 3 · 10 въпросаЛогаритмични уравнения: дефиниционно множество и проверкаУрок 4 · 10 въпросаУравненията sin x = a, cos x = a, tg x = a и cotg x = aУрок 5 · 10 въпросаТригонометрични уравнения чрез полагане: квадратни уравнения

Въпроси и отговори: Уравнения: задачи за подготовка за ДЗИ

Всички въпроси от комплекта по математика за 12 клас. Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението. Удобно за преговор преди контролно и за подготовка у дома.

Модулни уравнения

  1. Решете уравнението |x2 − 2| = 7.
    • −3 и 3
    • 3
    • −√5, √5, −3 и 3
    • Няма решение

    Отговор: −3 и 3

    x2 − 2 = 7 дава x = ±3, а x2 − 2 = −7 няма решение.

  2. Решете уравнението |x + 2| = 3.
    • 1
    • −1 и 5
    • 1 и −5
    • 5 и −5

    Отговор: 1 и −5

    x + 2 = 3 или x + 2 = −3.

  3. Колко корена има уравнението |x2 − 4x| = 3?
    • 2
    • 3
    • 4
    • 1

    Отговор: 4

    x2 − 4x − 3 = 0 има 2 корена (2 ± √7), а x2 − 4x + 3 = 0 има корени 1 и 3.

  4. Решете уравнението |x2 + 4| = 3.
    • −1 и 1
    • −√7 и √7
    • Няма решение
    • 1

    Отговор: Няма решение

    x2 + 4 ≥ 4 > 3 за всяко x.

  5. Решете уравнението |x2 − x| = 2.
    • 1 и −2
    • −1 и 2
    • −1, 0 и 2
    • Няма решение

    Отговор: −1 и 2

    x2 − x − 2 = 0 дава −1 и 2, а x2 − x + 2 = 0 няма реални корени.

  6. Кой е най-малкият корен на уравнението |x2 − 2x| = 8?
    • −2
    • −4
    • 4
    • 2

    Отговор: −2

    x2 − 2x − 8 = 0 дава 4 и −2; x2 − 2x + 8 = 0 няма реални корени.

  7. При коя стойност на m уравнението |x2 − 6x + 5| = m има точно 3 корена?
    • m = 5
    • m = 4
    • m = 0
    • m = 9

    Отговор: m = 4

    Върхът на параболата е (3; −4); след отразяването правата y = 4 я пресича в 3 точки.

  8. При кои стойности на m уравнението |x2 − 9| = m има точно 4 корена?
    • m > 9
    • m = 9
    • m > 0
    • 0 < m < 9

    Отговор: 0 < m < 9

    При 0 < m < 9 и двете уравнения x2 = 9 ± m имат по 2 корена; при m = 9 корените са 3, а при m > 9 са 2.

  9. Намерете произведението на корените на уравнението |x2 − 3x| = 4.
    • −4
    • 4
    • 16
    • −16

    Отговор: −4

    x2 − 3x − 4 = 0 дава 4 и −1; x2 − 3x + 4 = 0 няма реални корени; 4 · (−1) = −4.

  10. Решете уравнението |x2 − 5x + 4| = x − 1.
    • 1, 3 и 5
    • 1 и 5
    • 3 и 5
    • 1 и 3

    Отговор: 1, 3 и 5

    При x ≥ 1: x2 − 5x + 4 = x − 1 дава 1 и 5; x2 − 5x + 4 = 1 − x дава 1 и 3.

Показателни уравнения

  1. Решете уравнението 2x = 64.
    • 6
    • 32
    • 8
    • 5

    Отговор: 6

    64 = 26.

  2. Решете уравнението 7x = 1.
    • 0
    • 1
    • 7
    • −1

    Отговор: 0

    1 = 70.

  3. Решете уравнението 32x − 1 = 1/27.
    • 1
    • −1
    • −2
    • 2

    Отговор: −1

    1/27 = 3−3, 2x − 1 = −3, x = −1.

  4. Решете уравнението (1/3)x = 9.
    • 2
    • 1/2
    • −1/2
    • −2

    Отговор: −2

    9 = (1/3)−2.

  5. Решете уравнението 4x − 6·2x + 8 = 0.
    • 2 и 4
    • 0 и 1
    • 1
    • 1 и 2

    Отговор: 1 и 2

    t = 2x: t2 − 6t + 8 = 0, t = 2 или t = 4, x = 1 или x = 2.

  6. Решете уравнението 2x2 = 16.
    • 2
    • −2 и 2
    • 4
    • −4 и 4

    Отговор: −2 и 2

    x2 = 4, x = ±2.

  7. Решете уравнението 5x + 1 − 5x = 100.
    • 2
    • 3
    • 1
    • 25

    Отговор: 2

    5x(5 − 1) = 100, 5x = 25, x = 2.

  8. Решете уравнението 3x·2x = 36.
    • 3
    • 2
    • 6
    • 1

    Отговор: 2

    3x·2x = 6x = 36 = 62.

  9. Решете уравнението 9x − 2·3x − 3 = 0.
    • 0 и 1
    • −1 и 3
    • 1
    • Няма решение

    Отговор: 1

    t = 3x: t2 − 2t − 3 = 0, t = 3 или t = −1; 3x = 3, x = 1.

  10. Решете уравнението 3x + 32 − x = 10.
    • 1 и 9
    • 0 и 2
    • 2
    • 0

    Отговор: 0 и 2

    t = 3x: t + 9/t = 10, t2 − 10t + 9 = 0, t = 1 или t = 9, x = 0 или x = 2.

Логаритмични уравнения

  1. Решете уравнението log4x = 3.
    • 12
    • 81
    • 3/4
    • 64

    Отговор: 64

    x = 43 = 64.

  2. Решете уравнението lg x = −1.
    • 0,1
    • −10
    • 10
    • 0,01

    Отговор: 0,1

    x = 10−1 = 0,1.

  3. Решете уравнението log3(x + 2) = 2.
    • 9
    • 4
    • 7
    • 11

    Отговор: 7

    x + 2 = 32 = 9, x = 7.

  4. Решете уравнението logx27 = 3.
    • 9
    • 1/3
    • 81
    • 3

    Отговор: 3

    x3 = 27, x = 3 (x > 0, x ≠ 1).

  5. Решете уравнението lg x + lg(x + 3) = 1.
    • 2 и −5
    • −5
    • 10
    • 2

    Отговор: 2

    ДМ: x > 0; x(x + 3) = 10, x2 + 3x − 10 = 0, x = 2 или x = −5; −5 не е в ДМ.

  6. Решете уравнението log3(x2 − 7) = 2.
    • 4
    • −3 и 3
    • −4 и 4
    • 16

    Отговор: −4 и 4

    x2 − 7 = 9, x = ±4; и двата корена са в ДМ.

  7. Решете уравнението log32x − log3x − 2 = 0.
    • 2 и −1
    • 9
    • 3 и 1/9
    • 9 и 1/3

    Отговор: 9 и 1/3

    t = log3x: t2 − t − 2 = 0, t = 2 или t = −1, x = 9 или x = 1/3.

  8. Решете уравнението log5(3x + 1) = log5(x + 7).
    • 4
    • 2
    • 6
    • 3

    Отговор: 3

    3x + 1 = x + 7, x = 3; тогава 3x + 1 = 10 > 0.

  9. Решете уравнението log3(x + 1) + log3(x + 3) = 1.
    • 0 и −4
    • 0
    • −4
    • 2

    Отговор: 0

    ДМ: x > −1; (x + 1)(x + 3) = 3, x2 + 4x = 0, x = 0 или x = −4; остава x = 0.

  10. Решете уравнението log2x = 6 − x.
    • 2
    • 8
    • 4
    • 6

    Отговор: 4

    x = 4: log24 = 2 = 6 − 4; лявата страна расте, дясната намалява, затова коренът е един.

sin, cos, tg = a

  1. Решете уравнението cos x = −√2/2.
    • x = ±π/4 + 2kπ
    • x = 3π/4 + kπ
    • x = −π/4 + 2kπ
    • x = ±3π/4 + 2kπ

    Отговор: x = ±3π/4 + 2kπ

    arccos(−√2/2) = 3π/4.

  2. Решете уравнението cotg x = √3.
    • x = π/6 + kπ
    • x = π/3 + kπ
    • x = π/6 + 2kπ
    • x = −π/6 + kπ

    Отговор: x = π/6 + kπ

    cotg(π/6) = √3, а котангенсът има период π.

  3. Решете уравнението sin x = 1/2.
    • x = ±π/6 + 2kπ
    • x = π/6 + kπ
    • x = ±π/3 + 2kπ
    • x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ

    Отговор: x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ

    arcsin(1/2) = π/6, второто решение е π − π/6 = 5π/6.

  4. Решете уравнението cos x = √2/2.
    • x = ±π/4 + 2kπ
    • x = π/4 + kπ
    • x = ±π/4 + kπ
    • x = π/4 + 2kπ

    Отговор: x = ±π/4 + 2kπ

    arccos(√2/2) = π/4.

  5. Решете уравнението tg x = −√3/3.
    • x = −π/6 + kπ
    • x = π/6 + kπ
    • x = −π/6 + 2kπ
    • x = 5π/6 + 2kπ

    Отговор: x = −π/6 + kπ

    arctg(−√3/3) = −π/6, а тангенсът има период π.

  6. Решете уравнението tg 3x = 0.
    • x = kπ
    • x = 3kπ
    • x = kπ/3
    • x = π/3 + kπ

    Отговор: x = kπ/3

    3x = kπ, x = kπ/3.

  7. Колко решения има уравнението cos x = −1/2 в интервала [0; 2π]?
    • 1
    • 2
    • 4
    • 3

    Отговор: 2

    Решенията са 2π/3 и 4π/3.

  8. Колко решения има уравнението sin x = 0,3 в интервала [0; 2π]?
    • 1
    • 2
    • 0
    • 4

    Отговор: 2

    Правата y = 0,3 пресича синусоидата два пъти в един период: веднъж в I и веднъж във II квадрант.

  9. Решете уравнението sin 3x = 1.
    • x = π/6 + 2kπ/3
    • x = π/6 + 2kπ
    • x = π/2 + 2kπ
    • x = π/6 + kπ/3

    Отговор: x = π/6 + 2kπ/3

    3x = π/2 + 2kπ, x = π/6 + 2kπ/3.

  10. Решете уравнението sin(2x + π/4) = 0.
    • x = π/8 + kπ/2
    • x = −π/8 + kπ/2
    • x = −π/8 + kπ
    • x = −π/4 + kπ

    Отговор: x = −π/8 + kπ/2

    2x + π/4 = kπ, 2x = −π/4 + kπ, x = −π/8 + kπ/2.

Към квадратни

  1. Решете уравнението 2sin2x − 1 = 0.
    • x = π/4 + kπ/2
    • x = ±π/4 + 2kπ
    • x = π/4 + kπ
    • x = π/2 + kπ

    Отговор: x = π/4 + kπ/2

    1 − 2sin2x = cos 2x = 0, 2x = π/2 + kπ, x = π/4 + kπ/2.

  2. Решете уравнението sin2x = 1/4.
    • x = π/6 + 2kπ
    • x = ±π/3 + kπ
    • x = π/6 + kπ
    • x = ±π/6 + kπ

    Отговор: x = ±π/6 + kπ

    sin x = ±1/2: решенията са π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6 + 2kπ, т.е. x = ±π/6 + kπ.

  3. Решете уравнението sin2x − sin x = 0.
    • x = kπ
    • x = kπ и x = π/2 + 2kπ
    • x = π/2 + kπ
    • x = 2kπ и x = π/2 + 2kπ

    Отговор: x = kπ и x = π/2 + 2kπ

    sin x(sin x − 1) = 0: sin x = 0 или sin x = 1.

  4. Решете уравнението tg x + cotg x = 2.
    • x = π/4 + 2kπ
    • x = −π/4 + kπ
    • x = π/4 + kπ
    • x = π/2 + kπ

    Отговор: x = π/4 + kπ

    t = tg x: t + 1/t = 2, (t − 1)2 = 0, t = 1.

  5. Решете уравнението 2cos2x + cos x − 1 = 0.
    • x = ±π/3 + 2kπ
    • x = ±π/6 + 2kπ и x = π + 2kπ
    • x = ±π/3 + 2kπ и x = π + 2kπ
    • x = π/3 + kπ

    Отговор: x = ±π/3 + 2kπ и x = π + 2kπ

    t = cos x: 2t2 + t − 1 = 0, t = 1/2 или t = −1.

  6. Решете уравнението cos 2x + sin x = 1.
    • x = kπ
    • x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ
    • x = 2kπ и x = π/6 + kπ
    • x = kπ, x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ

    Отговор: x = kπ, x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ

    1 − 2sin2x + sin x = 1, sin x(1 − 2sin x) = 0: sin x = 0 или sin x = 1/2.

  7. Решете уравнението 2sin2x − 3cos x − 3 = 0.
    • x = ±π/3 + 2kπ
    • x = π + 2kπ
    • x = ±2π/3 + 2kπ и x = π + 2kπ
    • x = ±2π/3 + 2kπ

    Отговор: x = ±2π/3 + 2kπ и x = π + 2kπ

    2(1 − cos2x) − 3cos x − 3 = 0, 2cos2x + 3cos x + 1 = 0, cos x = −1/2 или cos x = −1.

  8. Решете уравнението sin x + √3cos x = 0.
    • x = π/3 + kπ
    • x = −π/3 + kπ
    • x = −π/6 + kπ
    • x = 2π/3 + 2kπ

    Отговор: x = −π/3 + kπ

    Делим на cos x ≠ 0: tg x = −√3, x = −π/3 + kπ.

  9. Колко решения има уравнението tg2x − tg x = 0 в интервала [0; 2π)?
    • 2
    • 3
    • 4
    • 6

    Отговор: 4

    tg x = 0: x = 0 и π; tg x = 1: x = π/4 и 5π/4.

  10. Колко решения има уравнението 2cos2x − 3cos x + 1 = 0 в интервала [0; 2π)?
    • 3
    • 2
    • 4
    • 1

    Отговор: 3

    cos x = 1: x = 0; cos x = 1/2: x = π/3 и x = 5π/3.

Финален въпрос

Решете уравнението 2x + 3x = 13.

Отговор: x = 2

x = 2 е решение: 4 + 9 = 13. Лявата страна е строго растяща функция, затова друго решение няма.

Ключови понятия по темата

Параметър
Буква в уравнението, от която зависи броят на корените
Арккосинус
Ъгълът от [0; π], чийто косинус е дадено число
Еднородно
Тригонометрично уравнение, в което всички членове са от една и съща степен
Серия
Безкрайно множество решения от вида α + 2kπ
Отхвърляне
Изключване на корен, който не е в дефиниционното множество
Показателно
Уравнение, в което неизвестното е в степента на дадено число
Логаритмично
Уравнение, в което неизвестното е под знака log
Еквивалентни
Уравнения с едно и също множество от решения
Период
Най-малкото положително число, след което функцията се повтаря
Квадратно
Уравнение от вида at<sup>2</sup> + bt + c = 0

Често задавани въпроси

Как да проведа час по темата „Уравнения: задачи за подготовка за ДЗИ“ с игра?

Изберете игра от комплекта и я пуснете на проектора или интерактивната дъска. Табло е добро за преговор на целия раздел, Ескейп стая е подходяща преди контролно, а Вярно или невярно е бърза загрявка в началото на часа. Не е нужно нищо за инсталиране.

По учебната програма ли са въпросите за 12 клас?

Да. Въпросите следват учебната програма на МОН по математика за 12 клас (втори гимназиален етап) и покриват: Модулни уравнения, Показателни уравнения, Логаритмични уравнения, sin, cos, tg = a, Към квадратни.

Могат ли учениците да отговарят от телефоните си?

Да. С режим „На живо“ всеки ученик влиза с код от телефона си, отговаря на въпросите и вижда класацията в реално време.

Може ли детето да упражнява темата у дома?

Да. В раздел „У дома“ детето играе със същите въпроси, събира звезди и повтаря грешките си, а родителят вижда напредъка.

Още теми по математика

12 клас · I срокМатематика 12 клас: към ДЗИ, първи срок12 клас · II срокМатематика 12 клас: към ДЗИ, втори срок12 клас · По темаМатематика 12 клас: Статистика12 клас · По темаМатематика 12 клас: Уравнения12 клас · По темаМатематика 12 клас: Неравенства12 клас · По темаМатематика 12 клас: Екстремални задачи11 клас · I срокМатематика 11 клас: преговор първи срок11 клас · II срокМатематика 11 клас: преговор втори срок

Всички теми по математика за 12 клас · Всички игри