Как да се упражни урокът у дома?

Прочетете обяснението и ключовите неща, после отговорете на въпросите по-долу. За повече упражнения отворете темата „Уравнения: задачи за подготовка за ДЗИ“ и изберете игра или режим „У дома“.

Математика · 12 клас · урок 1 от 5

Модулни уравнения: решаване и брой корени

Уравнението |f(x)| = m при m > 0 е равносилно на f(x) = m или f(x) = −m; при m = 0 то е f(x) = 0, а при m < 0 няма решение. При квадратен тричлен под модула всяко от двете квадратни уравнения може да даде 0, 1 или 2 корена. Броят на корените на |x² + bx + c| = m зависи от положението на правата y = m спрямо графиката на модула, която се "отразява" нагоре под оста Ox. Ако дясната страна съдържа x, трябва тя да е неотрицателна.

Играйте само този урок:Вярно или невярно Табло Бомба Надбягване Отборен тест А/Б/В/Г Горещ стол

Работен лист за печат

Какво да запомним

|f(x)| = m, m > 0 ⇔ f(x) = m или f(x) = −m.
Графиката на y = |f(x)| се получава, като частта под Ox се отрази нагоре.
Точно 3 корена има, когато m е равно на "върха" на отразената парабола.
|f(x)| = g(x) изисква g(x) ≥ 0.

Пример

|x² − 6x + 5| = m има точно 3 корена при m = 4, защото параболата y = x² − 6x + 5 има връх (3; −4).

Проверете се: 10 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

Решете уравнението |x² − 2| = 7.
- −3 и 3
- 3
- −√5, √5, −3 и 3
- Няма решение
Отговор: −3 и 3
x² − 2 = 7 дава x = ±3, а x² − 2 = −7 няма решение.
Колко корена има уравнението |x² − 4x| = 3?
- 2
- 3
- 4
- 1
Отговор: 4
x² − 4x − 3 = 0 има 2 корена (2 ± √7), а x² − 4x + 3 = 0 има корени 1 и 3.
Решете уравнението |x² − x| = 2.
- 1 и −2
- −1 и 2
- −1, 0 и 2
- Няма решение
Отговор: −1 и 2
x² − x − 2 = 0 дава −1 и 2, а x² − x + 2 = 0 няма реални корени.
При коя стойност на m уравнението |x² − 6x + 5| = m има точно 3 корена?
- m = 5
- m = 4
- m = 0
- m = 9
Отговор: m = 4
Върхът на параболата е (3; −4); след отразяването правата y = 4 я пресича в 3 точки.
Намерете произведението на корените на уравнението |x² − 3x| = 4.
- −4
- 4
- 16
- −16
Отговор: −4
x² − 3x − 4 = 0 дава 4 и −1; x² − 3x + 4 = 0 няма реални корени; 4 · (−1) = −4.
Решете уравнението |x + 2| = 3.
- 1
- −1 и 5
- 1 и −5
- 5 и −5
Отговор: 1 и −5
x + 2 = 3 или x + 2 = −3.
Решете уравнението |x² + 4| = 3.
- −1 и 1
- −√7 и √7
- Няма решение
- 1
Отговор: Няма решение
x² + 4 ≥ 4 > 3 за всяко x.
Кой е най-малкият корен на уравнението |x² − 2x| = 8?
- −2
- −4
- 4
- 2
Отговор: −2
x² − 2x − 8 = 0 дава 4 и −2; x² − 2x + 8 = 0 няма реални корени.
При кои стойности на m уравнението |x² − 9| = m има точно 4 корена?
- m > 9
- m = 9
- m > 0
- 0 < m < 9
Отговор: 0 < m < 9
При 0 < m < 9 и двете уравнения x² = 9 ± m имат по 2 корена; при m = 9 корените са 3, а при m > 9 са 2.
Решете уравнението |x² − 5x + 4| = x − 1.
- 1, 3 и 5
- 1 и 5
- 3 и 5
- 1 и 3
Отговор: 1, 3 и 5
При x ≥ 1: x² − 5x + 4 = x − 1 дава 1 и 5; x² − 5x + 4 = 1 − x дава 1 и 3.