Уравненията sin x = a, cos x = a, tg x = a и cotg x = a
Уравнението sin x = a има решения само при −1 ≤ a ≤ 1: x = arcsin a + 2kπ и x = π − arcsin a + 2kπ. Уравнението cos x = a (|a| ≤ 1) има решения x = ±arccos a + 2kπ. Уравненията tg x = a и cotg x = a имат решения за всяко a и се повтарят през π. При аргумент kx или x + φ първо се решава спрямо целия аргумент, а после се изразява x.
Какво да запомним
- sin x = a: x = arcsin a + 2kπ и x = π − arcsin a + 2kπ.
- cos x = a: x = ±arccos a + 2kπ.
- tg x = a: x = arctg a + kπ.
- sin 3x = 1: 3x = π/2 + 2kπ, x = π/6 + 2kπ/3.
Пример
cos x = −1/2 има в интервала [0; 2π] точно две решения: 2π/3 и 4π/3.
Проверете се: 10 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Решете уравнението cos x = −√2/2.
- x = ±π/4 + 2kπ
- x = 3π/4 + kπ
- x = −π/4 + 2kπ
- x = ±3π/4 + 2kπ
Отговор: x = ±3π/4 + 2kπ
arccos(−√2/2) = 3π/4.
Решете уравнението sin x = 1/2.
- x = ±π/6 + 2kπ
- x = π/6 + kπ
- x = ±π/3 + 2kπ
- x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ
Отговор: x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ
arcsin(1/2) = π/6, второто решение е π − π/6 = 5π/6.
Решете уравнението tg x = −√3/3.
- x = −π/6 + kπ
- x = π/6 + kπ
- x = −π/6 + 2kπ
- x = 5π/6 + 2kπ
Отговор: x = −π/6 + kπ
arctg(−√3/3) = −π/6, а тангенсът има период π.
Колко решения има уравнението cos x = −1/2 в интервала [0; 2π]?
- 1
- 2
- 4
- 3
Отговор: 2
Решенията са 2π/3 и 4π/3.
Решете уравнението sin 3x = 1.
- x = π/6 + 2kπ/3
- x = π/6 + 2kπ
- x = π/2 + 2kπ
- x = π/6 + kπ/3
Отговор: x = π/6 + 2kπ/3
3x = π/2 + 2kπ, x = π/6 + 2kπ/3.
Решете уравнението cotg x = √3.
- x = π/6 + kπ
- x = π/3 + kπ
- x = π/6 + 2kπ
- x = −π/6 + kπ
Отговор: x = π/6 + kπ
cotg(π/6) = √3, а котангенсът има период π.
Решете уравнението cos x = √2/2.
- x = ±π/4 + 2kπ
- x = π/4 + kπ
- x = ±π/4 + kπ
- x = π/4 + 2kπ
Отговор: x = ±π/4 + 2kπ
arccos(√2/2) = π/4.
Решете уравнението tg 3x = 0.
- x = kπ
- x = 3kπ
- x = kπ/3
- x = π/3 + kπ
Отговор: x = kπ/3
3x = kπ, x = kπ/3.
Колко решения има уравнението sin x = 0,3 в интервала [0; 2π]?
- 1
- 2
- 0
- 4
Отговор: 2
Правата y = 0,3 пресича синусоидата два пъти в един период: веднъж в I и веднъж във II квадрант.
Решете уравнението sin(2x + π/4) = 0.
- x = π/8 + kπ/2
- x = −π/8 + kπ/2
- x = −π/8 + kπ
- x = −π/4 + kπ
Отговор: x = −π/8 + kπ/2
2x + π/4 = kπ, 2x = −π/4 + kπ, x = −π/8 + kπ/2.