Уравнения от вида |ax + b| = c
Модулът (абсолютната стойност) |a| е разстоянието от числото a до 0 на числовата ос, затова никога не е отрицателен. Уравнението |ax + b| = c има два корена при c > 0 (ax + b = c или ax + b = −c), един корен при c = 0 и няма корени при c < 0. При уравнения с модул от двете страни |A| = |B| решаваме A = B или A = −B.
Какво да запомним
- |a| ≥ 0 за всяко a.
- |ax + b| = c, c > 0: ax + b = c или ax + b = −c.
- |ax + b| = 0: ax + b = 0.
- |ax + b| = c, c < 0: няма корени.
- |A| = |B| ⇔ A = B или A = −B.
Пример
|2x + 3| = 5 ⇒ 2x + 3 = 5 или 2x + 3 = −5 ⇒ x = 1 или x = −4.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Решете уравнението |x − 2| = 7.
- 9 и −5
- 9
- −9 и 5
- 5 и −5
Отговор: 9 и −5
x − 2 = 7 или x − 2 = −7, откъдето x = 9 или x = −5.
Решете уравнението |2x + 3| = 5.
- 1 и 4
- −1 и 4
- само 1
- 1 и −4
Отговор: 1 и −4
2x + 3 = 5 дава x = 1, а 2x + 3 = −5 дава x = −4.
Колко корена има уравнението |x − 1| = |2x + 1|?
- 1
- 2
- 0
- 4
Отговор: 2 (x = −2 и x = 0)
x − 1 = 2x + 1 дава x = −2, а x − 1 = −(2x + 1) дава x = 0. Корените са −2 и 0.
Колко корена има уравнението |x| = −3?
- нито един
- един
- два
- три
Отговор: нито един
Модулът е неотрицателно число и не може да е −3.
Решете уравнението |x − 3| + 2 = 2x.
- −1
- −1 и 5/3
- 5
- 5/3
Отговор: 5/3
При x ≥ 3 се получава x = −1, което не става. При x < 3: 3 − x + 2 = 2x, x = 5/3.
Колко е |−7|?
- 7
- −7
- 0
- 1/7
Отговор: 7
Модулът е разстоянието до 0, затова |−7| = 7.
Колко е |3 − 8|?
- −5
- 5
- 11
- −11
Отговор: 5
3 − 8 = −5, а |−5| = 5.
Кое твърдение е вярно за всяко число a?
- |a| > 0
- |a| = a
- |a| ≥ 0
- |a| ≤ 0
Отговор: |a| ≥ 0
Модулът е разстояние и никога не е отрицателен; |0| = 0.
Решете уравнението |x| = 0.
- няма корени
- x = 1
- x = ±1
- x = 0
Отговор: x = 0
Само числото 0 е на разстояние 0 от 0.
Решете уравнението |x + 4| = 1.
- −3 и −5
- −3 и 5
- 3 и −5
- −3
Отговор: −3 и −5
x + 4 = 1 или x + 4 = −1.
Решете уравнението |3x| = 12.
- 4
- 4 и −4
- 36 и −36
- 4 и −12
Отговор: 4 и −4
3x = 12 или 3x = −12.
Решете уравнението |5 − x| = 2.
- −3 и 7
- 3 и −7
- 3 и 7
- 3
Отговор: 3 и 7
5 − x = 2 или 5 − x = −2, т.е. x = 3 или x = 7.
Решете уравнението |2x − 1| + 3 = 8.
- 3
- 2 и −3
- 6 и −4
- 3 и −2
Отговор: 3 и −2
|2x − 1| = 5, значи 2x − 1 = 5 или 2x − 1 = −5.
За коя стойност на c уравнението |x − 2| = c има точно един корен?
- c = 0
- c = 2
- c = −2
- c = 1
Отговор: c = 0
При c = 0 остава x − 2 = 0; при c > 0 корените са два.
Решете уравнението |x + 2| = |x − 4|.
- −1
- 1
- 1 и −1
- няма корени
Отговор: 1
x + 2 = x − 4 няма решение; x + 2 = −(x − 4) дава 2x = 2, x = 1.