Уравнение с едно неизвестно. Еквивалентни уравнения
Уравнение с едно неизвестно е равенство, което съдържа неизвестно (например x). Корен на уравнението е число, което при заместване дава вярно числово равенство. Да решим уравнение означава да намерим всичките му корени или да покажем, че няма. Две уравнения са еквивалентни, ако имат едни и същи корени; при решаване заменяме уравнението с по-просто, еквивалентно на него.
Какво да запомним
- Корен: число, за което уравнението е вярно равенство.
- Еквивалентни уравнения: имат едни и същи корени.
- Пренасяне на член с противоположен знак дава еквивалентно уравнение.
- Умножение или деление на двете страни с число ≠ 0 дава еквивалентно уравнение.
- Уравнение може да има един корен, нито един или безброй много корени.
Пример
Числото 4 е корен на 2x − 1 = x + 3, защото 2·4 − 1 = 7 и 4 + 3 = 7.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
За коя стойност на a уравнението ax + 3 = 2x − 1 няма решение?
- a = −2
- a = 4
- a = 0
- a = 2
Отговор: a = 2
Уравнението е (a − 2)x = −4. При a = 2 се получава 0·x = −4, което няма решение.
Числото 3 е корен на уравнението ax − 6 = 2a + x. На колко е равно a?
- 3
- −3
- 9
- 6
Отговор: 9
3a − 6 = 2a + 3, откъдето a = 9.
Колко корена има уравнението 2(x − 3) + x = 3(x + 1)?
- един
- два
- безброй много
- нито един
Отговор: нито един
3x − 6 = 3x + 3 води до −6 = 3, което е невярно.
Кое от числата е корен на уравнението 2x − 1 = x + 3?
- 2
- 4
- −4
- 3
Отговор: 4
При x = 4: 2·4 − 1 = 7 и 4 + 3 = 7.
Кое уравнение е еквивалентно на уравнението 3x = 12?
- x + 4 = 0
- x − 4 = 0
- 3x + 12 = 0
- x = 36
Отговор: x − 4 = 0
И двете уравнения имат единствен корен 4.
Как се нарича числото, което превръща уравнението във вярно числово равенство?
- коефициент
- корен
- неизвестно
- свободен член
Отговор: корен
Корен на уравнението е число, за което то е вярно равенство.
Какво уравнение получаваме, ако прибавим едно и също число към двете страни на уравнение?
- без корени
- с повече корени
- еквивалентно
- неравенство
Отговор: еквивалентно
Прибавянето на число към двете страни не променя корените.
Кое уравнение е еквивалентно на x + 5 = 8?
- x = 13
- x = −3
- x = 8
- x = 3
Отговор: x = 3
Пренасяме 5 с противоположен знак: x = 8 − 5 = 3.
Колко корена има уравнението 2x = 0?
- един
- нито един
- два
- безброй много
Отговор: един
Единственият корен е x = 0.
С кое число умножаваме двете страни на x/3 = 4, за да махнем знаменателя?
- 4
- 3
- 12
- 1/3
Отговор: 3
3·(x/3) = 3·4, т.е. x = 12.
Еквивалентни ли са уравненията 2x = 6 и x2 = 9?
- Да, и двете имат корен 3
- Да, винаги
- Не
- Само при x > 0
Отговор: Не
Първото има само корен 3, а второто има корени 3 и −3.
Кое преобразуване може да НЕ даде еквивалентно уравнение?
- прибавяне на 7
- деление на 2
- пренасяне на член
- умножение по 0
Отговор: умножение по 0
След умножение по 0 получаваме 0 = 0, което е вярно за всяко x.
За коя стойност на m уравненията 2x − 4 = 0 и mx + 6 = 0 са еквивалентни?
- m = −3
- m = 3
- m = −2
- m = 6
Отговор: m = −3
Коренът на първото е 2; тогава 2m + 6 = 0, m = −3.
Колко корена има уравнението 3(x + 2) = 3x + 6?
- един
- безброй много
- нито един
- два
Отговор: безброй много
След разкриване получаваме 0·x = 0, вярно за всяко x.
При кои стойности на a уравнението ax = a2 има единствен корен?
- a = 0
- a = 1
- a ≠ 0
- при никое a
Отговор: a ≠ 0
При a ≠ 0 делим на a и x = a; при a = 0 всяко x е корен.