Уравнения

Линейни уравнения

1. Решете уравнението 3x + 7 = 1.

   • 2
   • −8/3
   • 8/3
   • −2

   Отговор: −2

   3x = 1 − 7 = −6, откъдето x = −2.

2. Решете уравнението x − 8 = 3.

   • 11
   • −5
   • 5
   • 24

   Отговор: 11

   x = 3 + 8 = 11.

3. Кое от числата е корен на уравнението 4x − 3 = 9?

   • 2
   • 3
   • 4
   • 6

   Отговор: 3

   4 · 3 − 3 = 12 − 3 = 9.

4. Решете уравнението 2(x − 3) = 5x + 9.

   • 5
   • −1
   • 3
   • −5

   Отговор: −5

   2x − 6 = 5x + 9, −3x = 15, x = −5.

5. Решете уравнението 0,5x + 2 = 7.

   • 4,5
   • 18
   • 2,5
   • 10

   Отговор: 10

   0,5x = 5, x = 10.

6. Сборът на три последователни естествени числа е 54. Кое е най-малкото от тях?

   • 18
   • 16
   • 17
   • 19

   Отговор: 17

   x + (x + 1) + (x + 2) = 54, 3x + 3 = 54, x = 17.

7. Решете уравнението x/2 − (x − 1)/3 = 2.

   • 14
   • 6
   • 10
   • 8

   Отговор: 10

   Умножаваме по 6: 3x − 2(x − 1) = 12, т.е. 3x − 2x + 2 = 12, x = 10.

8. Решете уравнението (2x − 1)/3 = (x + 4)/2.

   • 10
   • 14
   • 2
   • −14

   Отговор: 14

   2(2x − 1) = 3(x + 4), 4x − 2 = 3x + 12, x = 14.

9. Решете уравнението 3(x + 2) − 2(x − 1) = 12.

   • 2
   • 6
   • −4
   • 4

   Отговор: 4

   3x + 6 − 2x + 2 = 12, x + 8 = 12, x = 4.

10. За коя стойност на a уравнението ax + 3 = 2x − 1 няма решение?

    • a = −2
    • a = 4
    • a = 0
    • a = 2

    Отговор: a = 2

    Уравнението е (a − 2)x = −4. При a = 2 се получава 0·x = −4, което няма решение.

11. Числото 3 е корен на уравнението ax − 6 = 2a + x. На колко е равно a?

    • 3
    • −3
    • 9
    • 6

    Отговор: 9

    3a − 6 = 2a + 3, откъдето a = 9.

12. При коя стойност на a уравнението (a − 1)x = a − 1 има безброй много решения?

    • a = 0
    • a = 1
    • a = −1
    • a = 2

    Отговор: a = 1

    При a = 1 се получава 0 · x = 0, което е вярно за всяко x.

13. Решете уравнението (x − 1)² − (x + 2)(x − 2) = 3x − 5.

    • −2
    • 2
    • 0
    • 1

    Отговор: 2

    x² − 2x + 1 − x² + 4 = 3x − 5, т.е. −2x + 5 = 3x − 5, 5x = 10, x = 2.

14. Колко корена има уравнението 2(x − 3) + x = 3(x + 1)?

    • един
    • два
    • безброй много
    • нито един

    Отговор: нито един

    3x − 6 = 3x + 3 води до −6 = 3, което е невярно.

15. Баща е на 40 години, а синът му на 12. След колко години бащата ще е 2 пъти по-възрастен от сина?

    • 12
    • 14
    • 16
    • 20

    Отговор: 16

    40 + x = 2(12 + x), 40 + x = 24 + 2x, x = 16.

Произведение и модул

1. Решете уравнението (x − 4)(x + 1) = 0.

   • 4 и −1
   • −4 и 1
   • 4 и 1
   • само 4

   Отговор: 4 и −1

   Произведението е 0, когато x − 4 = 0 или x + 1 = 0.

2. Решете уравнението x(x − 5) = 0.

   • 5
   • 0 и −5
   • 0 и 5
   • −5

   Отговор: 0 и 5

   Произведението е 0, когато x = 0 или x − 5 = 0.

3. Решете уравнението |x| = 6.

   • 6
   • −6
   • 6 и −6
   • нито едно

   Отговор: 6 и −6

   Модулът на 6 и на −6 е 6.

4. Решете уравнението |x − 2| = 7.

   • 9 и −5
   • 9
   • −9 и 5
   • 5 и −5

   Отговор: 9 и −5

   x − 2 = 7 или x − 2 = −7, откъдето x = 9 или x = −5.

5. Колко корена има уравнението |x| = −3?

   • нито един
   • един
   • два
   • три

   Отговор: нито един

   Модулът е неотрицателно число и не може да е −3.

6. Решете уравнението (2x − 6)(x + 5) = 0.

   • 3 и −5
   • −3 и 5
   • 6 и −5
   • 3 и 5

   Отговор: 3 и −5

   2x − 6 = 0 дава x = 3, а x + 5 = 0 дава x = −5.

7. Решете уравнението 2x² − 8x = 0.

   • 0 и 4
   • 4
   • 0 и −4
   • 2 и 4

   Отговор: 0 и 4

   2x(x − 4) = 0, откъдето x = 0 или x = 4.

8. Решете уравнението x² − 16 = 0.

   • 4
   • 4 и −4
   • 16 и −16
   • 8 и −8

   Отговор: 4 и −4

   (x − 4)(x + 4) = 0, значи x = 4 или x = −4.

9. Решете уравнението x² = 5x.

   • 5
   • 0 и 5
   • 0 и −5
   • −5 и 5

   Отговор: 0 и 5

   x² − 5x = 0, x(x − 5) = 0, x = 0 или x = 5.

10. Решете уравнението |2x + 3| = 5.

    • 1 и 4
    • −1 и 4
    • само 1
    • 1 и −4

    Отговор: 1 и −4

    2x + 3 = 5 дава x = 1, а 2x + 3 = −5 дава x = −4.

11. Решете уравнението x³ − 4x = 0.

    • 2 и −2
    • 0, 2 и −2
    • 0 и 4
    • 0, 4 и −4

    Отговор: 0, 2 и −2

    x(x − 2)(x + 2) = 0.

12. Решете уравнението |x + 1| = 2x − 4.

    • 5 и 1
    • 1
    • 5
    • нито един

    Отговор: 5

    Трябва 2x − 4 ≥ 0. От x + 1 = 2x − 4 следва x = 5 (става). От −x − 1 = 2x − 4 следва x = 1, но тогава 2x − 4 = −2 < 0.

13. Колко корена има уравнението |x − 1| = |2x + 1|?

    • 1
    • 2
    • 0
    • 4

    Отговор: 2 (x = −2 и x = 0)

    x − 1 = 2x + 1 дава x = −2, а x − 1 = −(2x + 1) дава x = 0. Корените са −2 и 0.

14. Решете уравнението |x − 3| + 2 = 2x.

    • −1
    • −1 и 5/3
    • 5
    • 5/3

    Отговор: 5/3

    При x ≥ 3 се получава x = −1, което не става. При x < 3: 3 − x + 2 = 2x, x = 5/3.

15. Решете уравнението (x + 2)² = (2x − 1)².

    • 3
    • −3 и 1/3
    • 3 и 1/3
    • 3 и −1/3

    Отговор: 3 и −1/3

    x + 2 = 2x − 1 дава x = 3, а x + 2 = −(2x − 1) дава x = −1/3.

Задачи от движение

1. Кола се движи с 80 km/h. Колко километра изминава за 2,5 h?

   • 32 km
   • 160 km
   • 200 km
   • 220 km

   Отговор: 200 km

   s = v·t = 80·2,5 = 200 km.

2. Пешеходец върви със скорост 4 km/h. За колко часа ще измине 12 km?

   • 48 h
   • 8 h
   • 3 h
   • 4 h

   Отговор: 3 h

   t = s : v = 12 : 4 = 3 h.

3. Колко метра в секунда са 36 km/h?

   • 10 m/s
   • 36 m/s
   • 3,6 m/s
   • 100 m/s

   Отговор: 10 m/s

   36 km/h = 36 000 m : 3600 s = 10 m/s.

4. Велосипедист изминава 36 km за 3 h. С каква скорост се движи?

   • 33 km/h
   • 12 km/h
   • 108 km/h
   • 39 km/h

   Отговор: 12 km/h

   v = s : t = 36 : 3 = 12 km/h.

5. Скоростта на лодка в спокойна вода е 10 km/h, а на течението 2 km/h. С каква скорост се движи лодката срещу течението?

   • 8 km/h
   • 12 km/h
   • 10 km/h
   • 5 km/h

   Отговор: 8 km/h

   Срещу течението скоростите се изваждат: 10 − 2 = 8 km/h.

6. Два града са на 300 km. От тях едновременно тръгват една срещу друга коли със 70 km/h и 80 km/h. След колко часа ще се срещнат?

   • 3 h
   • 2 h
   • 2,5 h
   • 1,5 h

   Отговор: 2 h

   Скоростта на сближаване е 70 + 80 = 150 km/h, 300 : 150 = 2 h.

7. Две коли тръгват едновременно от едно място в противоположни посоки със скорости 60 km/h и 70 km/h. След колко часа разстоянието между тях ще е 390 km?

   • 6,5 h
   • 3 h
   • 4 h
   • 2 h

   Отговор: 3 h

   Разстоянието расте със 60 + 70 = 130 km всеки час: 390 : 130 = 3 h.

8. Мотоциклетист и колоездач тръгват едновременно от едно място в една посока със скорости 50 km/h и 20 km/h. След колко часа разстоянието между тях ще е 90 km?

   • 1,8 h
   • 4,5 h
   • 2 h
   • 3 h

   Отговор: 3 h

   Разстоянието нараства с 50 − 20 = 30 km всеки час: 90 : 30 = 3 h.

9. Влак с дължина 200 m минава покрай стълб за 10 s. Каква е скоростта му?

   • 20 km/h
   • 54 km/h
   • 72 km/h
   • 36 km/h

   Отговор: 72 km/h

   200 m : 10 s = 20 m/s = 20 · 3,6 = 72 km/h.

10. Лодка се движи по течението на река с 18 km/h, а срещу течението с 12 km/h. Каква е скоростта на течението?

    • 6 km/h
    • 15 km/h
    • 30 km/h
    • 3 km/h

    Отговор: 3 km/h

    По течението v + u = 18, срещу него v − u = 12. Изваждаме: 2u = 6, u = 3 km/h.

11. Кола изминава 120 km със 60 km/h и след това още 120 km с 40 km/h. Колко е средната скорост за целия път?

    • 50 km/h
    • 48 km/h
    • 45 km/h
    • 100 km/h

    Отговор: 48 km/h

    Времето е 2 h + 3 h = 5 h, а средната скорост е 240 : 5 = 48 km/h.

12. Пешеходец изминава пътя от A до B за 3 h, а колоездач за 1 h. Колоездачът е с 8 km/h по-бърз. Колко километра е AB?

    • 8 km
    • 16 km
    • 24 km
    • 12 km

    Отговор: 12 km

    3v = v + 8, v = 4 km/h, AB = 3 · 4 = 12 km.

13. Пешеходец тръгва от A със скорост 5 km/h. След 2 h от A в същата посока тръгва колоездач със скорост 15 km/h. След колко часа колоездачът ще настигне пешеходеца?

    • 1 h
    • 2 h
    • 3 h
    • 0,5 h

    Отговор: 1 h

    Пешеходецът има преднина 5·2 = 10 km, а колоездачът я стопява с 15 − 5 = 10 km/h: 10 : 10 = 1 h.

14. Лодка изминава разстоянието между две пристанища по течението за 3 h, а срещу течението за 4 h. Скоростта на течението е 2 km/h. Колко километра е разстоянието?

    • 48 km
    • 42 km
    • 56 km
    • 24 km

    Отговор: 48 km

    3(v + 2) = 4(v − 2), v = 14 km/h, а разстоянието е 3·16 = 48 km.

15. Кола (60 km/h) и камион (40 km/h) тръгват едновременно един срещу друг от A и B. Срещат се на 30 km от средата на AB. Колко километра е AB?

    • 150 km
    • 300 km
    • 240 km
    • 600 km

    Отговор: 300 km

    Колата изминава с 60 km повече: 20t = 60, t = 3 h, AB = (60 + 40) · 3 = 300 km.

Задачи от работа

1. Работник свършва цяла работа за 6 дни. Каква част от работата свършва за 1 ден?

   • 6
   • 1/6
   • 1/3
   • 5/6

   Отговор: 1/6

   Цялата работа е 1, разделена на 6 дни: 1/6 на ден.

2. Двама работници заедно свършват една работа за 4 дни. Каква част от работата вършат заедно за 1 ден?

   • 1/2
   • 4
   • 1/4
   • 1/8

   Отговор: 1/4

   Цялата работа е 1, а за 1 ден вършат 1 : 4 = 1/4.

3. Тръба пълни басейн за 8 h. Каква част от басейна пълни за 2 h?

   • 1/8
   • 1/4
   • 1/2
   • 1/6

   Отговор: 1/4

   За 1 h пълни 1/8, а за 2 h пълни 2/8 = 1/4.

4. Първа тръба пълни басейн за 4 h, а втора за 12 h. Каква част от басейна пълнят двете заедно за 1 h?

   • 1/16
   • 1/8
   • 1/3
   • 3/4

   Отговор: 1/3

   1/4 + 1/12 = 3/12 + 1/12 = 4/12 = 1/3.

5. Тръба пълни 1/5 от басейн за 1 час. За колко часа ще напълни целия басейн?

   • 1/5 h
   • 10 h
   • 4 h
   • 5 h

   Отговор: 5 h

   Целият басейн е 5 пъти по 1/5, значи 5 часа.

6. Работник свършва работа за 12 дни. Каква част от работата остава след 9 дни?

   • 3/4
   • 1/3
   • 1/4
   • 1/9

   Отговор: 1/4

   За 9 дни е свършена 9/12 = 3/4, остава 1/4.

7. Един работник свършва работа за 10 дни, а друг за 15 дни. За колко дни ще я свършат, ако работят заедно?

   • 12,5 дни
   • 6 дни
   • 25 дни
   • 5 дни

   Отговор: 6 дни

   Заедно за ден свършват 1/10 + 1/15 = 1/6 от работата, следователно цялата за 6 дни.

8. Работник свършва 3/8 от една работа за 6 дни. За колко дни ще свърши цялата работа?

   • 18 дни
   • 24 дни
   • 16 дни
   • 12 дни

   Отговор: 16 дни

   За 2 дни върши 1/8 от работата, значи цялата за 8·2 = 16 дни.

9. Първи работник свършва работа за 6 дни, а втори работи 2 пъти по-бавно. За колко дни ще я свършат заедно?

   • 4 дни
   • 3 дни
   • 9 дни
   • 6 дни

   Отговор: 4 дни

   Вторият сам: 12 дни. 1/6 + 1/12 = 1/4 на ден, значи 4 дни.

10. Майстор свършва работа за 10 дни, а чирак за 15 дни. Майсторът работи сам 5 дни, после се включва и чиракът. За колко дни още довършват работата заедно?

    • 6 дни
    • 2,5 дни
    • 3 дни
    • 5 дни

    Отговор: 3 дни

    За 5 дни майсторът свършва 5/10 = 1/2. Заедно правят 1/6 на ден, затова остатъкът 1/2 се свършва за 3 дни.

11. Двама работници заедно свършват работа за 4 дни, а първият сам за 6 дни. За колко дни ще я свърши вторият сам?

    • 10 дни
    • 12 дни
    • 2 дни
    • 8 дни

    Отговор: 12 дни

    1/4 − 1/6 = 1/12, значи вторият сам работи 12 дни.

12. Една тръба пълни басейн за 3 h, друга за 6 h. Първо 1 h работи само първата, после и двете. За колко време още се пълни басейнът?

    • 1 h
    • 2 h
    • 1 h 30 min
    • 1 h 20 min

    Отговор: 1 h 20 min

    След 1 h е пълен 1/3, остават 2/3. Заедно: 1/3 + 1/6 = 1/2 на час, (2/3) : (1/2) = 4/3 h = 1 h 20 min.

13. Една тръба пълни басейн за 6 h, а друга го изпразва за 9 h. Ако двете се отворят едновременно при празен басейн, за колко часа той ще се напълни?

    • 3 h
    • 15 h
    • 18 h
    • 3,6 h

    Отговор: 18 h

    За 1 h водата се увеличава с 1/6 − 1/9 = 1/18 от басейна, следователно пълненето трае 18 h.

14. Три тръби пълнят басейн съответно за 6 h, 10 h и 15 h. За колко часа ще го напълнят, ако работят заедно?

    • 3 h
    • 10 h
    • 5 h
    • 4 h

    Отговор: 3 h

    1/6 + 1/10 + 1/15 = 5/30 + 3/30 + 2/30 = 1/3, значи за 3 h.

15. Двама работници заедно свършват работа за 12 дни. След 8 дни общ труд вторият довършва сам за 10 дни. За колко дни вторият би свършил сам цялата работа?

    • 30 дни
    • 20 дни
    • 24 дни
    • 36 дни

    Отговор: 30 дни

    За 8 дни заедно: 8/12 = 2/3. Остава 1/3 за 10 дни, значи сам за 30 дни.

Лихва, смеси, сплави

1. Вложени са 2000 евро при 5% проста годишна лихва. Каква е лихвата за 1 година?

   • 10 евро
   • 1000 евро
   • 100 евро
   • 200 евро

   Отговор: 100 евро

   5% от 2000 = 0,05·2000 = 100 евро.

2. В 600 g разтвор има 30 g сол. Каква е концентрацията на разтвора?

   • 20%
   • 30%
   • 0,5%
   • 5%

   Отговор: 5%

   30 : 600 = 0,05 = 5%.

3. Колко грама вода има в 200 g 30% разтвор на захар?

   • 60 g
   • 140 g
   • 170 g
   • 130 g

   Отговор: 140 g

   Захарта е 30% от 200 g = 60 g, водата е 200 − 60 = 140 g.

4. Колко грама сол има в 400 g 15% разтвор на сол?

   • 15 g
   • 40 g
   • 60 g
   • 340 g

   Отговор: 60 g

   15% от 400 g = 0,15·400 = 60 g.

5. Вложени са 1500 евро при 4% проста годишна лихва. Каква сума ще има след 2 години?

   • 1620 евро
   • 1560 евро
   • 120 евро
   • 1740 евро

   Отговор: 1620 евро

   Лихвата за година е 60 евро, за 2 години 120 евро, а 1500 + 120 = 1620 евро.

6. Към 300 g вода се добавят 100 g сол. Каква е концентрацията на разтвора?

   • 20%
   • 30%
   • 33%
   • 25%

   Отговор: 25%

   Разтворът е 400 g, 100 : 400 = 0,25 = 25%.

7. Сума е вложена при 6% проста годишна лихва. След 3 години лихвата е 540 евро. Каква е вложената сума?

   • 3000 евро
   • 9000 евро
   • 1800 евро
   • 3240 евро

   Отговор: 3000 евро

   Лихвата за 3 години е 18% от сумата: 540 : 0,18 = 3000 евро.

8. Към 180 g 10% разтвор на сол се добавят 20 g сол. Каква е концентрацията на новия разтвор?

   • 20%
   • 19%
   • 30%
   • 11%

   Отговор: 19%

   Солта става 18 + 20 = 38 g в 200 g разтвор: 38 : 200 = 19%.

9. Колко години трябва да е вложена сума от 4000 евро при 5% проста годишна лихва, за да донесе 600 евро лихва?

   • 2 години
   • 3 години
   • 4 години
   • 6 години

   Отговор: 3 години

   Годишната лихва е 5% от 4000 = 200 евро, 600 : 200 = 3 години.

10. Смесват 200 g 10% разтвор и 300 g 20% разтвор на сол. Каква е концентрацията на сместа?

    • 16%
    • 15%
    • 30%
    • 14%

    Отговор: 16%

    Солта е 20 g + 60 g = 80 g в 500 g разтвор: 80 : 500 = 0,16 = 16%.

11. От 500 g 8% разтвор на сол се изпаряват 100 g вода. Каква е концентрацията на новия разтвор?

    • 8%
    • 12%
    • 10%
    • 9%

    Отговор: 10%

    Солта остава 40 g, а разтворът става 400 g: 40 : 400 = 10%.

12. Към 400 g 15% разтвор на сол се добавя вода и концентрацията става 12%. Колко грама вода са добавени?

    • 100 g
    • 50 g
    • 120 g
    • 80 g

    Отговор: 100 g

    Солта е 60 g. Новият разтвор: 60 : 0,12 = 500 g, добавени са 100 g вода.

13. Сплав от мед и цинк тежи 12 kg и съдържа 45% мед. Колко килограма мед трябва да се добавят, за да стане медта 56%?

    • 1,32 kg
    • 2 kg
    • 6 kg
    • 3 kg

    Отговор: 3 kg

    Медта е 5,4 kg. От 5,4 + m = 0,56(12 + m) следва 0,44m = 1,32, m = 3 kg.

14. Колко грама 25% разтвор трябва да се смесят с 200 g 10% разтвор, за да се получи 15% разтвор?

    • 100 g
    • 50 g
    • 200 g
    • 150 g

    Отговор: 100 g

    0,25x + 20 = 0,15(x + 200), 0,1x = 10, x = 100 g.

15. Сплав от 20 kg съдържа 30% злато. Колко килограма сплав с 60% злато трябва да се добави, за да се получи сплав с 40% злато?

    • 5 kg
    • 15 kg
    • 10 kg
    • 20 kg

    Отговор: 10 kg

    6 + 0,6x = 0,4(20 + x), 6 + 0,6x = 8 + 0,4x, x = 10 kg.

Финален въпрос