Комбинации
Комбинация от n елемента от k-ти клас е подмножество с k елемента, избрано от n елемента, когато редът НЕ е важен. Броят им е Cnk = Vnk : k!. Така броим отбори, ръкостискания, отсечки между точки и диагонали. Изборът на k елемента е същото като изборът кои n − k да останат, затова Cnk = Cnn−k.
Какво да запомним
- Cnk = Vnk : k! = n! : (k!(n − k)!).
- Cnk = Cnn−k.
- Cn2 = n(n − 1)/2: ръкостискания, отсечки, мачове „всеки срещу всеки“.
- Брой диагонали на изпъкнал n-ъгълник: Cn2 − n.
Пример
10 души се ръкуват всеки с всеки: C102 = 10 · 9 : 2 = 45 ръкостискания.
Проверете се: 16 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
На колко е равно C62?
- 30
- 12
- 15
- 36
Отговор: 15
C62 = (6·5)/(1·2) = 15.
По колко начина от 9 ученици могат да се изберат 2 за участие в олимпиада?
- 72
- 36
- 18
- 81
Отговор: 36
Редът няма значение: C92 = (9·8)/2 = 36.
Колко диагонала има изпъкнал осмоъгълник?
- 20
- 28
- 16
- 40
Отговор: 20
Отсечките между 8 върха са C82 = 28, от тях 8 са страни: 28 − 8 = 20.
На среща 10 души се ръкуват всеки с всеки по веднъж. Колко са ръкостисканията?
- 90
- 100
- 20
- 45
Отговор: 45
Всяко ръкостискане е избор на 2 от 10 души: C102 = 45.
В клас има 12 момчета и 10 момичета. По колко начина може да се състави екип от 2 момчета и 2 момичета?
- 111
- 7315
- 2970
- 11880
Отговор: 2970
C122·C102 = 66·45 = 2970.
По колко начина от 5 различни плода могат да се изберат 4?
- 20
- 4
- 120
- 5
Отговор: 5
C54 = C51 = 5: изборът на 4 плода е същото като изборът кой плод да остане.
На колко е равно C103?
- 120
- 720
- 30
- 210
Отговор: 120
C103 = (10·9·8)/(3·2·1) = 120.
Кое равенство е вярно?
- C92 = C93
- C92 = V92
- C92 = C97
- C92 = 18
Отговор: C92 = C97
Cnk = Cnn − k, а 9 − 2 = 7. И двете са равни на 36.
В равнината са дадени 12 точки, никои три от които не лежат на една права. Колко прави минават през по две от тях?
- 132
- 220
- 24
- 66
Отговор: 66
Всяка права се определя от 2 точки без значение на реда: C122 = 12·11/2 = 66.
От 6 момичета и 4 момчета се избира група от 3 души, в която има поне едно момче. По колко начина може да стане това?
- 96
- 100
- 80
- 120
Отговор: 100
Всички групи са C103 = 120, а групите само от момичета са C63 = 20: 120 − 20 = 100.
От 8 книги трябва да се изберат 3 за подарък на един човек. Кой модел е подходящ?
- комбинации от 8 елемента от 3 клас
- вариации от 8 елемента от 3 клас
- пермутации на 8 елемента
- пермутации на 3 елемента
Отговор: комбинации от 8 елемента от 3 клас
Подаръкът е един и същ при всеки ред на книгите, затова редът няма значение: комбинации.
Дадени са 7 точки, никои три от които не лежат на една права. Колко отсечки с краища в тези точки има?
- 42
- 49
- 14
- 21
Отговор: 21
Отсечката AB е същата като BA: C72 = 21.
Как се наричат подмножествата с k елемента на множество с n елемента, когато редът няма значение?
- пермутации
- вариации
- комбинации
- наредби
Отговор: комбинации
Неподредените избори на k от n елемента са комбинации.
Колко различни отбора по 4 души могат да се съставят от 6 души?
- 360
- 24
- 30
- 15
Отговор: 15
Редът в отбора няма значение: C64 = C62 = 15.
От 5 различни марки и 3 различни плика трябва да се изберат един плик и две марки. По колко начина може да стане това?
- 60
- 30
- 13
- 15
Отговор: 30
Пликът се избира по 3 начина, а марките по C52 = 10 начина: 3·10 = 30.
Колко четирицифрени числа имат цифри, подредени в строго растящ ред (например 1358)?
- 210
- 126
- 3024
- 84
Отговор: 126
Цифрата 0 не може да участва (тя би била първа). Всеки избор на 4 цифри от 1 до 9 дава точно едно такова число: C94 = 126.