Основни комбинаторни понятия

Събиране и умножение

1. В сладкарница има 4 вида торти и 3 вида сладолед. По колко начина може да се избере ЕДИН десерт (торта или сладолед)?

   • 12
   • 7
   • 14
   • 24

   Отговор: 7

   Изборът е или торта, или сладолед: по правилото за събиране 4 + 3 = 7.

2. Монета се хвърля два пъти. Колко са възможните наредени резултати?

   • 2
   • 3
   • 4
   • 6

   Отговор: 4

   При всяко хвърляне има 2 възможности: 2·2 = 4 (ЕЕ, ЕЛ, ЛЕ, ЛЛ).

3. В клас има 12 момчета и 14 момичета. По колко начина може да се избере един дежурен ученик?

   • 24
   • 26
   • 168
   • 2

   Отговор: 26

   По правилото за събиране: 12 + 14 = 26.

4. Иван има 3 ризи, 2 панталона и 2 чифта обувки. Колко различни облекла (риза, панталон и обувки) може да състави?

   • 12
   • 7
   • 6
   • 18

   Отговор: 12

   По правилото за умножение: 3·2·2 = 12.

5. Колко трицифрени числа могат да се запишат само с цифрите 1 и 2, ако цифрите може да се повтарят?

   • 8
   • 6
   • 9
   • 4

   Отговор: 8

   За всяка от трите позиции има 2 възможности: 2·2·2 = 8.

6. Ресторант предлага 3 супи, 4 основни ястия и 2 десерта. Колко различни менюта (супа, основно и десерт) има?

   • 9
   • 12
   • 24
   • 36

   Отговор: 24

   По правилото за умножение: 3·4·2 = 24.

7. Колко четирицифрени ПИН кода могат да се съставят от цифрите 0, 1, ..., 9, ако цифрите може да се повтарят?

   • 5040
   • 40
   • 9000
   • 10000

   Отговор: 10000

   За всяка от 4 позиции има 10 възможности: 10·10·10·10 = 10000 (ПИН кодът може да започва с 0).

8. Колко са четните двуцифрени числа?

   • 50
   • 40
   • 90
   • 45

   Отговор: 45

   Първата цифра е от 1 до 9 (9 възможности), а последната е 0, 2, 4, 6 или 8 (5 възможности): 9·5 = 45.

9. Колко трицифрени числа са записани само с четни цифри?

   • 100
   • 125
   • 64
   • 80

   Отговор: 100

   Първата цифра е 2, 4, 6 или 8 (4 начина), а другите две са от 0, 2, 4, 6, 8 (по 5 начина): 4·5·5 = 100.

10. Колко двуцифрени числа имат поне една цифра 5?

    • 19
    • 17
    • 18
    • 10

    Отговор: 18

    Двуцифрените числа са 90, а без цифра 5 са 8·9 = 72. Остават 90 − 72 = 18.

11. Колко трицифрени числа НЕ съдържат цифрата 7?

    • 729
    • 648
    • 720
    • 504

    Отговор: 648

    За първата цифра има 8 възможности (без 0 и 7), а за втората и третата по 9: 8·9·9 = 648.

12. Колко трицифрени числа се четат еднакво отляво надясно и отдясно наляво (например 383)?

    • 81
    • 100
    • 90
    • 45

    Отговор: 90

    Първата цифра (1 до 9) определя и последната, а средната е произволна: 9·10 = 90.

13. От град А до град Б водят 3 пътя, а от Б до В водят 4 пътя. По колко начина може да се отиде от А до В и да се върне обратно, без да се минава два пъти по един и същ път?

    • 144
    • 72
    • 24
    • 48

    Отговор: 72

    Отиване: 3·4 = 12. Връщане по нови пътища: 3 от В до Б и 2 от Б до А, т.е. 6. Общо 12·6 = 72.

14. Колко естествени делителя има числото 72?

    • 10
    • 12
    • 6
    • 9

    Отговор: 12

    72 = 2³·3². Делителят е 2^a·3^b, като a има 4 възможности, а b има 3: 4·3 = 12.

15. 4 полета в редица се оцветяват с 3 цвята, като съседни полета са в различни цветове. По колко начина може да стане това?

    • 81
    • 24
    • 48
    • 12

    Отговор: 24

    Първото поле има 3 възможности, всяко следващо по 2 (различно от предното): 3·2·2·2 = 24.

Пермутации

1. На колко е равно 5!?

   • 120
   • 25
   • 60
   • 20

   Отговор: 120

   5! = 1·2·3·4·5 = 120.

2. На колко е равно 0!?

   • 0
   • −1
   • не съществува
   • 1

   Отговор: 1

   По определение 0! = 1.

3. По колко начина 3 деца могат да седнат на 3 стола?

   • 3
   • 6
   • 9
   • 27

   Отговор: 6

   P₃ = 3! = 3·2·1 = 6.

4. По колко начина 6 бегачи могат да финишират, ако няма равни места?

   • 36
   • 120
   • 6
   • 720

   Отговор: 720

   Това са пермутации на 6 елемента: P₆ = 6! = 720.

5. Колко пъти 7! е по-голямо от 6!?

   • 7
   • 6
   • 42
   • 1

   Отговор: 7

   7! = 7·6!, затова 7! : 6! = 7.

6. Опростете n! : (n − 1)!.

   • n
   • n − 1
   • 1
   • (n − 1)!

   Отговор: n

   n! = n·(n − 1)!, затова частното е n.

7. Колко различни думи (със или без смисъл) се получават при разместване на буквите на думата МОРЕ?

   • 16
   • 12
   • 24
   • 4

   Отговор: 24

   Четирите букви са различни: P₄ = 4! = 24.

8. Колко четирицифрени числа могат да се запишат с цифрите 0, 2, 4 и 6, като всяка цифра се използва точно веднъж?

   • 24
   • 12
   • 18
   • 6

   Отговор: 18

   Всички наредби са 4! = 24, а тези, които започват с 0, са 3! = 6: 24 − 6 = 18.

9. 4 момчета и 3 момичета се нареждат в редица, като първо застават момчетата, а след тях момичетата. По колко начина може да стане това?

   • 5040
   • 12
   • 288
   • 144

   Отговор: 144

   Момчетата се нареждат по 4! = 24 начина, момичетата по 3! = 6 начина: 24·6 = 144.

10. По колко начина 5 деца могат да застанат в редица, ако Ани и Боби трябва да са един до друг?

    • 24
    • 48
    • 120
    • 96

    Отговор: 48

    Слепваме Ани и Боби в един блок: 4! = 24 подреждания, а в блока те се нареждат по 2 начина: 24·2 = 48.

11. По колко начина 6 книги могат да се наредят на рафт, ако 3 определени книги трябва да са една до друга?

    • 720
    • 36
    • 24
    • 144

    Отговор: 144

    Трите книги са като един блок: 4! = 24 наредби на 4 обекта и 3! = 6 наредби в блока, общо 24·6 = 144.

12. По колко начина 5 души могат да седнат около кръгла маса, ако различаваме наредбите само по това кой до кого седи (завъртанията не ги променят)?

    • 120
    • 24
    • 60
    • 5

    Отговор: 24

    Фиксираме един човек, а останалите 4 се нареждат по 4! = 24 начина.

13. На колко е равно частното 10! : 8!?

    • 90
    • 2
    • 80
    • 45

    Отговор: 90

    10! : 8! = 9·10 = 90, защото всички множители до 8 се съкращават.

14. За кое естествено число n е изпълнено (n + 1)! : (n − 1)! = 30?

    • 6
    • 5
    • 4
    • 30

    Отговор: 5

    (n + 1)! : (n − 1)! = n(n + 1) = 30, откъдето n = 5.

15. По колко начина 6 души могат да застанат в редица, ако Ани и Боби НЕ трябва да са един до друг?

    • 480
    • 240
    • 600
    • 360

    Отговор: 480

    Всички наредби са 6! = 720. Наредбите с Ани и Боби един до друг са 5!·2 = 240. Остават 720 − 240 = 480.

Вариации

1. На колко е равно V₅²?

   • 10
   • 25
   • 60
   • 20

   Отговор: 20

   V₅² = 5·4 = 20.

2. По колко начина от 5 ученици могат да се изберат председател и касиер?

   • 10
   • 25
   • 20
   • 5

   Отговор: 20

   Редът има значение (различни длъжности): V₅² = 5·4 = 20.

3. Колко двубуквени „думи“ с различни букви могат да се съставят от буквите А, Б и В?

   • 9
   • 3
   • 6
   • 8

   Отговор: 6

   V₃² = 3·2 = 6: АБ, БА, АВ, ВА, БВ, ВБ.

4. В турнир участват 12 отбора. По колко начина могат да се разпределят златният, сребърният и бронзовият медал?

   • 220
   • 1728
   • 1320
   • 36

   Отговор: 1320

   Редът има значение, а отбор не може да вземе два медала: V₁₂³ = 12·11·10 = 1320.

5. Колко трицифрени кода с различни цифри могат да се съставят от цифрите 1, 2, ..., 9?

   • 504
   • 729
   • 84
   • 720

   Отговор: 504

   V₉³ = 9·8·7 = 504.

6. По колко начина 3 деца могат да седнат на 5 стола в редица (по едно на стол)?

   • 10
   • 60
   • 125
   • 15

   Отговор: 60

   V₅³ = 5·4·3 = 60.

7. Колко трицифрени числа с различни цифри могат да се запишат само с нечетни цифри?

   • 125
   • 60
   • 10
   • 120

   Отговор: 60

   Нечетните цифри са 5: V₅³ = 5·4·3 = 60.

8. По колко начина може да се състави програма от 4 различни часа за един ден, ако има 7 предмета?

   • 35
   • 2401
   • 210
   • 840

   Отговор: 840

   Редът на часовете има значение и предметите не се повтарят: V₇⁴ = 7·6·5·4 = 840.

9. С коя формула се пресмята V_n^k?

   • n!/(n − k)!
   • n!/(k!(n − k)!)
   • n^k
   • k!/(n − k)!

   Отговор: n!/(n − k)!

   V_n^k = n(n − 1)...(n − k + 1) = n!/(n − k)!.

10. Колко знамена с три хоризонтални ивици в различни цветове могат да се направят от 6 цвята?

    • 120
    • 20
    • 216
    • 18

    Отговор: 120

    Редът на ивиците има значение: V₆³ = 6·5·4 = 120.

11. Колко двуцифрени числа с различни цифри има?

    • 90
    • 81
    • 72
    • 100

    Отговор: 81

    Първата цифра има 9 възможности (без 0), а втората също 9 (без първата): 9·9 = 81.

12. Колко трицифрени четни числа с различни цифри започват с цифрата 5?

    • 45
    • 36
    • 50
    • 40

    Отговор: 40

    Последната цифра е 0, 2, 4, 6 или 8 (5 начина), а средната е някоя от останалите 8 цифри: 5·8 = 40.

13. За кое естествено число n е изпълнено V_n² = 56?

    • 7
    • 28
    • 14
    • 8

    Отговор: 8

    n(n − 1) = 56, откъдето n = 8 (8·7 = 56).

14. Колко четирицифрени числа с различни цифри се делят на 5?

    • 1008
    • 952
    • 504
    • 896

    Отговор: 952

    Ако последната цифра е 0: 9·8·7 = 504. Ако е 5: 8·8·7 = 448. Общо 504 + 448 = 952.

15. Колко трицифрени числа с различни цифри са по-големи от 500?

    • 360
    • 400
    • 320
    • 504

    Отговор: 360

    Първата цифра е от 5 до 9 (5 начина), втората 9 начина, третата 8 начина: 5·9·8 = 360. Всички те са по-големи от 500.

Комбинации

1. На колко е равно C₆²?

   • 30
   • 12
   • 15
   • 36

   Отговор: 15

   C₆² = (6·5)/(1·2) = 15.

2. По колко начина от 5 различни плода могат да се изберат 4?

   • 20
   • 4
   • 120
   • 5

   Отговор: 5

   C₅⁴ = C₅¹ = 5: изборът на 4 плода е същото като изборът кой плод да остане.

3. На колко е равно C_n⁰?

   • 0
   • n
   • 1
   • n!

   Отговор: 1

   Има точно един начин да не изберем нищо (празното множество): C_n⁰ = 1.

4. По колко начина от 9 ученици могат да се изберат 2 за участие в олимпиада?

   • 72
   • 36
   • 18
   • 81

   Отговор: 36

   Редът няма значение: C₉² = (9·8)/2 = 36.

5. На колко е равно C₁₀³?

   • 120
   • 720
   • 30
   • 210

   Отговор: 120

   C₁₀³ = (10·9·8)/(3·2·1) = 120.

6. Дадени са 6 точки, никои три от които не лежат на една права. Колко триъгълника с върхове в тези точки има?

   • 120
   • 20
   • 15
   • 36

   Отговор: 20

   Всеки триъгълник е избор на 3 точки без значение на реда: C₆³ = 20.

7. Колко диагонала има изпъкнал осмоъгълник?

   • 20
   • 28
   • 16
   • 40

   Отговор: 20

   Отсечките между 8 върха са C₈² = 28, от тях 8 са страни: 28 − 8 = 20.

8. Кое равенство е вярно?

   • C₉² = C₉³
   • C₉² = V₉²
   • C₉² = C₉⁷
   • C₉² = 18

   Отговор: C₉² = C₉⁷

   C_n^k = C_n^{n − k}, а 9 − 2 = 7. И двете са равни на 36.

9. Колко подмножества има множество с 4 елемента (заедно с празното и самото множество)?

   • 16
   • 15
   • 8
   • 24

   Отговор: 16

   C₄⁰ + C₄¹ + C₄² + C₄³ + C₄⁴ = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16.

10. На среща 10 души се ръкуват всеки с всеки по веднъж. Колко са ръкостисканията?

    • 90
    • 100
    • 20
    • 45

    Отговор: 45

    Всяко ръкостискане е избор на 2 от 10 души: C₁₀² = 45.

11. В равнината са дадени 12 точки, никои три от които не лежат на една права. Колко прави минават през по две от тях?

    • 132
    • 220
    • 24
    • 66

    Отговор: 66

    Всяка права се определя от 2 точки без значение на реда: C₁₂² = 12·11/2 = 66.

12. Пресметнете C₈³ + C₈⁴.

    • 112
    • 84
    • 252
    • 126

    Отговор: 126

    C₈³ = 56 и C₈⁴ = 70, сборът е 126.

13. В клас има 12 момчета и 10 момичета. По колко начина може да се състави екип от 2 момчета и 2 момичета?

    • 111
    • 7315
    • 2970
    • 11880

    Отговор: 2970

    C₁₂²·C₁₀² = 66·45 = 2970.

14. От 6 момичета и 4 момчета се избира група от 3 души, в която има поне едно момче. По колко начина може да стане това?

    • 96
    • 100
    • 80
    • 120

    Отговор: 100

    Всички групи са C₁₀³ = 120, а групите само от момичета са C₆³ = 20: 120 − 20 = 100.

15. По колко начина от 10 ученици могат да се изберат 3 за дежурство, ако Иван задължително е сред тях?

    • 36
    • 120
    • 84
    • 45

    Отговор: 36

    Иван е избран, остава да изберем 2 от другите 9: C₉² = 36.

Избор на модел

1. Как се наричат различните наредби на ВСИЧКИ n елемента на едно множество?

   • вариации
   • пермутации
   • комбинации
   • подмножества

   Отговор: пермутации

   Подреждането на всички n елемента в ред е пермутация, броят им е n!.

2. Как се наричат подмножествата с k елемента на множество с n елемента, когато редът няма значение?

   • пермутации
   • вариации
   • комбинации
   • наредби

   Отговор: комбинации

   Неподредените избори на k от n елемента са комбинации.

3. Кой модел е подходящ, когато избираме част от елементите и редът им е от значение?

   • пермутации
   • комбинации
   • вариации
   • нито един

   Отговор: вариации

   Наредените избори на k от n елемента са вариации.

4. От 8 книги трябва да се изберат 3 за подарък на един човек. Кой модел е подходящ?

   • комбинации от 8 елемента от 3 клас
   • вариации от 8 елемента от 3 клас
   • пермутации на 8 елемента
   • пермутации на 3 елемента

   Отговор: комбинации от 8 елемента от 3 клас

   Подаръкът е един и същ при всеки ред на книгите, затова редът няма значение: комбинации.

5. Кой модел описва разпределянето на 1., 2. и 3. място между 10 участници?

   • вариации от 10 елемента от 3 клас
   • комбинации от 10 елемента от 3 клас
   • пермутации на 10 елемента
   • пермутации на 3 елемента

   Отговор: вариации от 10 елемента от 3 клас

   Избираме 3 от 10 и редът (мястото) има значение, затова това са вариации V₁₀³.

6. Кой модел описва разпределянето на 8 състезатели в 8-те коридора на пистата?

   • пермутации от 8 елемента
   • комбинации от 8 елемента от 2 клас
   • вариации от 8 елемента от 2 клас
   • 8 на степен 8 наредби

   Отговор: пермутации от 8 елемента

   Нареждат се всички 8 елемента, значи пермутации: P₈ = 8!.

7. Дадени са 7 точки, никои три от които не лежат на една права. Колко отсечки с краища в тези точки има?

   • 42
   • 49
   • 14
   • 21

   Отговор: 21

   Отсечката AB е същата като BA: C₇² = 21.

8. Колко различни отбора по 4 души могат да се съставят от 6 души?

   • 360
   • 24
   • 30
   • 15

   Отговор: 15

   Редът в отбора няма значение: C₆⁴ = C₆² = 15.

9. Тест има 5 въпроса с отговор „да“ или „не“. По колко начина може да се попълни?

   • 10
   • 25
   • 32
   • 120

   Отговор: 32

   За всеки въпрос има 2 възможности: 2⁵ = 32.

10. От 20 билета се теглят два: първият печели кола, а вторият велосипед. По колко начина може да стане това?

    • 190
    • 400
    • 380
    • 40

    Отговор: 380

    Наградите са различни, затова редът има значение: V₂₀² = 20·19 = 380.

11. От 5 различни марки и 3 различни плика трябва да се изберат един плик и две марки. По колко начина може да стане това?

    • 60
    • 30
    • 13
    • 15

    Отговор: 30

    Пликът се избира по 3 начина, а марките по C₅² = 10 начина: 3·10 = 30.

12. В шахматен турнир всеки играе с всеки по една партия. Изиграни са 28 партии. Колко са участниците?

    • 7
    • 8
    • 14
    • 56

    Отговор: 8

    Партиите са C_n² = n(n − 1)/2 = 28, откъдето n(n − 1) = 56 и n = 8.

13. Колко петцифрени числа могат да се запишат с цифрите 1, 1, 2, 2, 2 (всички пет цифри)?

    • 120
    • 10
    • 20
    • 60

    Отговор: 10

    Достатъчно е да изберем 2 от 5 места за единиците: C₅² = 10.

14. Колко четирицифрени числа имат цифри, подредени в строго растящ ред (например 1358)?

    • 210
    • 126
    • 3024
    • 84

    Отговор: 126

    Цифрата 0 не може да участва (тя би била първа). Всеки избор на 4 цифри от 1 до 9 дава точно едно такова число: C₉⁴ = 126.

15. Колко пътя по линиите на мрежа от квадратчета 4 × 3 водят от долния ляв до горния десен ъгъл, ако се движим само надясно и нагоре?

    • 12
    • 70
    • 24
    • 35

    Отговор: 35

    Всеки път има 7 стъпки, от които 3 са нагоре: C₇³ = 35.

Финален въпрос