Окръжност, описана около триъгълник
Около всеки триъгълник може да се опише единствена окръжност, която минава през трите му върха. Центърът ѝ е пресечната точка на симетралите на страните, защото тази точка е на равни разстояния от върховете. При остроъгълен триъгълник центърът е вътре в него, при правоъгълен е в средата на хипотенузата, а при тъпоъгълен е вън от триъгълника. Радиусът R често се намира чрез централния ъгъл, който е два пъти по-голям от вписания ъгъл на триъгълника.
Какво да запомним
- Центърът O е пресечната точка на симетралите на страните.
- OA = OB = OC = R.
- Правоъгълен триъгълник: R е половината от хипотенузата.
- Равностранен триъгълник със страна a: R = a√3/3.
- Ако ∠A = 30°, то ∠BOC = 60° и R = BC.
Пример
Катети 5 cm и 12 cm: хипотенузата е 13 cm, затова R = 6,5 cm.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Коя точка е на равни разстояния от трите върха на всеки триъгълник?
- пресечната точка на симетралите на страните
- пресечната точка на ъглополовящите
- медицентърът
- ортоцентърът
Отговор: пресечната точка на симетралите на страните
Всяка точка от симетралата на отсечка е на равни разстояния от краищата ѝ.
Намерете радиуса на описаната окръжност около правоъгълен триъгълник с катети 5 cm и 12 cm.
- 13 cm
- 6 cm
- 8,5 cm
- 6,5 cm
Отговор: 6,5 cm
Хипотенузата е 13 cm и е диаметър на описаната окръжност: R = 6,5 cm.
Равностранен триъгълник има страна 6 cm. Намерете радиуса на описаната около него окръжност.
- 3√3 cm
- √3 cm
- 2√3 cm
- 3 cm
Отговор: 2√3 cm
R е 2/3 от височината 3√3 cm, т.е. 2√3 cm.
В триъгълника ABC ∠A = 30° и BC = 7 cm. Намерете радиуса на описаната окръжност.
- 14 cm
- 7 cm
- 3,5 cm
- 7√3 cm
Отговор: 7 cm
Централният ъгъл BOC е 2·30° = 60°, триъгълникът BOC е равностранен, затова R = BC = 7 cm.
Центърът на описаната около триъгълника ABC окръжност лежи на страната AB, а ∠A = 35°. Намерете ∠B.
- 55°
- 35°
- 90°
- 145°
Отговор: 55°
AB е диаметър, затова ∠C = 90° и ∠B = 90° − 35° = 55°.
Къде е центърът на описаната около правоъгълен триъгълник окръжност?
- във върха на правия ъгъл
- в медицентъра
- в средата на хипотенузата
- вън от триъгълника
Отговор: в средата на хипотенузата
Вписаният прав ъгъл се опира на диаметър, затова хипотенузата е диаметър, а центърът е средата ѝ.
Радиусът на описаната около правоъгълен триъгълник окръжност е 6 cm. Колко е хипотенузата?
- 12 cm
- 6 cm
- 3 cm
- 18 cm
Отговор: 12 cm
Хипотенузата е диаметър на описаната окръжност: 2·6 = 12 cm.
Равностранен триъгълник е вписан в окръжност с радиус 4 cm. Колко е височината на триъгълника?
- 8 cm
- 4√3 cm
- 12 cm
- 6 cm
Отговор: 6 cm
Центърът съвпада с медицентъра, а радиусът е 2/3 от височината: h = 4·3/2 = 6 cm.
Равнобедреният триъгълник ABC (AC = BC) е вписан в окръжност с радиус 6 cm и ∠ACB = 120°. Колко е AB?
- 6 cm
- 6√3 cm
- 12 cm
- 3√3 cm
Отговор: 6√3 cm
∠CAB = ∠CBA = 30°, затова ∠AOC = ∠BOC = 60° и ∠AOB = 120°. Височината на равнобедрения AOB към AB е 3 cm, половината от AB е √(36 − 9) = 3√3 cm, а AB = 6√3 cm.
O е центърът на описаната около остроъгълния триъгълник ABC окръжност и ∠BOC = 140°. Колко е ∠BAC?
- 140°
- 70°
- 40°
- 110°
Отговор: 70°
∠BAC е вписан ъгъл, който се опира на същата дъга като централния ∠BOC: 140° : 2 = 70°.
Колко окръжности могат да се опишат около даден триъгълник?
- две
- една
- три
- безброй много
Отговор: една
Центърът е единствената пресечна точка на симетралите, затова описаната окръжност е единствена.
Къде е центърът на описаната окръжност около тъпоъгълен триъгълник?
- вън от триъгълника
- вътре в триъгълника
- на най-дългата страна
- в тъпия ъгъл
Отговор: вън от триъгълника
При тъпоъгълен триъгълник симетралите се пресичат вън от него.
Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 14 cm. Колко е медианата към хипотенузата?
- 14 cm
- 28 cm
- 3,5 cm
- 7 cm
Отговор: 7 cm
Средата на хипотенузата е център на описаната окръжност, затова медианата е R = 14 : 2 = 7 cm.
Около правоъгълен триъгълник с остър ъгъл 30° е описана окръжност с радиус 5 cm. Колко е по-малкият катет?
- 10 cm
- 2,5 cm
- 5 cm
- 5√3 cm
Отговор: 5 cm
Хипотенузата е диаметър: 10 cm. Катетът срещу 30° е половината от хипотенузата: 5 cm.
Центърът O на описаната около триъгълника ABC окръжност е на разстояние 3 cm от AB, а R = 5 cm. Колко е AB?
- 4 cm
- 8 cm
- 6 cm
- 10 cm
Отговор: 8 cm
O лежи на симетралата на AB. AB/2 = √(25 − 9) = 4 cm, AB = 8 cm.