Забележителни точки в триъгълника

Проверете се: 15 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

1. В кой триъгълник медицентърът, ортоцентърът и центровете на вписаната и описаната окръжност съвпадат?

   • правоъгълен
   • равностранен
   • всеки равнобедрен
   • тъпоъгълен

   Отговор: равностранен

   В равностранния триъгълник медианите, височините, ъглополовящите и симетралите съвпадат.

2. В триъгълника ABC ∠C = 70°, а I е центърът на вписаната окръжност. Намерете ∠AIB.

   • 110°
   • 140°
   • 125°
   • 145°

   Отговор: 125°

   ∠IAB + ∠IBA = (180° − 70°)/2 = 55°, затова ∠AIB = 180° − 55° = 125°.

3. Пресечната точка на ъглополовящите на триъгълник е център на:

   • описаната окръжност
   • медицентъра
   • вписаната окръжност
   • ортоцентъра

   Отговор: вписаната окръжност

   Точката, в която се пресичат ъглополовящите, е на равни разстояния от страните и е център на вписаната окръжност.

4. Равностранен триъгълник има страна 6 cm. Колко е разстоянието от центъра му до всяка страна?

   • 2√3 cm
   • 3 cm
   • 3√3 cm
   • √3 cm

   Отговор: √3 cm

   Височината е 3√3 cm, а центърът (медицентър) е на 1/3 от нея от страната: √3 cm.

5. Правоъгълен триъгълник има катети 6 cm и 8 cm. Колко е разстоянието между ортоцентъра и центъра на описаната окръжност?

   • 10 cm
   • 5 cm
   • 4,8 cm
   • 7 cm

   Отговор: 5 cm

   Ортоцентърът е върхът на правия ъгъл, а центърът е средата на хипотенузата (10 cm). Разстоянието е медианата към хипотенузата: 5 cm.

6. В триъгълника ABC ∠A = 60°, I е центърът на вписаната окръжност, а O е центърът на описаната. Сравнете ∠BIC и ∠BOC.

   • ∠BIC = 120°, ∠BOC = 60°
   • равни са (по 120°)
   • ∠BIC = 150°, ∠BOC = 120°
   • ∠BIC = 120°, ∠BOC = 90°

   Отговор: равни са (по 120°)

   ∠BIC = 90° + ∠A/2 = 120°, а ∠BOC = 2∠A = 120°.

7. Медицентърът на триъгълник е пресечната точка на:

   • височините
   • медианите
   • симетралите
   • ъглополовящите

   Отговор: медианите

   Медицентърът е пресечната точка на трите медиани.

8. Коя от точките е винаги вътре в триъгълника?

   • медицентърът
   • ортоцентърът
   • центърът на описаната окръжност
   • нито една

   Отговор: медицентърът

   Медианите са вътре в триъгълника, затова и медицентърът е вътре. Другите две точки може да са вън.

9. Медианата AM е 12 cm, а G е медицентърът. Колко е AG?

   • 4 cm
   • 6 cm
   • 9 cm
   • 8 cm

   Отговор: 8 cm

   Медицентърът дели медианата 2 : 1 от върха: 12 · 2/3 = 8 cm.

10. На коя права лежат и четирите забележителни точки на равнобедрен триъгълник?

    • на основата
    • на бедрото
    • на височината към основата
    • на средната отсечка

    Отговор: на височината към основата

    Височината към основата е ос на симетрия, затова е и медиана, ъглополовяща и симетрала.

11. В остроъгълния триъгълник ABC ∠A = 50°, а O е центърът на описаната окръжност. Колко е ∠BOC?

    • 50°
    • 100°
    • 25°
    • 130°

    Отговор: 100°

    Централният ∠BOC е два пъти по-голям от вписания ∠A: 100°.

12. Равностранен триъгълник има височина 9 cm. Колко е разстоянието от центъра му до всеки връх?

    • 6 cm
    • 3 cm
    • 4,5 cm
    • 9 cm

    Отговор: 6 cm

    Центърът е медицентърът и е на 2/3 от височината от върха: 6 cm.

13. Правоъгълен триъгълник има хипотенуза 10 cm. Колко е разстоянието от медицентъра до върха на правия ъгъл?

    • 5 cm
    • 5/3 cm
    • 20/3 cm
    • 10/3 cm

    Отговор: 10/3 cm

    Медианата към хипотенузата е 5 cm, а медицентърът е на 2/3 от нея: 10/3 cm.

14. В триъгълника ABC медианата CM е 9 cm, а AB = 18 cm. Колко е ∠C?

    • 60°
    • 45°
    • 90°
    • 120°

    Отговор: 90°

    MA = MB = MC = 9, затова M е център на описаната окръжност и AB е диаметър: ∠C = 90°.

15. Правоъгълен триъгълник има катети 6 cm и 8 cm. Колко е разстоянието между медицентъра и центъра на описаната окръжност?

    • 10/3 cm
    • 5/3 cm
    • 5 cm
    • 2 cm

    Отговор: 5/3 cm

    O е средата на хипотенузата (10 cm), медианата CO = 5 cm, а GO = 5 : 3 = 5/3 cm.