Геометрична вероятност върху правата
Когато точка се избира случайно в отсечка и всички положения са равновъзможни, вероятността точката да попадне в дадена част се определя от дължините. Тя е равна на дължината на благоприятната част, разделена на дължината на цялата отсечка. Така се решават и задачи с време, например чакане на автобус, защото времето също може да се представи като отсечка.
Какво да запомним
- P = дължина на благоприятната част : дължина на цялата отсечка
- Вероятността точката да попадне точно в една точка е 0
- Интервали от време се моделират като отсечки върху числовата ос
- Ако благоприятната част е от няколко отсечки, дължините им се събират
Пример
Точка се избира случайно в [0; 20]. Вероятността да е в [5; 9] е 4/20 = 1/5.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Точка се избира случайно в отсечката [0; 20]. Каква е вероятността тя да е в [5; 9]?
- 1/4
- 9/20
- 5/9
- 1/5
Отговор: 1/5
Дължините са 4 и 20: 4/20 = 1/5.
Автобус идва на всеки 15 минути, а пътник идва на спирката в случаен момент. Каква е вероятността да чака не повече от 5 минути?
- 1/3
- 1/5
- 2/3
- 1/15
Отговор: 1/3
Благоприятни са 5 от 15 минути: 5/15 = 1/3.
Пръчка с дължина 1 m се счупва в случайна точка. Каква е вероятността по-късото парче да е по-късо от 20 cm?
- 0,2
- 0,8
- 0,1
- 0,4
Отговор: 0,4
Точката на счупване трябва да е в първите или в последните 20 cm: (0,2 + 0,2)/1 = 0,4.
Точка се избира случайно в отсечка AB с дължина 10 cm. Каква е вероятността разстоянието ѝ до A да е по-малко от 3 cm?
- 0,3
- 0,7
- 0,03
- 0,6
Отговор: 0,3
Благоприятни са точките на първите 3 cm от отсечката: 3/10 = 0,3.
Число x се избира случайно в интервала [−3; 5]. Каква е вероятността x2 ≤ 4?
- 1/4
- 1/3
- 1/2
- 2/3
Отговор: 1/2
x2 ≤ 4 при x ∈ [−2; 2], дължина 4. Целият интервал е с дължина 8, затова P = 4/8 = 1/2.
Точка се избира случайно в отсечка. Каква е вероятността тя да съвпадне точно със средата на отсечката?
- 0
- 1/2
- 1
- 1/4
Отговор: 0
Една точка има дължина 0, затова вероятността е 0.
Точка се избира случайно в [0; 12]. Каква е вероятността тя да е по-голяма от 9?
- 3/4
- 1/4
- 1/3
- 1/12
Отговор: 1/4
Благоприятната част е (9; 12] с дължина 3: 3/12 = 1/4.
Точка се избира случайно в [0; 8]. Каква е вероятността тя да е в [1; 2] или в [5; 7]?
- 1/8
- 1/4
- 3/8
- 5/8
Отговор: 3/8
Дължините се събират: 1 + 2 = 3, P = 3/8.
Число x се избира случайно в [−2; 4]. Каква е вероятността 2x − 1 > 0?
- 1/2
- 5/12
- 2/3
- 7/12
Отговор: 7/12
2x − 1 > 0 ⇔ x > 1/2. Дължината на (1/2; 4] е 3,5, P = 3,5 : 6 = 7/12.
Влак тръгва в 8:00, а пътник идва на гарата в случаен момент между 7:45 и 8:05. Каква е вероятността да хване влака?
- 3/4
- 1/4
- 1/2
- 2/3
Отговор: 3/4
Интервалът е 20 минути, а благоприятните са 15 (от 7:45 до 8:00): 15/20 = 3/4.
Точка M се избира случайно в отсечка AB с дължина 15 cm. Каква е вероятността и AM, и MB да са по-дълги от 4 cm?
- 7/15
- 4/15
- 8/15
- 1/3
Отговор: 7/15
M трябва да е на разстояние между 4 и 11 cm от A: дължина 7, P = 7/15.
Точка се избира случайно в [0; 1). Каква е вероятността първата цифра след десетичната запетая да е 7?
- 0,7
- 1/9
- 0,1
- 0,07
Отговор: 0,1
Благоприятен е интервалът [0,7; 0,8) с дължина 0,1.
Число a се избира случайно в [−1; 4]. Каква е вероятността уравнението x2 − 2x + a = 0 да има реални корени?
- 1/5
- 1/4
- 3/5
- 2/5
Отговор: 2/5
D/4 = 1 − a ≥ 0 ⇔ a ≤ 1. Благоприятен е [−1; 1] с дължина 2, P = 2/5.
Число x се избира случайно в [0; π]. Каква е вероятността sin x > 1/2?
- 2/3
- 1/2
- 1/3
- 5/6
Отговор: 2/3
sin x > 1/2 при x ∈ (π/6; 5π/6), дължина 2π/3, P = (2π/3) : π = 2/3.
Число x се избира случайно в [1; 100]. Каква е вероятността lg x < 1?
- 1/10
- 1/11
- 1/2
- 9/100
Отговор: 1/11
lg x < 1 ⇔ x < 10. Дължината на [1; 10) е 9, а на [1; 100] е 99: P = 9/99 = 1/11.