Независимост. Умножение на вероятностите на независими събития
Две събития са независими, ако настъпването на едното не променя вероятността на другото. Тогава вероятността да настъпят и двете е просто произведение от техните вероятности. Независими са например резултатите при отделни хвърляния на монета или зар. Чрез равенството P(A ∩ B) = P(A) · P(B) можем и да проверим дали две събития са независими.
Какво да запомним
- A и B са независими, когато P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
- При независими събития P(A | B) = P(A)
- За няколко независими събития вероятностите на всички се умножават
- „Поне едно“ се смята удобно чрез противоположното събитие: 1 − P(нито едно)
Пример
Монета и зар се хвърлят заедно. Вероятността за ези и шестица е 1/2 · 1/6 = 1/12.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
A и B са независими, P(A) = 0,3 и P(B) = 0,6. Намерете P(A ∩ B).
- 0,9
- 0,18
- 0,3
- 0,72
Отговор: 0,18
За независими събития P(A ∩ B) = P(A) · P(B) = 0,18.
Хвърлят се монета и зар. Каква е вероятността да се падне ези и шестица?
- 1/8
- 2/3
- 1/6
- 1/12
Отговор: 1/12
Събитията са независими: 1/2 · 1/6 = 1/12.
Трима стрелци уцелват независимо с вероятности 0,9, 0,8 и 0,5. Каква е вероятността и тримата да уцелят?
- 0,36
- 0,72
- 0,4
- 0,45
Отговор: 0,36
0,9 · 0,8 · 0,5 = 0,36.
P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 и P(A ∩ B) = 0,2. Кое е вярно за A и B?
- несъвместими са
- противоположни са
- независими са
- B е част от A
Отговор: независими са
P(A) · P(B) = 0,2 = P(A ∩ B), затова са независими. Не са несъвместими, защото P(A ∩ B) ≠ 0.
Уред работи, ако работи поне един от два независими елемента с надеждности 0,9 и 0,8. Каква е вероятността уредът да работи?
- 0,72
- 0,98
- 0,85
- 0,02
Отговор: 0,98
Уредът отказва само ако откажат и двата: 0,1 · 0,2 = 0,02. Търсената вероятност е 1 − 0,02 = 0,98.
Монета се хвърля 2 пъти. Каква е вероятността и двата пъти да се падне ези?
- 1/2
- 1/4
- 1/3
- 3/4
Отговор: 1/4
Хвърлянията са независими: (1/2)·(1/2) = 1/4.
A и B са независими, P(A) = 0,4 и P(B) = 0,5. Намерете P(A ∪ B).
- 0,9
- 0,7
- 0,2
- 0,8
Отговор: 0,7
P(A ∩ B) = 0,4·0,5 = 0,2, затова P(A ∪ B) = 0,4 + 0,5 − 0,2 = 0,7.
Двама стрелци уцелват независимо с вероятности 0,7 и 0,6. Каква е вероятността точно един от тях да уцели?
- 0,42
- 0,46
- 0,88
- 0,54
Отговор: 0,46
0,7·0,4 + 0,3·0,6 = 0,28 + 0,18 = 0,46.
Хвърля се зар. A е „паднало се е четно число“, а B е „падналото се число се дели на 3“. Какви са събитията A и B?
- независими
- зависими
- несъвместими
- противоположни
Отговор: независими
P(A) = 1/2, P(B) = 1/3 и P(A ∩ B) = P(6) = 1/6 = P(A)·P(B), затова са независими.
Колко най-малко пъти трябва да се хвърли монета, за да е вероятността за поне едно ези по-голяма от 0,99?
- 7
- 6
- 10
- 100
Отговор: 7
1 − (1/2)n > 0,99 ⇔ 2n > 100, а най-малкото такова n е 7 (27 = 128).
Зар се хвърля два пъти. Каква е вероятността и двата пъти да се падне шестица?
- 1/6
- 1/12
- 1/36
- 1/3
Отговор: 1/36
Хвърлянията са независими: 1/6·1/6 = 1/36.
A и B са независими, P(A) = 0,4 и P(A ∩ B) = 0,1. Намерете P(B).
- 0,25
- 0,04
- 0,5
- 0,6
Отговор: 0,25
P(A ∩ B) = P(A)·P(B), откъдето P(B) = 0,1 : 0,4 = 0,25.
Монета се хвърля 3 пъти. Каква е вероятността да се паднат последователно ези, тура, ези?
- 3/8
- 1/4
- 1/2
- 1/8
Отговор: 1/8
Хвърлянията са независими: 1/2·1/2·1/2 = 1/8.
A и B са независими събития. Какви са събитията A и B̄ (противоположното на B)?
- несъвместими
- също независими
- зависими
- противоположни
Отговор: също независими
P(A ∩ B̄) = P(A) − P(A)P(B) = P(A)·P(B̄), значи и те са независими.
Уред има два независими елемента с надеждности 0,9 и 0,8 и работи само ако работят и двата. Каква е вероятността уредът да откаже?
- 0,28
- 0,72
- 0,02
- 0,3
Отговор: 0,28
Уредът работи с вероятност 0,9·0,8 = 0,72, а отказва с вероятност 1 − 0,72 = 0,28.