Условна вероятност. Теорема за умножение на вероятностите
Условната вероятност P(A | B) показва колко вероятно е събитието A, ако вече знаем, че е настъпило събитието B. Тогава разглеждаме само изходите, при които B е настъпило, и търсим каква част от тях са благоприятни за A. От определението следва теоремата за умножение: вероятността двете събития да настъпят заедно е произведение от вероятността на едното и условната вероятност на другото.
Какво да запомним
- P(A | B) = P(A ∩ B) : P(B), когато P(B) > 0
- Теорема за умножение: P(A ∩ B) = P(B) · P(A | B) = P(A) · P(B | A)
- При теглене без връщане вероятностите се променят след всяко теглене
- Условната вероятност се смята върху „намаленото“ пространство от изходи, при които B е настъпило
Пример
Хвърля се зар и се знае, че се е паднало четно число. Възможните изходи са 2, 4 и 6, затова вероятността да е 6 е 1/3.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
P(A ∩ B) = 0,2 и P(B) = 0,5. Намерете P(A | B).
- 0,1
- 0,4
- 0,7
- 0,25
Отговор: 0,4
P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0,2/0,5 = 0,4.
Хвърля се зар и се знае, че се е паднало четно число. Каква е вероятността то да е 6?
- 1/3
- 1/6
- 1/2
- 2/3
Отговор: 1/3
Четните изходи са 2, 4 и 6, а благоприятен е един от тях.
В клас има 30 ученици, от тях 12 са момичета, а 9 от момичетата свирят на инструмент. Избраният случайно ученик е момиче. Каква е вероятността то да свири?
- 3/10
- 3/4
- 2/5
- 1/4
Отговор: 3/4
Условието стеснява избора до 12 момичета, от които 9 свирят: 9/12 = 3/4.
В урна има 4 бели и 6 черни топки. Теглят се 2 топки без връщане. Първата е бяла. Каква е вероятността и втората да е бяла?
- 2/5
- 1/3
- 4/9
- 2/15
Отговор: 1/3
Остават 9 топки, от които 3 бели: 3/9 = 1/3.
Хвърлят се две монети и се знае, че има поне едно ези. Каква е вероятността и двете да са ези?
- 1/2
- 1/4
- 1/3
- 2/3
Отговор: 1/3
Изходите с поне едно ези са ЕЕ, ЕТ и ТЕ, от тях благоприятен е само ЕЕ.
A и B са независими събития и P(A) = 0,7. На какво е равно P(A | B), ако P(B) > 0?
- 0,3
- 1
- 0,7
- 0
Отговор: 0,7
За независими събития P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B) = P(A)·P(B)/P(B) = P(A) = 0,7.
Избира се случайно цяло число от 1 до 10 и се знае, че то е нечетно. Каква е вероятността да е просто?
- 3/5
- 2/5
- 1/2
- 3/10
Отговор: 3/5
Нечетните числа са 1, 3, 5, 7, 9, а простите сред тях са 3, 5 и 7.
Хвърлят се два зара и на първия се е паднало 4. Каква е вероятността сборът да е поне 9?
- 1/3
- 1/6
- 1/2
- 5/18
Отговор: 1/3
Сборът е поне 9, ако на втория зар се падне 5 или 6: 2 от 6 възможности.
Урна I има 3 бели и 2 черни топки, урна II има 1 бяла и 4 черни. С монета се избира урна и от нея се тегли топка. Каква е вероятността топката да е бяла?
- 0,4
- 0,5
- 0,3
- 0,8
Отговор: 0,4
По формулата за пълната вероятност: 0,5·3/5 + 0,5·1/5 = 0,3 + 0,1 = 0,4.
При същия опит (урна I: 3 бели и 2 черни, урна II: 1 бяла и 4 черни, урната се избира с монета) е изтеглена бяла топка. Каква е вероятността тя да е от урна I?
- 3/5
- 1/2
- 2/3
- 3/4
Отговор: 3/4
По формулата на Бейс: (0,5·3/5)/0,4 = 0,3/0,4 = 3/4.
P(A) = 0,5 и P(B | A) = 0,6. Намерете P(A ∩ B).
- 0,3
- 1,1
- 0,1
- 0,83
Отговор: 0,3
По теоремата за умножение P(A ∩ B) = P(A)·P(B | A) = 0,5·0,6 = 0,3.
От тесте от 52 карти е изтеглена карта и се знае, че тя е купа. Каква е вероятността тя да е асо?
- 1/4
- 1/13
- 1/52
- 4/13
Отговор: 1/13
Купите са 13 и само една от тях е асо: 1/13.
В урна има 5 червени и 3 сини топки. Теглят се 2 топки без връщане. Каква е вероятността и двете да са червени?
- 25/64
- 15/56
- 5/14
- 5/8
Отговор: 5/14
P = 5/8·4/7 = 20/56 = 5/14.
P(A) = 0,6, P(B) = 0,5 и P(A ∪ B) = 0,8. Намерете P(A | B).
- 0,5
- 0,3
- 0,75
- 0,6
Отговор: 0,6
P(A ∩ B) = 0,6 + 0,5 − 0,8 = 0,3, P(A | B) = 0,3 : 0,5 = 0,6.
10% от продукцията е дефектна. Тест маркира дефектен продукт като дефектен с вероятност 0,9, а изправен продукт погрешно с вероятност 0,05. Каква е вероятността случаен продукт да бъде маркиран като дефектен?
- 0,09
- 0,135
- 0,95
- 0,045
Отговор: 0,135
P = 0,1·0,9 + 0,9·0,05 = 0,09 + 0,045 = 0,135.