Как да се упражни урокът у дома?

Прочетете обяснението и ключовите неща, после отговорете на въпросите по-долу. За повече упражнения отворете темата „Математика 12 клас: Уравнения“ и изберете игра или режим „У дома“.

Математика · 12 клас · урок 1 от 6

Модулни уравнения от вида |ax² + bx + c| = m

Уравнение |f(x)| = m, където f(x) е квадратен тричлен, се решава според знака на m. Ако m 0, решаваме двете квадратни уравнения f(x) = m и f(x) = −m и обединяваме корените им. Графично броят на корените е броят на пресечните точки на правата y = m с графиката на |f(x)|.

Играйте само този урок:Вярно или невярно Табло Бомба Надбягване Отборен тест А/Б/В/Г Горещ стол

Работен лист за печат

Какво да запомним

|f(x)| = m, m > 0 ⇔ f(x) = m или f(x) = −m
При m < 0 уравнението няма решение
При m = 0 решаваме f(x) = 0
Графиката на |f(x)| се получава, като частта под оста Ox се отрази симетрично нагоре

Пример

|x² − 1| = 3: x² − 1 = 3 дава x = ±2, а x² − 1 = −3 няма решение. Отговор: −2 и 2.

Проверете се: 15 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

Решете уравнението |x² − 1| = 3.
- −2 и 2
- само 2
- −2, 0 и 2
- няма решение
Отговор: −2 и 2
x² − 1 = 3 дава x = ±2, а x² − 1 = −3 няма решение.
Колко корена има уравнението |x² − 5x| = 6?
- 2
- 3
- 4
- 1
Отговор: 4
x² − 5x = 6 дава 6 и −1, а x² − 5x = −6 дава 2 и 3.
Решете уравнението |x² − 4| = 5.
- −3, −1, 1 и 3
- −3 и 3
- само 3
- −1 и 1
Отговор: −3 и 3
x² − 4 = 5 дава x = ±3, а x² − 4 = −5 няма решение.
При коя стойност на m уравнението |x² − 4x| = m има точно 3 корена?
- m = 0
- m = 2
- m = 4
- m = 8
Отговор: m = 4
Графиката на |x² − 4x| има връх (2; 4) след отразяването. Правата y = 4 я пресича в 3 точки: 2 и 2 ± 2√2.
Намерете сбора от корените на уравнението |x² − 2x − 3| = 5.
- 2
- 4
- 6
- 0
Отговор: 2
x² − 2x − 3 = 5 дава 4 и −2, а x² − 2x + 2 = 0 няма реални корени. Сборът е 2.
Решете уравнението |x² − 9| = 0.
- 3
- 9
- −9 и 9
- −3 и 3
Отговор: −3 и 3
|A| = 0 ⇔ A = 0, т.е. x² = 9 и x = ±3.
Решете уравнението |x² + 1| = 5.
- −2 и 2
- −√6 и √6
- 2
- −2, 2, −√6 и √6
Отговор: −2 и 2
x² + 1 > 0, затова x² + 1 = 5, x² = 4 и x = ±2.
Кой е най-големият корен на уравнението |x² − 6x| = 7?
- 7
- 3 + √2
- 6
- −1
Отговор: 7
x² − 6x = 7 дава x = 7 и x = −1, а x² − 6x = −7 дава x = 3 ± √2. Най-големият корен е 7.
Решете уравнението |2x² − 3x| = 2.
- −1/2 и 2
- 2
- 1/2 и −2
- −1/2, 1 и 2
Отговор: −1/2 и 2
2x² − 3x − 2 = 0 дава x = 2 и x = −1/2, а 2x² − 3x + 2 = 0 няма реални корени (D = −7).
При кои стойности на m уравнението |x² − 2x − 3| = m има точно 4 корена?
- m > 4
- m = 4
- 0 < m < 4
- m ≥ 0
Отговор: 0 < m < 4
Най-малката стойност на x² − 2x − 3 е −4. Графиката на модула има „гърбица“ с височина 4, а правата y = m я пресича в 4 точки при 0 < m < 4.
Колко корена има уравнението |x² − 4| = −1?
- няма корени
- 2
- 4
- 1
Отговор: няма корени
Модулът не може да е отрицателен, затова уравнението няма корени.
На кои уравнения е равносилно уравнението |x² − 3x| = 4?
- x² − 3x = 4
- x² − 3x = ±4
- x² − 3x = 16
- x² + 3x = 4
Отговор: x² − 3x = ±4
При m > 0: |f(x)| = m ⇔ f(x) = m или f(x) = −m.
Решете уравнението |x² − 5x + 4| = 4.
- 1 и 4
- 0 и 5
- 0, 1, 4 и 5
- 5
Отговор: 0 и 5
x² − 5x + 4 = 4 дава x = 0 и x = 5, а x² − 5x + 8 = 0 няма корени (D < 0).
При кои стойности на m уравнението |x² − 4| = m има точно 2 корена?
- m > 4
- 0 < m < 4
- m = 4
- m = 0 или m > 4
Отговор: m = 0 или m > 4
Графиката на |x² − 4| има „гърбица“ с връх (0; 4). Точно 2 общи точки с y = m има при m = 0 и при m > 4.
Решете уравнението |x² − x − 1| = 1.
- −1 и 2
- 0 и 1
- −1, 0, 1 и 2
- −2, 0, 1 и 2
Отговор: −1, 0, 1 и 2
x² − x − 1 = 1 дава x = −1 и x = 2, а x² − x − 1 = −1 дава x = 0 и x = 1.