Уравнения tg x = a и cotg x = a
Уравненията tg x = a и cotg x = a имат решение за всяко реално число a. Тангенсът и котангенсът са периодични с период π, затова към едно основно решение прибавяме kπ. Основното решение е arctg a, съответно arccotg a, а за таблични стойности като 1 или √3 го намираме директно. Трябва да помним, че tg x не е дефиниран при x = π/2 + kπ, а cotg x при x = kπ.
Какво да запомним
- tg x = a ⇔ x = arctg a + kπ, за всяко a
- cotg x = a ⇔ x = arccotg a + kπ, за всяко a
- tg x = 0 ⇔ x = kπ; cotg x = 0 ⇔ x = π/2 + kπ
- Периодът на tg x и cotg x е π
Пример
tg x = 1 дава x = π/4 + kπ, k ∈ ℤ.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Решете уравнението tg x = 1.
- x = π/4 + 2kπ
- x = ±π/4 + kπ
- x = 3π/4 + kπ
- x = π/4 + kπ
Отговор: x = π/4 + kπ
tg π/4 = 1, а периодът на tg е π.
Решете уравнението cotg x = −√3.
- x = π/6 + kπ
- x = −π/3 + kπ
- x = 5π/6 + kπ
- x = 2π/3 + kπ
Отговор: x = 5π/6 + kπ
cotg(5π/6) = −√3, а периодът на cotg е π.
Решете уравнението tg x = 0.
- x = kπ
- x = π/2 + kπ
- x = 2kπ
- x = π/4 + kπ
Отговор: x = kπ
tg x = sin x/cos x = 0, когато sin x = 0, т.е. x = kπ, k ∈ Z.
Решете уравнението cotg x = 1.
- x = −π/4 + kπ
- x = π/4 + kπ
- x = π/4 + 2kπ
- x = π/2 + kπ
Отговор: x = π/4 + kπ
cotg(π/4) = 1, а котангенсът има период π.
Решете уравнението tg2x = 3.
- x = π/3 + kπ
- x = ±π/6 + kπ
- x = ±π/3 + kπ
- x = ±π/3 + 2kπ
Отговор: x = ±π/3 + kπ
tg x = √3 или tg x = −√3, т.е. x = π/3 + kπ или x = −π/3 + kπ.
Решете уравнението cotg x = 0.
- x = kπ
- x = π/2 + kπ
- x = π + kπ
- няма решение
Отговор: x = π/2 + kπ
cotg x = cos x : sin x = 0, когато cos x = 0, т.е. x = π/2 + kπ.
Решете уравнението tg x = √3.
- x = π/6 + kπ
- x = ±π/3 + kπ
- x = π/3 + 2kπ
- x = π/3 + kπ
Отговор: x = π/3 + kπ
tg(π/3) = √3, а периодът на тангенса е π.
Решете уравнението tg x = −1.
- x = −π/4 + kπ
- x = π/4 + kπ
- x = −π/4 + 2kπ
- x = 3π/4 + 2kπ
Отговор: x = −π/4 + kπ
arctg(−1) = −π/4, затова x = −π/4 + kπ.
Решете уравнението √3·tg x = 1.
- x = π/3 + kπ
- x = π/6 + 2kπ
- x = π/6 + kπ
- x = −π/6 + kπ
Отговор: x = π/6 + kπ
tg x = 1/√3 = √3/3, затова x = π/6 + kπ.
Решете уравнението tg(x + π/6) = 0.
- x = π/6 + kπ
- x = −π/6 + kπ
- x = kπ
- x = −π/6 + 2kπ
Отговор: x = −π/6 + kπ
x + π/6 = kπ, откъдето x = −π/6 + kπ.
Решете уравнението cotg(x/2) = √3.
- x = π/3 + 2kπ
- x = π/6 + kπ
- x = π/3 + kπ
- x = π/12 + kπ/2
Отговор: x = π/3 + 2kπ
x/2 = π/6 + kπ, откъдето x = π/3 + 2kπ.
Колко решения има уравнението tg x = 2 в интервала [0; 2π]?
- 1
- 3
- 4
- 2
Отговор: 2
Решенията са arctg 2 (в I квадрант) и arctg 2 + π (в III квадрант).
Решете уравнението tg x = cotg x.
- x = π/4 + kπ
- x = π/2 + kπ
- x = π/4 + kπ/2
- x = kπ/2
Отговор: x = π/4 + kπ/2
tg x = 1/tg x ⇔ tg2x = 1 ⇔ tg x = ±1, откъдето x = ±π/4 + kπ, т.е. x = π/4 + kπ/2.
Решете уравнението sin x = 2cos x.
- x = arctg (1/2) + kπ
- x = arcsin 2 + kπ
- няма решение
- x = arctg 2 + kπ
Отговор: x = arctg 2 + kπ
cos x = 0 не е решение (тогава и sin x = 0, а това е невъзможно). Делим на cos x: tg x = 2.
Решете уравнението tg(2x − π/4) = −1.
- x = kπ/2
- x = kπ
- x = π/4 + kπ/2
- x = −π/8 + kπ/2
Отговор: x = kπ/2
2x − π/4 = −π/4 + kπ, откъдето 2x = kπ и x = kπ/2.