Уравнения sin x = a и cos x = a
Уравненията sin x = a и cos x = a имат решения само когато −1 ≤ a ≤ 1. Тъй като синусът и косинусът са периодични с период 2π, решенията са безбройно много и се записват с цяло число k. Използваме единичната окръжност или таблицата на стойностите, за да намерим основните ъгли. Частните случаи a = 0, 1 и −1 имат по-кратки формули.
Какво да запомним
- sin x = a ⇔ x = arcsin a + 2kπ или x = π − arcsin a + 2kπ, |a| ≤ 1
- cos x = a ⇔ x = ±arccos a + 2kπ, |a| ≤ 1
- sin x = 0 ⇔ x = kπ; cos x = 0 ⇔ x = π/2 + kπ
- При |a| > 1 уравненията нямат решение; k е цяло число
Пример
sin x = √2/2 дава x = π/4 + 2kπ или x = 3π/4 + 2kπ, k ∈ ℤ.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Решете уравнението sin x = 0.
- x = 2kπ
- x = π/2 + kπ
- x = π + 2kπ
- x = kπ
Отговор: x = kπ
Синусът е 0 в точките 0, π, 2π, ... и отрицателните им, т.е. x = kπ.
Решете уравнението cos x = −1.
- x = 2kπ
- x = kπ
- x = −π/2 + 2kπ
- x = π + 2kπ
Отговор: x = π + 2kπ
cos x = −1 само в точката π от единичната окръжност: x = π + 2kπ.
Решете уравнението sin x = √2/2.
- x = ±π/4 + 2kπ
- x = π/4 + 2kπ и x = 3π/4 + 2kπ
- x = π/4 + kπ
- x = ±3π/4 + 2kπ
Отговор: x = π/4 + 2kπ и x = 3π/4 + 2kπ
Синусът е √2/2 при π/4 и π − π/4 = 3π/4, с период 2π.
Решете уравнението cos 2x = 1/2.
- x = ±π/3 + 2kπ
- x = ±π/6 + 2kπ
- x = ±π/3 + kπ
- x = ±π/6 + kπ
Отговор: x = ±π/6 + kπ
2x = ±π/3 + 2kπ, затова x = ±π/6 + kπ.
Колко решения има уравнението sin 2x = 1/2 в интервала [0; 2π]?
- 2
- 8
- 1
- 4
Отговор: 4
2x ∈ [0; 4π]: 2x = π/6, 5π/6, 13π/6, 17π/6, т.е. x = π/12, 5π/12, 13π/12, 17π/12.
Решете уравнението cos x = 1.
- x = kπ
- x = 2kπ
- x = π/2 + kπ
- x = π + 2kπ
Отговор: x = 2kπ
Косинусът е 1 само в точката 0 от единичната окръжност, затова x = 2kπ, k ∈ Z.
Решете уравнението sin x = −1.
- x = π/2 + 2kπ
- x = −π/2 + kπ
- x = π + 2kπ
- x = −π/2 + 2kπ
Отговор: x = −π/2 + 2kπ
Синусът е −1 само при ъгъл −π/2 (или 3π/2) от единичната окръжност, с период 2π.
Решете уравнението cos x = −√3/2.
- x = ±π/6 + 2kπ
- x = ±2π/3 + 2kπ
- x = ±5π/6 + 2kπ
- x = 5π/6 + kπ
Отговор: x = ±5π/6 + 2kπ
cos(5π/6) = −√3/2, а решенията на cos x = a са x = ±arccos a + 2kπ.
Решете уравнението sin(x − π/6) = 0.
- x = −π/6 + kπ
- x = π/6 + kπ
- x = π/6 + 2kπ
- x = π/3 + kπ
Отговор: x = π/6 + kπ
x − π/6 = kπ, откъдето x = π/6 + kπ, k ∈ Z.
Колко решения има уравнението cos x = 1/3 в интервала [0; 4π]?
- 2
- 3
- 6
- 4
Отговор: 4
Във всеки период [0; 2π) има две решения (arccos(1/3) и 2π − arccos(1/3)), а интервалът съдържа два периода.
Решете уравнението cos x = 0.
- x = kπ
- x = π/2 + kπ
- x = 2kπ
- x = π/2 + 2kπ
Отговор: x = π/2 + kπ
Косинусът е 0 в точките π/2 и 3π/2 от единичната окръжност, т.е. при x = π/2 + kπ.
Решете уравнението sin x = 1.
- x = π/2 + kπ
- x = π + 2kπ
- x = π/2 + 2kπ
- x = 2kπ
Отговор: x = π/2 + 2kπ
Синусът е 1 само в точката π/2 от единичната окръжност: x = π/2 + 2kπ.
Решете уравнението 2cos x = √2.
- x = ±π/4 + 2kπ
- x = π/4 + kπ
- x = ±π/3 + 2kπ
- x = ±3π/4 + 2kπ
Отговор: x = ±π/4 + 2kπ
cos x = √2/2, x = ±arccos(√2/2) + 2kπ = ±π/4 + 2kπ.
Решете уравнението sin 3x = 0.
- x = kπ
- x = 3kπ
- x = π/3 + kπ
- x = kπ/3
Отговор: x = kπ/3
3x = kπ, откъдето x = kπ/3.
Колко решения има уравнението sin x = −1/2 в интервала [0; 3π]?
- 1
- 2
- 3
- 4
Отговор: 2
В [0; 2π] решенията са 7π/6 и 11π/6. Следващото е 19π/6 > 3π, затова решенията са 2.