Тригонометрични уравнения, свеждащи се до квадратни
Много тригонометрични уравнения се решават чрез полагане. Ако в уравнението има sin2x и cos x, заменяме sin2x = 1 − cos2x и полагаме t = cos x, като спазваме условието −1 ≤ t ≤ 1. Получаваме квадратно уравнение за t, а после решаваме основни тригонометрични уравнения. Хомогенните уравнения от втора степен делим на cos2x и полагаме t = tg x.
Какво да запомним
- sin2x + cos2x = 1
- Полагане t = sin x или t = cos x с условие −1 ≤ t ≤ 1
- tg x · cotg x = 1, затова cotg x = 1/tg x
- Хомогенно уравнение: делим на cos2x и полагаме t = tg x
Пример
2cos2x − cos x − 1 = 0: t = cos x, 2t2 − t − 1 = 0, t = 1 или t = −1/2. В [0; 2π) решенията са 0, 2π/3 и 4π/3.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Колко решения има уравнението 2cos2x − cos x − 1 = 0 в интервала [0; 2π)?
- 2
- 3
- 4
- 1
Отговор: 3
cos x = 1 дава x = 0, а cos x = −1/2 дава x = 2π/3 и 4π/3.
Решете уравнението tg x + 3cotg x = 4.
- x = π/4 + kπ и x = arctg 3 + kπ
- x = π/4 + kπ
- x = −π/4 + kπ и x = −arctg 3 + kπ
- x = π/4 + 2kπ и x = arctg 3 + 2kπ
Отговор: x = π/4 + kπ и x = arctg 3 + kπ
С tg x = t: t + 3/t = 4, t2 − 4t + 3 = 0, t = 1 или t = 3.
Решете уравнението 2sin2x + 3cos x = 0.
- x = ±π/3 + 2kπ
- x = ±2π/3 + 2kπ и x = 2kπ
- x = ±2π/3 + 2kπ
- x = ±2π/3 + kπ
Отговор: x = ±2π/3 + 2kπ
2 − 2cos2x + 3cos x = 0, 2cos2x − 3cos x − 2 = 0, cos x = −1/2 или cos x = 2 (отхвърля се).
Колко решения има уравнението 2sin2x − sin x = 0 в интервала [0; 2π)?
- 4
- 2
- 3
- 6
Отговор: 4
sin x(2sin x − 1) = 0: sin x = 0 дава 0 и π, а sin x = 1/2 дава π/6 и 5π/6.
Решете уравнението sin2x − 3sin x cos x + 2cos2x = 0.
- x = π/4 + kπ
- x = arctg 2 + kπ
- x = −π/4 + kπ и x = −arctg 2 + kπ
- x = π/4 + kπ и x = arctg 2 + kπ
Отговор: x = π/4 + kπ и x = arctg 2 + kπ
cos x = 0 не е решение, затова делим на cos2x: tg2x − 3tg x + 2 = 0, tg x = 1 или tg x = 2.
С какво заменяме sin2x, за да остане в уравнението само cos x?
- 1 − cos2x
- cos2x − 1
- 1 + cos2x
- 2cos x
Отговор: 1 − cos2x
От sin2x + cos2x = 1 следва sin2x = 1 − cos2x.
Какво полагане е удобно за уравнението sin2x − 3sin x + 2 = 0?
- t = cos x
- t = sin x
- t = tg x
- t = sin2x
Отговор: t = sin x
С t = sin x уравнението става квадратно: t2 − 3t + 2 = 0.
Кое условие трябва да изпълнява t = cos x?
- t ≥ 0
- t > 0
- t ∈ ℝ
- −1 ≤ t ≤ 1
Отговор: −1 ≤ t ≤ 1
Косинусът приема стойности само от −1 до 1.
При t = sin x уравнението 2sin2x − 3sin x + 1 = 0 дава t = 1 и t = 1/2. Кои решения дава t = 1?
- x = π/2 + kπ
- x = 2kπ
- x = π/2 + 2kπ
- x = π + 2kπ
Отговор: x = π/2 + 2kπ
sin x = 1 ⇔ x = π/2 + 2kπ.
Решете уравнението sin2x − 1 = 0.
- x = π/2 + kπ
- x = π/2 + 2kπ
- x = kπ
- x = π + 2kπ
Отговор: x = π/2 + kπ
sin x = ±1, т.е. x = π/2 + 2kπ или x = −π/2 + 2kπ, което се записва x = π/2 + kπ.
Уравнението cos2x + cos x − 2 = 0 при t = cos x дава t = 1 и t = −2. Кое t е допустимо?
- t = −2
- t = 1
- и двете
- нито едно
Отговор: t = 1
t = −2 отпада, защото −1 ≤ cos x ≤ 1. Остава t = 1, т.е. x = 2kπ.
Решете уравнението 2cos2x − 1 = 0.
- x = π/4 + kπ/2
- x = ±π/4 + 2kπ
- x = π/4 + kπ
- x = ±π/3 + 2kπ
Отговор: x = π/4 + kπ/2
cos x = ±√2/2, т.е. x = ±π/4 + kπ, което се записва x = π/4 + kπ/2.
Решете уравнението tg2x − tg x = 0.
- x = π/4 + kπ
- x = kπ
- x = π/4 + 2kπ
- x = kπ и x = π/4 + kπ
Отговор: x = kπ и x = π/4 + kπ
tg x(tg x − 1) = 0, откъдето tg x = 0 или tg x = 1.
Решете уравнението 2cos2x + 5sin x − 4 = 0.
- x = π/3 + 2kπ и x = 2π/3 + 2kπ
- x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ
- x = ±π/6 + 2kπ
- x = π/2 + 2kπ
Отговор: x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ
Заменяме cos2x = 1 − sin2x: 2sin2x − 5sin x + 2 = 0, sin x = 1/2 (sin x = 2 отпада).
Решете уравнението cos 2x − 3cos x + 2 = 0.
- x = 2kπ и x = ±π/3 + 2kπ
- x = 2kπ
- x = ±π/3 + 2kπ
- x = kπ и x = ±π/6 + 2kπ
Отговор: x = 2kπ и x = ±π/3 + 2kπ
cos 2x = 2cos2x − 1, затова 2cos2x − 3cos x + 1 = 0, cos x = 1 или cos x = 1/2.