Вектори. Приложения
С вектори се доказват геометрични факти и се решават задачи без много чертане. Важни формули са тези за средата на отсечка и за медицентъра на триъгълник. Векторите дават кратко доказателство, че средната отсечка в триъгълник е успоредна на страната и равна на половината ѝ. Удобно е всички вектори да се изразят чрез два неколинеарни вектора, например страните на успоредник.
Какво да запомним
- M е среда на AB ⇒ OM = (OA + OB)/2.
- G е медицентър ⇒ GA + GB + GC = 0.
- Средна отсечка: MN = 1/2 · AB.
- Средна основа на трапец: MN = (AB + DC)/2.
Пример
В успоредник ABCD с a = AB, b = AD и M среда на CD: AM = AD + DM = b + a/2.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
M е средата на отсечката AB, а O е произволна точка. На какво е равен векторът OM?
- OA + OB
- (OA − OB)/2
- (OA + OB)/2
- (OB − OA)/2
Отговор: (OA + OB)/2
OM = OA + AM = OA + AB/2 = OA + (OB − OA)/2 = (OA + OB)/2.
G е медицентърът на триъгълника ABC. На какво е равен сборът GA + GB + GC?
- 3GA
- нулевия вектор
- AG
- AB
Отговор: нулевия вектор
Това е основно свойство на медицентъра: сборът на векторите от него към върховете е нулевият вектор.
В трапеца ABCD (AB ∥ CD) M и N са средите на бедрата AD и BC. Кое равенство е вярно?
- MN = (AB + DC)/2
- MN = (AB − DC)/2
- MN = AB + DC
- MN = (AB + CD)/2
Отговор: MN = (AB + DC)/2
MN = MA + AB + BN и MN = MD + DC + CN. Събираме: 2MN = AB + DC.
В триъгълника ABC ∠A = 90°, AB = 6 и AC = 8. Намерете дължината на вектора AB + AC.
- 14
- 5
- 2√7
- 10
Отговор: 10
AB + AC = 2AM (M е средата на BC), а AM = BC/2. Значи дължината е BC = 10.
ABCD е успоредник, M е средата на CD, a = AB и b = AD. Изразете AM чрез a и b.
- a + b/2
- (a + b)/2
- b + a/2
- b − a/2
Отговор: b + a/2
AM = AD + DM = b + DC/2 = b + a/2.
ABCD е успоредник, а O е пресечната точка на диагоналите. За кое k е вярно AO = k·AC?
- 2
- 1/3
- 1/2
- 1/4
Отговор: 1/2
Диагоналите на успоредника се разполовяват, затова AO = 1/2·AC.
В триъгълника ABC точките M и N са средите на AC и BC. Кое равенство е вярно?
- MN = 1/2·AB
- MN = AB
- MN = 2AB
- MN = 1/2·BA
Отговор: MN = 1/2·AB
Средната отсечка MN е успоредна на AB, еднопосочна с AB и е половината от нея.
G е медицентърът на триъгълника ABC, а O е произволна точка. На какво е равен OG?
- (OA + OB + OC)/2
- OA + OB + OC
- (OA + OB)/2
- (OA + OB + OC)/3
Отговор: (OA + OB + OC)/3
Понеже GA + GB + GC е нулевият вектор, следва OA + OB + OC = 3OG.
ABCD е успоредник, O е пресечната точка на диагоналите, a = AB и b = AD. Изразете BO чрез a и b.
- (a − b)/2
- (b − a)/2
- (a + b)/2
- b − a
Отговор: (b − a)/2
BD = AD − AB = b − a, а BO е половината от BD.
В триъгълника ABC точката M лежи на BC и BM : MC = 1 : 2. Изразете AM чрез AB и AC.
- 1/3·AB + 2/3·AC
- 2/3·AB + 1/3·AC
- 1/2·AB + 1/2·AC
- AB + 1/3·AC
Отговор: 2/3·AB + 1/3·AC
AM = AB + 1/3·BC = AB + 1/3(AC − AB) = 2/3·AB + 1/3·AC.
ABCD е успоредник, a = AB и b = AD. Изразете AC чрез a и b.
- a + b
- a − b
- b − a
- 2a
Отговор: a + b
По правилото на успоредника AC = AB + AD = a + b.
ABCD е успоредник, a = AB и b = AD. Изразете BD чрез a и b.
- a − b
- a + b
- −a − b
- b − a
Отговор: b − a
BD = AD − AB = b − a.
MN е средна отсечка в ΔABC (M ∈ AC, N ∈ BC) и |MN| = 7. Намерете |AB|.
- 7
- 3,5
- 14
- 21
Отговор: 14
MN = 1/2 · AB, затова |AB| = 2 · 7 = 14.
AM е медиана в ΔABC. Изразете AM чрез AB и AC.
- AB + AC
- (AB + AC)/2
- (AC − AB)/2
- 2(AB + AC)
Отговор: (AB + AC)/2
M е средата на BC, затова AM = (AB + AC)/2.
G е медицентърът на ΔABC, а AM е медиана. За кое k е вярно AG = k · AM?
- 2/3
- 1/3
- 1/2
- 3/2
Отговор: 2/3
Медицентърът дели медианата в отношение 2 : 1 от върха, затова AG = 2/3 · AM.