Вектори

Вектор

1. Как се наричат два вектора с равни дължини и еднакви посоки?

   • противоположни вектори
   • нулеви вектори
   • равни вектори
   • перпендикулярни вектори

   Отговор: равни вектори

   Два вектора са равни, когато са еднопосочни и имат равни дължини.

2. Как се нарича вектор, чиито начало и край съвпадат?

   • единичен вектор
   • противоположен вектор
   • нулев вектор
   • равен вектор

   Отговор: нулев вектор

   Вектор с едно и също начало и край е нулевият вектор; дължината му е 0.

3. Как се наричат ненулеви вектори, които лежат на една права или на успоредни прави?

   • колинеарни
   • перпендикулярни
   • равни
   • противоположни

   Отговор: колинеарни

   Векторите върху една права или върху успоредни прави са колинеарни.

4. ABCD е успоредник. Кой вектор е равен на вектора AB?

   • CD
   • DC
   • BA
   • AD

   Отговор: DC

   AB и DC са успоредни, равни по дължина и еднопосочни.

5. Как се наричат два вектора с равни дължини и противоположни посоки?

   • противоположни
   • равни
   • еднопосочни
   • нулеви

   Отговор: противоположни

   Векторите с равни дължини и противоположни посоки са противоположни.

6. Какво определя един ненулев вектор?

   • само дължината
   • дължината и посоката
   • само началната точка
   • само посоката

   Отговор: дължината и посоката

   Векторът е насочена отсечка: има дължина и посока.

7. Дължината на вектора AB е 5. Каква е дължината на вектора BA?

   • 5
   • −5
   • 0
   • 10

   Отговор: 5

   BA е противоположен на AB: същата дължина, обратна посока. Дължината не може да е отрицателна.

8. ABCD е успоредник. Кой вектор е противоположен на AD?

   • BC
   • DC
   • AC
   • CB

   Отговор: CB

   В успоредника BC = AD, затова противоположният на AD е CB.

9. ABCD е правоъгълник, AB = 8 и BC = 6. Каква е дължината на вектора AC?

   • 10
   • 14
   • 7
   • 48

   Отговор: 10

   AC е диагонал: √(8² + 6²) = √100 = 10.

10. ABCDEF е правилен шестоъгълник с център O. Кой вектор е равен на AB?

    • OB
    • DE
    • CD
    • OC

    Отговор: OC

    Четириъгълникът ABCO е ромб, затова OC е успоредна на AB, равна ѝ и еднопосочна с нея.

11. ABCD е квадрат, а O е пресечната точка на диагоналите му. Кой вектор е равен на OA?

    • OC
    • CO
    • BO
    • AO

    Отговор: CO

    O е средата на AC, затова CO има същата дължина и посока като OA.

12. M и N са средите на страните AB и AC на триъгълника ABC. С кой вектор е еднопосочен MN?

    • CB
    • AB
    • BC
    • AC

    Отговор: BC

    MN е средна отсечка, успоредна на BC, и векторите MN и BC са еднопосочни.

13. В ромба ABCD ∠A = 60° и AB = 4. Намерете дължината на вектора AC.

    • 4
    • 8
    • 4√3
    • 2√3

    Отговор: 4√3

    Диагоналът BD = 4 (триъгълник ABD е равностранен), а половината на AC е височина в него: 2√3. Значи AC = 4√3.

14. ABCDEF е правилен шестоъгълник със страна 3. Колко е дължината на вектора AD?

    • 3√3
    • 6
    • 3
    • 9

    Отговор: 6

    AD е голям диагонал и минава през центъра; той е равен на две страни: 2·3 = 6.

15. ABCD е правоъгълен трапец (AB ∥ CD, ∠A = 90°), AB = 7, CD = 3 и AD = 3. Колко е дължината на вектора BC?

    • 4
    • √58
    • 6
    • 5

    Отговор: 5

    Височината от C е 3, а проекцията на BC върху AB е 7 − 3 = 4. Тогава |BC| = √(3² + 4²) = 5.

Събиране на вектори

1. На какво е равен сборът AB + BC + CD?

   • DA
   • AD
   • AC
   • нулевия вектор

   Отговор: AD

   Прилагаме правилото на триъгълника два пъти: AB + BC = AC, AC + CD = AD.

2. На какво е равен сборът AB + BA?

   • AB
   • 2AB
   • BA
   • нулевия вектор

   Отговор: нулевия вектор

   По правилото на триъгълника AB + BA = AA, т.е. нулевият вектор.

3. Кое правило за събиране се използва, когато краят на първия вектор е начало на втория?

   • правилото на успоредника
   • правилото на ромба
   • правилото на триъгълника
   • правилото на квадрата

   Отговор: правилото на триъгълника

   При вектори, нанесени „край към начало“, се използва правилото на триъгълника: AB + BC = AC.

4. ABCD е успоредник. На какво е равен сборът BA + BC?

   • BD
   • AC
   • CA
   • DB

   Отговор: BD

   По правилото на успоредника от връх B: сборът е диагоналът с начало B, т.е. BD.

5. По кое правило се събират два неколинеарни вектора, нанесени от обща начална точка?

   • правилото на успоредника
   • правилото на трапеца
   • правилото на ромба
   • правилото на медианата

   Отговор: правилото на успоредника

   Сборът е диагоналът на успоредника, построен върху двата вектора, излизащ от общото начало.

6. Кое свойство изразява равенството a + b = b + a?

   • съдружително
   • разместително
   • разпределително
   • съкратително

   Отговор: разместително

   Смяната на местата на събираемите е разместителното свойство.

7. ABCD е успоредник, O е пресечната точка на диагоналите. На какво е равен сборът OA + OC?

   • AC
   • CA
   • 2OA
   • нулевия вектор

   Отговор: нулевия вектор

   O е средата на AC, затова OA и OC са противоположни и сборът им е нулевият вектор.

8. Опростете MN + KM + NP.

   • PK
   • MP
   • KP
   • нулевия вектор

   Отговор: KP

   Пренареждаме: KM + MN + NP = KP.

9. Опростете AB + CD + BC + DA.

   • AC
   • BD
   • 2AD
   • нулевия вектор

   Отговор: нулевия вектор

   Подреждаме: AB + BC + CD + DA = AA, т.е. нулевият вектор.

10. Векторите a и b са перпендикулярни, |a| = 6 и |b| = 8. Намерете |a + b|.

    • 14
    • 2
    • 10
    • 48

    Отговор: 10

    Сборът е хипотенуза на правоъгълен триъгълник с катети 6 и 8: √(36 + 64) = 10.

11. Ромбът ABCD има страна 5 и диагонал BD = 6. Колко е дължината на вектора AB + AD?

    • 6
    • 10
    • 4
    • 8

    Отговор: 8

    AB + AD = AC. Диагоналите на ромба са перпендикулярни и се разполовяват: AC/2 = √(5² − 3²) = 4, затова AC = 8.

12. |a| = 3 и |b| = 5. Коя е най-голямата възможна стойност на |a + b|?

    • 8
    • 15
    • 5
    • √34

    Отговор: 8

    |a + b| ≤ |a| + |b| = 8, като равенство има при еднопосочни вектори.

13. Правилният шестоъгълник ABCDEF има страна 2. Намерете дължината на вектора AB + AF.

    • 4
    • 2
    • 2√3
    • 0

    Отговор: 2

    ABOF е ромб (O е центърът), затова AB + AF = AO, а AO = 2.

14. Квадратът ABCD има страна 2. Колко е дължината на вектора AB + AC + AD?

    • 6
    • 4√2
    • 2√2
    • 4 + 2√2

    Отговор: 4√2

    AB + AD = AC, затова сборът е 2AC, а дължината му е 2·2√2 = 4√2.

15. Равностранният триъгълник ABC има страна 2. Колко е |AB + AC|?

    • 4
    • 2√3
    • 2
    • √3

    Отговор: 2√3

    AB + AC = 2AM, където AM е медианата. AM = √3, затова дължината е 2√3.

Изваждане на вектори

1. На какво е равна разликата AB − AC?

   • CB
   • BC
   • CA
   • BA

   Отговор: CB

   Разликата на два вектора с общо начало сочи от края на изваждаемия към края на умаляемия: CB.

2. O е произволна точка. На какво е равна разликата OB − OA?

   • BA
   • OA + OB
   • AB
   • нулевия вектор

   Отговор: AB

   Разликата на два вектора с общо начало е векторът от края на умалителя към края на умаляемото, т.е. от A към B: AB.

3. На какво е равно a − a?

   • нулевия вектор
   • 2a
   • −a
   • a

   Отговор: нулевия вектор

   Сборът на вектор и противоположния му е нулевият вектор.

4. ABCD е успоредник. На какво е равна разликата AB − AD?

   • BD
   • AC
   • CA
   • DB

   Отговор: DB

   AB − AD = DB (от края на AD към края на AB).

5. ABCD е успоредник. На какво е равна разликата BC − BA?

   • AC
   • CA
   • BD
   • DB

   Отговор: AC

   BC − BA = AC (от края на BA към края на BC).

6. Кое равенство е вярно за всеки два вектора a и b?

   • a − b = b − a
   • a − b = a + (−b)
   • a − b = −a + b
   • a − b = a + b

   Отговор: a − b = a + (−b)

   Изваждането на вектор е събиране с противоположния му вектор.

7. На какво е равна разликата AB − CB?

   • CA
   • BC
   • AC
   • 2AB

   Отговор: AC

   Изваждането на CB е събиране с BC: AB + BC = AC.

8. Опростете (AB − CB) − AD.

   • CD
   • BD
   • AD
   • DC

   Отговор: DC

   AB − CB = AB + BC = AC, а AC − AD = DC.

9. Опростете AB − AD − DB.

   • AB
   • 2DB
   • нулевия вектор
   • BD

   Отговор: нулевия вектор

   AB − AD = DB, а DB − DB е нулевият вектор.

10. Квадратът ABCD има страна 3. Намерете |AB − AD|.

    • 0
    • 3√2
    • 6
    • 3

    Отговор: 3√2

    AB − AD = DB, а това е диагоналът на квадрата: 3√2.

11. Триъгълникът ABC е равностранен със страна 5. Намерете |AB − AC|.

    • 10
    • 5
    • 0
    • 5√3

    Отговор: 5

    AB − AC = CB, а дължината му е 5.

12. Векторите a и b са перпендикулярни, |a| = 5 и |b| = 12. Намерете |a − b|.

    • 7
    • 13
    • 17
    • √119

    Отговор: 13

    Векторът a − b е хипотенуза на правоъгълен триъгълник с катети 5 и 12: √(25 + 144) = 13.

13. Векторите a и b са противопосочни, |a| = 5 и |b| = 3. Намерете |a − b|.

    • 8
    • 2
    • √34
    • 15

    Отговор: 8

    −b е еднопосочен с a, затова |a − b| = |a| + |b| = 5 + 3 = 8.

14. Ромбът ABCD има страна 6 и ∠A = 60°. Намерете |AB − AD|.

    • 6√3
    • 6
    • 12
    • 3

    Отговор: 6

    AB − AD = DB. Триъгълникът ABD е равностранен (AB = AD, ∠A = 60°), затова BD = 6.

15. Правилният шестоъгълник ABCDEF има страна 4. Намерете |AC − AE|.

    • 4
    • 8
    • 2√3
    • 4√3

    Отговор: 4√3

    AC − AE = EC. EC е малък диагонал на шестоъгълника: 4√3.

Умножение с число

1. |a| = 4. Намерете дължината на вектора −3a.

   • −12
   • 7
   • 1
   • 12

   Отговор: 12

   |k·a| = |k|·|a| = 3·4 = 12. Знакът минус променя само посоката.

2. Векторите a и −2a (където a не е нулев) са:

   • еднопосочни
   • равни
   • перпендикулярни
   • противопосочни

   Отговор: противопосочни

   При умножение с отрицателно число посоката се сменя, затова −2a е противопосочен на a.

3. На какво е равно 0·a?

   • a
   • нулевия вектор
   • числото 0
   • −a

   Отговор: нулевия вектор

   Произведението на числото 0 с вектор е нулевият вектор.

4. Опростете 2(a + 3b) − 3(a − b).

   • −a + 3b
   • 5a + 9b
   • −a + 9b
   • −a + 6b

   Отговор: −a + 9b

   2a + 6b − 3a + 3b = −a + 9b.

5. Опростете 3a − 5a + a.

   • −a
   • a
   • −2a
   • 9a

   Отговор: −a

   (3 − 5 + 1)a = −a.

6. Кое свойство изразява равенството k(a + b) = ka + kb?

   • разместително
   • съдружително
   • разпределително
   • обратимо

   Отговор: разпределително

   Умножението с число е разпределително спрямо събирането на вектори.

7. M е средата на отсечката AB. Кое равенство е вярно?

   • AB = 2MA
   • AB = 2AM
   • AM = BM
   • MA = MB

   Отговор: AB = 2AM

   AM и AB са еднопосочни, а AB е два пъти по-дълъг.

8. За кое число k е вярно k·AB = BA?

   • 1
   • 0
   • −1
   • 2

   Отговор: −1

   BA = −AB, затова k = −1.

9. |a| = 5. Кой вектор е единичен (с дължина 1) и еднопосочен с a?

   • (1/5)a
   • 5a
   • −(1/5)a
   • −5a

   Отговор: (1/5)a

   (1/5)a има дължина 5/5 = 1 и при положителен множител запазва посоката.

10. Точка M лежи на отсечката AB и AM : MB = 1 : 3. Кое равенство е вярно?

    • 4AM = AB
    • 3AM = AB
    • 3MB = AM
    • 4MB = 3BA

    Отговор: 4AM = AB

    AM е 1/4 от AB и е еднопосочен с него.

11. Намерете вектора x от равенството 2x + a = 3(x − a).

    • −4a
    • 2a
    • a
    • 4a

    Отговор: 4a

    2x + a = 3x − 3a, откъдето x = 4a.

12. Точките A, B и C лежат на една права и AC = −2AB. Коя от трите точки лежи между другите две?

    • A
    • B
    • C
    • никоя

    Отговор: A

    AC и AB са противопосочни, значи B и C са от двете страни на A.

13. Векторите a и b не са колинеарни. За кое k векторите 2a + kb и a − 3b са колинеарни?

    • 6
    • −3/2
    • 3
    • −6

    Отговор: −6

    Трябва 2a + kb = λ(a − 3b). Тогава λ = 2 и k = −3λ = −6.

14. Векторите a и b не са колинеарни и (x − 1)a + (y + 2)b е нулевият вектор. Намерете x и y.

    • x = −1, y = 2
    • x = 1, y = −2
    • x = 1, y = 2
    • x = 0, y = 0

    Отговор: x = 1, y = −2

    За неколинеарни вектори ma + nb е нулевият вектор само при m = n = 0: x − 1 = 0 и y + 2 = 0.

15. |a| = 2, |b| = 3 и векторите a и b са еднопосочни. Намерете |3a − 2b|.

    • 12
    • 6
    • √72
    • 0

    Отговор: 0

    3a и 2b са еднопосочни и с дължина 6, значи са равни и разликата им е нулевият вектор.

Приложения

1. M е средата на отсечката AB, а O е произволна точка. На какво е равен векторът OM?

   • OA + OB
   • (OA − OB)/2
   • (OA + OB)/2
   • (OB − OA)/2

   Отговор: (OA + OB)/2

   OM = OA + AM = OA + AB/2 = OA + (OB − OA)/2 = (OA + OB)/2.

2. ABCD е успоредник, а O е пресечната точка на диагоналите. За кое k е вярно AO = k·AC?

   • 2
   • 1/3
   • 1/2
   • 1/4

   Отговор: 1/2

   Диагоналите на успоредника се разполовяват, затова AO = 1/2·AC.

3. M е средата на отсечката AB. На какво е равен сборът MA + MB?

   • нулевия вектор
   • AB
   • 2MA
   • BA

   Отговор: нулевия вектор

   MA и MB са противоположни вектори.

4. G е медицентърът на триъгълника ABC. На какво е равен сборът GA + GB + GC?

   • 3GA
   • нулевия вектор
   • AG
   • AB

   Отговор: нулевия вектор

   Това е основно свойство на медицентъра: сборът на векторите от него към върховете е нулевият вектор.

5. В триъгълника ABC точките M и N са средите на AC и BC. Кое равенство е вярно?

   • MN = 1/2·AB
   • MN = AB
   • MN = 2AB
   • MN = 1/2·BA

   Отговор: MN = 1/2·AB

   Средната отсечка MN е успоредна на AB, еднопосочна с AB и е половината от нея.

6. ABCD е успоредник, a = AB и b = AD. Изразете BD чрез a и b.

   • a + b
   • a − b
   • b − a
   • 2b

   Отговор: b − a

   BD = AD − AB = b − a.

7. В трапеца ABCD (AB ∥ CD) M и N са средите на бедрата AD и BC. Кое равенство е вярно?

   • MN = (AB + DC)/2
   • MN = (AB − DC)/2
   • MN = AB + DC
   • MN = (AB + CD)/2

   Отговор: MN = (AB + DC)/2

   MN = MA + AB + BN и MN = MD + DC + CN. Събираме: 2MN = AB + DC.

8. G е медицентърът на триъгълника ABC, а O е произволна точка. На какво е равен OG?

   • (OA + OB + OC)/2
   • OA + OB + OC
   • (OA + OB)/2
   • (OA + OB + OC)/3

   Отговор: (OA + OB + OC)/3

   Понеже GA + GB + GC е нулевият вектор, следва OA + OB + OC = 3OG.

9. ABCD е трапец (AB ∥ CD), AB = 3·CD, a = AB и b = AD. Изразете AC.

   • a + b/3
   • b + a/3
   • b + 3a
   • (a + b)/3

   Отговор: b + a/3

   DC е еднопосочен с AB и три пъти по-къс: DC = a/3. Тогава AC = AD + DC = b + a/3.

10. В триъгълника ABC ∠A = 90°, AB = 6 и AC = 8. Намерете дължината на вектора AB + AC.

    • 14
    • 5
    • 2√7
    • 10

    Отговор: 10

    AB + AC = 2AM (M е средата на BC), а AM = BC/2. Значи дължината е BC = 10.

11. ABCD е успоредник, O е пресечната точка на диагоналите, a = AB и b = AD. Изразете BO чрез a и b.

    • (a − b)/2
    • (b − a)/2
    • (a + b)/2
    • b − a

    Отговор: (b − a)/2

    BD = AD − AB = b − a, а BO е половината от BD.

12. G е медицентърът на триъгълника ABC, а AM е медиана. За кое k е вярно AG = k·AM?

    • 1/2
    • 1/3
    • 3/2
    • 2/3

    Отговор: 2/3

    Медицентърът дели медианата в отношение 2 : 1 от върха, значи AG = (2/3)AM.

13. ABCD е успоредник, M е средата на CD, a = AB и b = AD. Изразете AM чрез a и b.

    • a + b/2
    • (a + b)/2
    • b + a/2
    • b − a/2

    Отговор: b + a/2

    AM = AD + DM = b + DC/2 = b + a/2.

14. В триъгълника ABC точката M лежи на BC и BM : MC = 1 : 2. Изразете AM чрез AB и AC.

    • 1/3·AB + 2/3·AC
    • 2/3·AB + 1/3·AC
    • 1/2·AB + 1/2·AC
    • AB + 1/3·AC

    Отговор: 2/3·AB + 1/3·AC

    AM = AB + 1/3·BC = AB + 1/3(AC − AB) = 2/3·AB + 1/3·AC.

15. ABCD е успоредник, M е средата на BC, a = AB и b = AD. Изразете DM.

    • a − b/2
    • a + b/2
    • b − a/2
    • a/2 − b

    Отговор: a − b/2

    DM = DC + CM = a − b/2.

Финален въпрос