Дробни неравенства
Дробно неравенство съдържа неизвестното в знаменател, например (x + 3)/(x − 1) ≥ 0. Дробта има същия знак като произведението на числителя и знаменателя, затова пак използваме метода на интервалите. Нулите на знаменателя никога не са решения, защото там дробта не е дефинирана. Не умножаваме двете страни по знаменателя, защото не знаем знака му; вместо това прехвърляме всичко от едната страна.
Какво да запомним
- Знакът на A/B е като знака на A · B.
- Нулите на знаменателя се изключват (кръгла скоба).
- Нулите на числителя се включват само при ≥ или ≤.
- Неравенство x/(x − 2) < 1 привеждаме до 2/(x − 2) < 0.
Пример
(x + 3)/(x − 1) ≥ 0: нулите са −3 и 1. Решението е x ∈ (−∞; −3] ∪ (1; +∞), като 1 е изключено.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Решете неравенството 1/(x − 2) > 0.
- x ∈ [2; +∞)
- x ∈ (−∞; 2)
- x ∈ (2; +∞)
- x ≠ 2
Отговор: x ∈ (2; +∞)
Дробта с числител 1 е положителна, когато знаменателят е положителен: x > 2.
Решете неравенството (x + 3)/(x − 1) ≥ 0.
- x ∈ (−∞; −3] ∪ [1; +∞)
- x ∈ [−3; 1)
- x ∈ (−∞; −1) ∪ (3; +∞)
- x ∈ (−∞; −3] ∪ (1; +∞)
Отговор: x ∈ (−∞; −3] ∪ (1; +∞)
Нулите са −3 (на числителя) и 1 (на знаменателя, изключва се).
Решете неравенството (2x − 6)/(x + 4) < 0.
- x ∈ (−4; 3)
- x ∈ (−∞; −4) ∪ (3; +∞)
- x ∈ (−3; 4)
- x ∈ [−4; 3]
Отговор: x ∈ (−4; 3)
Нулите са 3 и −4; дробта е отрицателна между тях.
Решете неравенството x/(x − 2) < 1.
- x ∈ (2; +∞)
- x ∈ (−∞; 2)
- x ∈ (0; 2)
- x ∈ (−∞; 0)
Отговор: x ∈ (−∞; 2)
x/(x − 2) − 1 = 2/(x − 2) < 0, откъдето x < 2.
Решете неравенството (x2 − 4)/(x + 1) ≤ 0.
- x ∈ [−2; −1) ∪ [2; +∞)
- x ∈ [−2; 2]
- x ∈ (−∞; −2] ∪ (−1; 2]
- x ∈ (−∞; −2] ∪ [−1; 2]
Отговор: x ∈ (−∞; −2] ∪ (−1; 2]
Нулите са −2, 2 и −1 (на знаменателя). Знаците отдясно наляво: +, −, +, −.
Решете неравенството 3/x < 0.
- x ∈ (0; +∞)
- x ∈ (−∞; 3)
- x ∈ (−∞; 0)
- x ∈ (−3; 0)
Отговор: x ∈ (−∞; 0)
Числителят е положителен, затова дробта е отрицателна при x < 0.
Решете неравенството (x − 4)/(x + 2) > 0.
- x ∈ (−∞; −2) ∪ (4; +∞)
- x ∈ (−2; 4)
- x ∈ (−∞; −2] ∪ [4; +∞)
- x ∈ (4; +∞)
Отговор: x ∈ (−∞; −2) ∪ (4; +∞)
Дробта е положителна, когато числителят и знаменателят са с еднакъв знак: x 4.
Решете неравенството (x + 5)/(3 − x) ≥ 0.
- x ∈ [−5; 3]
- x ∈ (−∞; −5] ∪ (3; +∞)
- x ∈ (−5; 3)
- x ∈ [−5; 3)
Отговор: x ∈ [−5; 3)
Нулата на числителя −5 се включва, а x = 3 се изключва; между тях дробта е положителна.
Решете неравенството (x2 + 1)/(x − 3) < 0.
- x ∈ (3; +∞)
- x ∈ (−∞; 3)
- x ∈ (−1; 3)
- няма решение
Отговор: x ∈ (−∞; 3)
Числителят x2 + 1 е винаги положителен, затова е нужно x − 3 < 0.
Колко цели числа са решения на неравенството (x2 − 1)/(x2 − 9) < 0?
- 4
- 0
- 6
- 2
Отговор: 2
Нулите са ±1 и ±3; дробта е отрицателна за x ∈ (−3; −1) ∪ (1; 3). Целите решения са −2 и 2.
При коя стойност на x дробта (x + 1)/(x − 7) не е дефинирана?
- −1
- 0
- 1
- 7
Отговор: 7
Знаменателят x − 7 е 0 при x = 7.
Решете неравенството (x − 1)/(x + 5) ≤ 0.
- x ∈ [−5; 1]
- x ∈ (−5; 1]
- x ∈ (−∞; −5) ∪ [1; +∞)
- x ∈ (−5; 1)
Отговор: x ∈ (−5; 1]
Нули −5 и 1. Дробта е ≤ 0 между тях; −5 се изключва, 1 се включва.
Решете неравенството (x + 2)/x < 0.
- x ∈ (−∞; −2) ∪ (0; +∞)
- x ∈ (−2; 0)
- x ∈ (−2; 0]
- x ∈ (0; 2)
Отговор: x ∈ (−2; 0)
Знакът е като на x(x + 2). Той е отрицателен между −2 и 0.
Решете неравенството (x + 1)/(x − 3) > 2.
- x ∈ (−∞; 3) ∪ (7; +∞)
- x ∈ (3; 7]
- x ∈ [3; 7)
- x ∈ (3; 7)
Отговор: x ∈ (3; 7)
(x + 1 − 2x + 6)/(x − 3) > 0, т.е. (7 − x)/(x − 3) > 0, откъдето 3 < x < 7.
Решете неравенството (x − 2)2/(x + 1) ≤ 0.
- x ∈ (−∞; −1) ∪ {2}
- x ∈ (−∞; −1]
- x ∈ (−1; 2]
- x ∈ (−∞; −1) ∪ (−1; 2]
Отговор: x ∈ (−∞; −1) ∪ {2}
Числителят е ≥ 0 и е 0 само при x = 2. Иначе трябва x + 1 < 0.