Неравенства от вида (ax + b)(cx + d) > 0
Неравенство от вида (ax + b)(cx + d) > 0 решаваме, като използваме, че произведение на два множителя е положително, когато множителите са с еднакви знаци, и отрицателно, когато са с различни знаци. Намираме нулите на двата множителя и ги нанасяме върху числовата ос. В трите получени интервала определяме знака на произведението. Така стигаме до метода на интервалите.
Какво да запомним
- ab > 0, когато a и b са с еднакъв знак.
- ab < 0, когато a и b са с различен знак.
- Нулите са x = −b/a и x = −d/c.
- Знакът в интервал проверяваме с едно пробно число.
Пример
(x + 2)(x − 5) < 0: нулите са −2 и 5, а между тях множителите са с различни знаци. Решението е x ∈ (−2; 5).
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Решете неравенството (x + 2)(x − 5) < 0.
- x ∈ (−2; 5)
- x ∈ (−∞; −2) ∪ (5; +∞)
- x ∈ (−5; 2)
- x ∈ [−2; 5]
Отговор: x ∈ (−2; 5)
Корените са −2 и 5, а между тях произведението е отрицателно.
Кои са нулите на израза (x − 2)(x + 5)?
- −2 и 5
- 2 и 5
- −2 и −5
- 2 и −5
Отговор: 2 и −5
Произведението е 0, когато x − 2 = 0 или x + 5 = 0.
Решете неравенството (2 − x)(x + 4) ≥ 0.
- x ∈ (−∞; −4] ∪ [2; +∞)
- x ∈ (−4; 2)
- x ∈ [−2; 4]
- x ∈ [−4; 2]
Отговор: x ∈ [−4; 2]
(2 − x)(x + 4) ≥ 0 е равносилно на (x − 2)(x + 4) ≤ 0, т.е. x е между −4 и 2 включително.
Решете неравенството (x − 1)(x + 3) > 0.
- x ∈ (−3; 1)
- x ∈ (−∞; −3) ∪ (1; +∞)
- x ∈ (−∞; −1) ∪ (3; +∞)
- x ∈ (1; +∞)
Отговор: x ∈ (−∞; −3) ∪ (1; +∞)
Нулите са −3 и 1. Произведението е положително вън от интервала между тях.
Решете неравенството (2x − 4)(3 − x) ≤ 0.
- x ∈ [2; 3]
- x ∈ (−∞; 2) ∪ (3; +∞)
- x ∈ (−∞; 2] ∪ [3; +∞)
- x ∈ [−3; 2]
Отговор: x ∈ (−∞; 2] ∪ [3; +∞)
Нулите са 2 и 3. При x = 0 произведението е (−4) · 3 < 0, значи изразът е отрицателен вън от [2; 3]; включваме и нулите.
Кога произведението ab на две ненулеви числа е отрицателно?
- при еднакви знаци
- когато a = b
- при различни знаци
- само когато a > 0
Отговор: при различни знаци
Произведението е отрицателно точно когато множителите са с различни знаци.
Кое число е решение на неравенството (x − 3)(x + 1) < 0?
- 0
- 4
- −2
- 3
Отговор: 0
За x = 0: (−3) · 1 = −3 < 0. Решенията са x ∈ (−1; 3).
Решете неравенството (x − 4)(x − 7) ≤ 0.
- x ∈ (4; 7)
- x ∈ (−∞; 4] ∪ [7; +∞)
- x ∈ [−7; −4]
- x ∈ [4; 7]
Отговор: x ∈ [4; 7]
Нулите са 4 и 7. Между тях множителите са с различни знаци, а краищата са включени.
Решете неравенството x(x + 6) > 0.
- x ∈ (−6; 0)
- x ∈ (−∞; −6) ∪ (0; +∞)
- x ∈ (0; 6)
- x ∈ (−∞; 0) ∪ (6; +∞)
Отговор: x ∈ (−∞; −6) ∪ (0; +∞)
Нулите са −6 и 0. Произведението е положително вън от интервала между тях.
Решете неравенството (3x − 6)(x + 1) ≥ 0.
- x ∈ [−1; 2]
- x ∈ (−∞; −1] ∪ [2; +∞)
- x ∈ (−∞; −2] ∪ [1; +∞)
- x ∈ (−1; 2)
Отговор: x ∈ (−∞; −1] ∪ [2; +∞)
Нулите са 2 и −1. Двата множителя са с еднакъв знак вън от [−1; 2].
Решете неравенството (5 − x)(x − 2) > 0.
- x ∈ (−∞; 2) ∪ (5; +∞)
- x ∈ (−5; −2)
- x ∈ [2; 5]
- x ∈ (2; 5)
Отговор: x ∈ (2; 5)
Умножаваме по −1: (x − 5)(x − 2) < 0. Решението е между нулите 2 и 5.
Колко цели числа са решения на неравенството (x + 3)(x − 2) < 0?
- 4
- 5
- 6
- 3
Отговор: 4
Решенията са x ∈ (−3; 2). Целите числа са −2, −1, 0 и 1.
Решете неравенството (2x + 1)(4 − 3x) ≥ 0.
- x ∈ (−∞; −1/2] ∪ [4/3; +∞)
- x ∈ [−4/3; 1/2]
- x ∈ [−1/2; 4/3]
- x ∈ (−1/2; 4/3)
Отговор: x ∈ [−1/2; 4/3]
Равносилно е на (2x + 1)(3x − 4) ≤ 0. Нулите са −1/2 и 4/3, решението е между тях.
Кое е най-малкото цяло решение на неравенството (x + 4)(2x − 9) ≤ 0?
- −3
- 4
- −4
- −5
Отговор: −4
Нулите са −4 и 4,5. Решенията са [−4; 4,5], най-малкото цяло е −4.
Колко цели числа НЕ са решения на неравенството (x + 2)(x − 3) > 0?
- 6
- 4
- 5
- 7
Отговор: 6
Решенията са x 3. Не са решения числата от [−2; 3]: −2, −1, 0, 1, 2, 3.