Рационални неравенства

Числови интервали

1. Намерете сечението на интервалите [−2; 5) и (1; 8].

   • [−2; 8]
   • (1; 5]
   • (1; 5)
   • [−2; 1)

   Отговор: (1; 5)

   Общи са числата, по-големи от 1 и по-малки от 5.

2. Кой интервал се състои от числата x, за които x ≥ −1?

   • (−1; +∞)
   • [−1; +∞)
   • (−∞; −1]
   • (−∞; −1)

   Отговор: [−1; +∞)

   Неравенството е нестрого, затова −1 се включва: [−1; +∞).

3. Кой интервал се състои от числата x, за които 2 < x < 7?

   • [2; 7]
   • [2; 7)
   • (2; 7]
   • (2; 7)

   Отговор: (2; 7)

   Строгите неравенства от двете страни означават отворен интервал.

4. Намерете обединението на интервалите (−∞; 3] и (0; 7).

   • (0; 3]
   • (−∞; 3]
   • (−∞; 7]
   • (−∞; 7)

   Отговор: (−∞; 7)

   Всяко число, по-малко от 7, е поне в един от интервалите.

5. Кое от числата принадлежи на интервала (2; 5]?

   • 2
   • 1,9
   • 5,1
   • 5

   Отговор: 5

   Интервалът съдържа числата, по-големи от 2 и не по-големи от 5; краят 5 е включен.

6. Колко е дължината на интервала [−3; 5]?

   • 8
   • 2
   • 5
   • 7

   Отговор: 8

   Дължината е 5 − (−3) = 8.

7. Колко цели числа има в интервала (−3; 4]?

   • 7
   • 8
   • 6
   • 5

   Отговор: 7

   Това са −2, −1, 0, 1, 2, 3 и 4.

8. Кое е най-малкото цяло число в интервала (−2,5; 4)?

   • −2
   • −3
   • −2,5
   • −1

   Отговор: −2

   Числата в интервала са по-големи от −2,5, а най-малкото цяло такова число е −2.

9. Кой интервал е решение на двойното неравенство −1 ≤ 2x + 1 < 7?

   • [−1; 3]
   • [−1; 3)
   • (−1; 3)
   • [0; 3)

   Отговор: [−1; 3)

   Изваждаме 1: −2 ≤ 2x < 6, делим на 2: −1 ≤ x < 3.

10. Намерете сечението на интервалите (−∞; 2) и [2; +∞).

    • {2}
    • ∅
    • (−∞; +∞)
    • (2; +∞)

    Отговор: ∅

    Няма число, което едновременно е по-малко от 2 и не е по-малко от 2.

11. Намерете разликата (−∞; 4] \ (1; 6).

    • (−∞; 1)
    • [4; 6)
    • (−∞; 1]
    • (−∞; 6)

    Отговор: (−∞; 1]

    От (−∞; 4] премахваме числата от (1; 6); остават x ≤ 1.

12. Намерете сечението на интервалите [−5; 2], (−1; 6) и (0; +∞).

    • (−1; 2]
    • [0; 2]
    • (0; 2]
    • (0; 6)

    Отговор: (0; 2]

    Общата част започва след 0 (отворено) и свършва в 2 (включено).

13. Намерете (−4; 6] ∩ ([0; 9) ∪ (−∞; −3)).

    • [0; 6]
    • (−4; 6]
    • (−4; −3) ∪ [0; 6]
    • (−4; −3] ∪ [0; 6)

    Отговор: (−4; −3) ∪ [0; 6]

    Сечението с (−∞; −3) е (−4; −3), а с [0; 9) е [0; 6].

14. При кои стойности на a сечението (−∞; a) ∩ (3; +∞) е празното множество?

    • a < 3
    • a ≥ 3
    • a ≤ 3
    • a > 3

    Отговор: a ≤ 3

    Сечението е (3; a) и е празно, когато a ≤ 3.

15. При кои стойности на a интервалът (a; a + 3) съдържа числото 5?

    • a ∈ [2; 5]
    • a ∈ (5; 8)
    • a ∈ (2; 8)
    • a ∈ (2; 5)

    Отговор: a ∈ (2; 5)

    Трябва a < 5 < a + 3, т.е. 2 < a < 5.

Системи неравенства

1. Решете системата x > 2, x ≤ 6.

   • x ∈ [2; 6)
   • x ∈ (2; +∞)
   • x ∈ (−∞; 6]
   • x ∈ (2; 6]

   Отговор: x ∈ (2; 6]

   Общата част на x > 2 и x ≤ 6.

2. Кое от числата е решение на системата x > 1, x < 4?

   • 3
   • 4
   • 1
   • 5

   Отговор: 3

   Решенията са x ∈ (1; 4), а 3 е в този интервал.

3. Решете системата x < 5, x < 2.

   • x ∈ (−∞; 2)
   • x ∈ (2; 5)
   • x ∈ (−∞; 5)
   • няма решение

   Отговор: x ∈ (−∞; 2)

   Числата, по-малки от 2, са по-малки и от 5.

4. Решете системата 2x − 1 > 5, x + 4 < 10.

   • x ∈ (3; 6)
   • x ∈ (2; 6)
   • x ∈ (3; 14)
   • x ∈ (−∞; 6)

   Отговор: x ∈ (3; 6)

   x > 3 и x < 6.

5. Решете системата x ≥ −2, x ≥ 3.

   • x ∈ [−2; 3]
   • x ∈ [−2; +∞)
   • няма решение
   • x ∈ [3; +∞)

   Отговор: x ∈ [3; +∞)

   Сечението на [−2; +∞) и [3; +∞) е [3; +∞).

6. Колко цели решения има системата x ≥ −1, x < 4?

   • 4
   • 5
   • 6
   • 3

   Отговор: 5

   Целите числа са −1, 0, 1, 2 и 3.

7. Решете системата 3 − x ≥ 1, 2x + 7 > 1.

   • x ∈ [−3; 2)
   • x ∈ (−3; 2]
   • x ∈ (−∞; −3)
   • x ∈ [2; +∞)

   Отговор: x ∈ (−3; 2]

   x ≤ 2 и x > −3.

8. Решете системата x 5.

   • x ∈ (1; 5)
   • няма решение
   • x ∈ (−∞; 1) ∪ (5; +∞)
   • x = 3

   Отговор: няма решение

   Няма число, което едновременно е по-малко от 1 и по-голямо от 5.

9. Решете двойното неравенство −3 < 1 − 2x ≤ 5.

   • x ∈ (−2; 2]
   • x ∈ (−∞; 2)
   • x ∈ [−2; 2)
   • x ∈ [−2; 2]

   Отговор: x ∈ [−2; 2)

   −4 < −2x ≤ 4, делим на −2 и обръщаме знаците: −2 ≤ x < 2.

10. Решете системата x/2 − 1 11.

    • x ∈ (−3; 2)
    • x ∈ (−∞; 2)
    • x ∈ (−∞; −3)
    • няма решение

    Отговор: x ∈ (−∞; −3)

    x < 2 и x < −3, общата част е x < −3.

11. Решете системата x² − 4 < 0, x − 1 ≥ 0.

    • x ∈ (−2; 1]
    • x ∈ [1; 2]
    • x ∈ (1; 2)
    • x ∈ [1; 2)

    Отговор: x ∈ [1; 2)

    Първото дава (−2; 2), второто [1; +∞); сечението е [1; 2).

12. Решете системата x² − 9 ≤ 0, x² − 4x > 0.

    • x ∈ (0; 3]
    • x ∈ (−∞; 0)
    • x ∈ [−3; 3]
    • x ∈ [−3; 0)

    Отговор: x ∈ [−3; 0)

    Първото дава x ∈ [−3; 3], второто x ∈ (−∞; 0) ∪ (4; +∞). Сечението е [−3; 0).

13. Колко цели решения има системата 2(x − 1) ≥ x − 5, (x + 3)/2 < 4?

    • 7
    • 9
    • 6
    • 8

    Отговор: 8

    x ≥ −3 и x < 5: целите решения са −3, −2, ..., 4.

14. Колко цели решения има системата x² − 3x − 10 ≤ 0, 2x − 1 > 0?

    • 6
    • 5
    • 8
    • 4

    Отговор: 5

    Първото неравенство дава [−2; 5], второто x > 0,5; сечението е (0,5; 5] с цели числа 1, 2, 3, 4, 5.

15. При кои стойности на a системата x > a, x < 3 няма решение?

    • a ≥ 3
    • a ≤ 3
    • a > 3
    • a < 3

    Отговор: a ≥ 3

    Решения има само ако a < 3, затова няма решение при a ≥ 3.

Квадратни неравенства

1. Решете неравенството (x + 2)(x − 5) < 0.

   • x ∈ (−2; 5)
   • x ∈ (−∞; −2) ∪ (5; +∞)
   • x ∈ (−5; 2)
   • x ∈ [−2; 5]

   Отговор: x ∈ (−2; 5)

   Корените са −2 и 5, а между тях произведението е отрицателно.

2. Кое от числата е решение на неравенството x² < 9?

   • 3
   • −4
   • 2
   • 5

   Отговор: 2

   Решенията са x ∈ (−3; 3), а 2 е в този интервал.

3. Кое от числата е решение на неравенството x² − 1 > 0?

   • 0
   • 2
   • 1
   • −1

   Отговор: 2

   2² − 1 = 3 > 0, а при 0, 1 и −1 изразът не е положителен.

4. Решете неравенството x² − 4x ≥ 0.

   • x ∈ [0; 4]
   • x ∈ (−∞; 0] ∪ [4; +∞)
   • x ∈ [4; +∞)
   • x ∈ (−∞; 0) ∪ (4; +∞)

   Отговор: x ∈ (−∞; 0] ∪ [4; +∞)

   x(x − 4) ≥ 0: извън корените 0 и 4, заедно с тях.

5. Решете неравенството x² − 2x < 0.

   • x ∈ (0; 2)
   • x ∈ (−∞; 0) ∪ (2; +∞)
   • x ∈ [0; 2]
   • x ∈ (−2; 0)

   Отговор: x ∈ (0; 2)

   x(x − 2) < 0, а изразът е отрицателен между корените 0 и 2.

6. Решете неравенството x² ≤ 25.

   • x ≤ 5
   • x ∈ (−∞; −5] ∪ [5; +∞)
   • x ∈ [−5; 5]
   • x ∈ (−5; 5)

   Отговор: x ∈ [−5; 5]

   (x − 5)(x + 5) ≤ 0 между корените, включително тях.

7. Решете неравенството x² + x − 12 > 0.

   • x ∈ (−4; 3)
   • x ∈ (−∞; −3) ∪ (4; +∞)
   • x ∈ (−∞; −4) ∪ (3; +∞)
   • x ∈ (3; +∞)

   Отговор: x ∈ (−∞; −4) ∪ (3; +∞)

   Корените са −4 и 3, a = 1 > 0: решенията са извън корените.

8. Решете неравенството x² + 4 > 0.

   • всяко реално x
   • x > −2
   • няма решение
   • x > 2

   Отговор: всяко реално x

   x² ≥ 0, затова x² + 4 ≥ 4 > 0 за всяко x.

9. Решете неравенството x² + 2x + 3 < 0.

   • всяко реално x
   • x ∈ (−1; 3)
   • x ∈ (−3; 1)
   • няма решение

   Отговор: няма решение

   D = 4 − 12 2 е положителен, затова изразът винаги е положителен.

10. Решете неравенството x² − 6x + 9 > 0.

    • x ∈ (−∞; +∞)
    • няма решение
    • x = 3
    • x ∈ (−∞; 3) ∪ (3; +∞)

    Отговор: x ∈ (−∞; 3) ∪ (3; +∞)

    (x − 3)² > 0 за всяко x ≠ 3.

11. Решете неравенството x² − 4x + 4 ≤ 0.

    • x ∈ (−∞; 2]
    • няма решение
    • x = 2
    • всяко реално x

    Отговор: x = 2

    x² − 4x + 4 = (x − 2)² ≥ 0, затова неравенството е изпълнено само при x = 2.

12. Кое е дефиниционното множество на функцията f(x) = √(x² − 5x + 4)?

    • x ∈ (−∞; 1] ∪ [4; +∞)
    • x ∈ [1; 4]
    • x ∈ (1; 4)
    • x ∈ (−∞; 1) ∪ (4; +∞)

    Отговор: x ∈ (−∞; 1] ∪ [4; +∞)

    x² − 5x + 4 = (x − 1)(x − 4) ≥ 0 вън от интервала (1; 4).

13. Решете неравенството −2x² + 3x + 2 ≥ 0.

    • x ∈ [−1/2; 2]
    • x ∈ (−∞; −1/2] ∪ [2; +∞)
    • x ∈ [−2; 1/2]
    • x ∈ (−1/2; 2)

    Отговор: x ∈ [−1/2; 2]

    Умножаваме по −1: 2x² − 3x − 2 ≤ 0, корените са −1/2 и 2.

14. Колко цели решения има неравенството 2x² − 7x − 4 < 0?

    • 5
    • 4
    • 3
    • 6

    Отговор: 4

    Корените са −1/2 и 4, решенията са x ∈ (−1/2; 4) и цели са 0, 1, 2, 3.

15. При кои стойности на m неравенството x² − mx + 4 ≤ 0 има точно едно решение?

    • m = 4
    • m = ±4
    • m = 16
    • m ∈ (−4; 4)

    Отговор: m = ±4

    Точно едно решение има, когато параболата се допира до Ox: D = m² − 16 = 0, m = ±4.

Метод на интервалите

1. Решете неравенството x(x − 3)(x + 2) > 0.

   • x ∈ (−∞; −2) ∪ (0; 3)
   • x ∈ (−2; 0) ∪ (3; +∞)
   • x ∈ (3; +∞)
   • x ∈ (−2; 3)

   Отговор: x ∈ (−2; 0) ∪ (3; +∞)

   Нулите са −2, 0 и 3; знаците отдясно наляво са +, −, +, −.

2. Кои са нулите на израза (x − 2)(x + 5)?

   • −2 и 5
   • 2 и 5
   • −2 и −5
   • 2 и −5

   Отговор: 2 и −5

   Произведението е 0, когато x − 2 = 0 или x + 5 = 0.

3. Какъв е знакът на израза (x − 1)(x + 2) при x = 5?

   • нула
   • отрицателен
   • положителен
   • не е определен

   Отговор: положителен

   (5 − 1)(5 + 2) = 28 > 0.

4. Решете неравенството (x − 1)(x − 4)(x − 6) ≤ 0.

   • x ∈ [1; 4] ∪ [6; +∞)
   • x ∈ [4; 6]
   • x ∈ (−∞; 1] ∪ [4; 6]
   • x ∈ (−∞; 1) ∪ (4; 6)

   Отговор: x ∈ (−∞; 1] ∪ [4; 6]

   Нулите са 1, 4 и 6; знаците отдясно наляво са +, −, +, −, а нулите са решения.

5. Решете неравенството (x + 1)(x − 3)(x − 5) > 0.

   • x ∈ (−∞; −1) ∪ (3; 5)
   • x ∈ (−1; 3) ∪ (5; +∞)
   • x ∈ (−1; 5)
   • x ∈ (3; 5)

   Отговор: x ∈ (−1; 3) ∪ (5; +∞)

   Нулите са −1, 3 и 5. Вдясно от 5 изразът е положителен, после знаците се редуват.

6. Колко нули има изразът x(x − 1)(x + 1)(x − 4)?

   • 3
   • 5
   • 2
   • 4

   Отговор: 4

   Нулите са 0, 1, −1 и 4.

7. Решете неравенството x³ − 9x < 0.

   • x ∈ (−3; 0) ∪ (3; +∞)
   • x ∈ (−3; 3)
   • x ∈ (0; 3)
   • x ∈ (−∞; −3) ∪ (0; 3)

   Отговор: x ∈ (−∞; −3) ∪ (0; 3)

   x(x − 3)(x + 3) < 0, нулите са −3, 0 и 3.

8. Решете неравенството (2 − x)(x + 4) ≥ 0.

   • x ∈ (−∞; −4] ∪ [2; +∞)
   • x ∈ (−4; 2)
   • x ∈ [−2; 4]
   • x ∈ [−4; 2]

   Отговор: x ∈ [−4; 2]

   (2 − x)(x + 4) ≥ 0 е равносилно на (x − 2)(x + 4) ≤ 0, т.е. x е между −4 и 2 включително.

9. Решете неравенството (x − 2)²(x + 3) ≤ 0.

   • x ∈ (−∞; −3] ∪ {2}
   • x ∈ (−∞; −3]
   • x ∈ [−3; 2]
   • x ∈ [−3; +∞)

   Отговор: x ∈ (−∞; −3] ∪ {2}

   (x − 2)² ≥ 0, затова е нужно x + 3 ≤ 0 или x = 2.

10. Решете неравенството (x + 1)²(x − 2) < 0.

    • x ∈ (−∞; −1) ∪ (−1; 2)
    • x ∈ (−∞; 2)
    • x ∈ (−1; 2)
    • x ∈ (2; +∞)

    Отговор: x ∈ (−∞; −1) ∪ (−1; 2)

    (x + 1)² ≥ 0 и е 0 при x = −1, затова x − 2 < 0 и x ≠ −1.

11. Решете неравенството x(x − 3)² ≥ 0.

    • x ∈ [0; +∞)
    • x ∈ [0; 3) ∪ (3; +∞)
    • x ∈ (−∞; 0]
    • x ∈ [0; 3]

    Отговор: x ∈ [0; +∞)

    (x − 3)² ≥ 0 винаги, затова е нужно x ≥ 0; при x = 3 изразът е 0 и също е решение.

12. Решете неравенството (x − 1)(3 − x)(x + 2) ≥ 0.

    • x ∈ [−2; 1] ∪ [3; +∞)
    • x ∈ (−∞; −2] ∪ [1; 3]
    • x ∈ [1; 3]
    • x ∈ [−2; 3]

    Отговор: x ∈ (−∞; −2] ∪ [1; 3]

    Неравенството е еквивалентно на (x − 1)(x − 3)(x + 2) ≤ 0, а нулите са −2, 1 и 3.

13. Колко цели числа са решения на неравенството (x² − 1)(x² − 16) ≤ 0?

    • 6
    • 8
    • 9
    • 10

    Отговор: 8

    Нулите са ±1 и ±4. Решенията са [−4; −1] ∪ [1; 4], т.е. 8 цели числа.

14. Решете неравенството (x² − 9)(x² + 1)(x − 1) ≥ 0.

    • x ∈ (−∞; −3] ∪ [1; 3]
    • x ∈ [−3; 3]
    • x ∈ [−3; 1] ∪ [3; +∞)
    • x ∈ [1; 3]

    Отговор: x ∈ [−3; 1] ∪ [3; +∞)

    x² + 1 > 0 и не влияе на знака. Нулите са −3, 1 и 3; вдясно от 3 изразът е положителен, а знаците се редуват.

15. Колко цели числа са решения на неравенството (x² − 4)(x − 5)(x + 6) ≤ 0?

    • 8
    • 7
    • 9
    • 11

    Отговор: 9

    Нулите са −6, −2, 2 и 5. Решенията са x ∈ [−6; −2] ∪ [2; 5]: 5 + 4 = 9 цели числа.

Дробни неравенства

1. Решете неравенството 1/(x − 2) > 0.

   • x ∈ [2; +∞)
   • x ∈ (−∞; 2)
   • x ∈ (2; +∞)
   • x ≠ 2

   Отговор: x ∈ (2; +∞)

   Дробта с числител 1 е положителна, когато знаменателят е положителен: x > 2.

2. Решете неравенството 3/x < 0.

   • x ∈ (0; +∞)
   • x ∈ (−∞; 3)
   • x ∈ (−∞; 0)
   • x ∈ (−3; 0)

   Отговор: x ∈ (−∞; 0)

   Числителят е положителен, затова дробта е отрицателна при x < 0.

3. При коя стойност на x изразът (x + 1)/(x − 3) не е определен?

   • −1
   • 1
   • 0
   • 3

   Отговор: 3

   Знаменателят е 0 при x = 3.

4. Решете неравенството (x + 3)/(x − 1) ≥ 0.

   • x ∈ (−∞; −3] ∪ [1; +∞)
   • x ∈ [−3; 1)
   • x ∈ (−∞; −1) ∪ (3; +∞)
   • x ∈ (−∞; −3] ∪ (1; +∞)

   Отговор: x ∈ (−∞; −3] ∪ (1; +∞)

   Нулите са −3 (на числителя) и 1 (на знаменателя, изключва се).

5. Решете неравенството (x − 4)/(x + 2) > 0.

   • x ∈ (−∞; −2) ∪ (4; +∞)
   • x ∈ (−2; 4)
   • x ∈ (−∞; −2] ∪ [4; +∞)
   • x ∈ (4; +∞)

   Отговор: x ∈ (−∞; −2) ∪ (4; +∞)

   Дробта е положителна, когато числителят и знаменателят са с еднакъв знак: x 4.

6. Решете неравенството (x − 5)/x ≤ 0.

   • x ∈ (0; 5]
   • x ∈ (0; 5)
   • x ∈ [0; 5]
   • x ∈ (−∞; 0) ∪ [5; +∞)

   Отговор: x ∈ (0; 5]

   Нулите са 0 и 5. Изразът е неположителен между тях, като 5 се включва, а 0 не.

7. Решете неравенството (2x − 6)/(x + 4) < 0.

   • x ∈ (−4; 3)
   • x ∈ (−∞; −4) ∪ (3; +∞)
   • x ∈ (−3; 4)
   • x ∈ [−4; 3]

   Отговор: x ∈ (−4; 3)

   Нулите са 3 и −4; дробта е отрицателна между тях.

8. Решете неравенството (x + 5)/(3 − x) ≥ 0.

   • x ∈ [−5; 3]
   • x ∈ (−∞; −5] ∪ (3; +∞)
   • x ∈ (−5; 3)
   • x ∈ [−5; 3)

   Отговор: x ∈ [−5; 3)

   Нулата на числителя −5 се включва, а x = 3 се изключва; между тях дробта е положителна.

9. Решете неравенството 2/(x + 1) ≥ 1.

   • x ∈ (−∞; 1]
   • x ∈ (−1; 1]
   • x ∈ [−1; 1]
   • x ∈ (−1; 1)

   Отговор: x ∈ (−1; 1]

   2/(x + 1) − 1 ≥ 0, (1 − x)/(x + 1) ≥ 0, x ∈ (−1; 1].

10. Решете неравенството x/(x − 2) < 1.

    • x ∈ (2; +∞)
    • x ∈ (−∞; 2)
    • x ∈ (0; 2)
    • x ∈ (−∞; 0)

    Отговор: x ∈ (−∞; 2)

    x/(x − 2) − 1 = 2/(x − 2) < 0, откъдето x < 2.

11. Решете неравенството (x² + 1)/(x − 3) < 0.

    • x ∈ (3; +∞)
    • x ∈ (−∞; 3)
    • x ∈ (−1; 3)
    • няма решение

    Отговор: x ∈ (−∞; 3)

    Числителят x² + 1 е винаги положителен, затова е нужно x − 3 < 0.

12. Решете неравенството (x − 1)/(x² − 4x + 4) > 0.

    • x ∈ (1; +∞)
    • x ∈ (−∞; 1)
    • x ∈ (1; 2) ∪ (2; +∞)
    • x ∈ (2; +∞)

    Отговор: x ∈ (1; 2) ∪ (2; +∞)

    Знаменателят (x − 2)² е положителен при x ≠ 2, затова x − 1 > 0 и x ≠ 2.

13. Решете неравенството (x² − 4)/(x + 1) ≤ 0.

    • x ∈ [−2; −1) ∪ [2; +∞)
    • x ∈ [−2; 2]
    • x ∈ (−∞; −2] ∪ (−1; 2]
    • x ∈ (−∞; −2] ∪ [−1; 2]

    Отговор: x ∈ (−∞; −2] ∪ (−1; 2]

    Нулите са −2, 2 и −1 (на знаменателя). Знаците отдясно наляво: +, −, +, −.

14. Колко цели числа са решения на неравенството (x² − 1)/(x² − 9) < 0?

    • 4
    • 0
    • 6
    • 2

    Отговор: 2

    Нулите са ±1 и ±3; дробта е отрицателна за x ∈ (−3; −1) ∪ (1; 3). Целите решения са −2 и 2.

15. Решете неравенството 1/x < 1/2.

    • x ∈ (2; +∞)
    • x ∈ (0; 2)
    • x ∈ (−∞; 2)
    • x ∈ (−∞; 0) ∪ (2; +∞)

    Отговор: x ∈ (−∞; 0) ∪ (2; +∞)

    1/x − 1/2 2.

Финален въпрос