Обединение и сечение на числови интервали
Числовите интервали са удобен запис на множества от реални числа, например всички x между −2 и 5. Квадратната скоба означава, че краят е включен, а кръглата, че не е. Сечението на два интервала съдържа общите им числа, а обединението съдържа числата поне от единия. Представянето върху числовата ос помага да видим отговора бързо.
Какво да запомним
- [a; b]: a ≤ x ≤ b; (a; b): a < x < b.
- При ∞ и −∞ скобата е винаги кръгла.
- Сечение A ∩ B: числата и в двата интервала.
- Обединение A ∪ B: числата поне в единия интервал.
- ∅ е празното множество (няма общи числа).
Пример
[−2; 5) ∩ (1; 8] = (1; 5): общите числа са по-големи от 1 и по-малки от 5.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Намерете сечението на интервалите [−2; 5) и (1; 8].
- [−2; 8]
- (1; 5]
- (1; 5)
- [−2; 1)
Отговор: (1; 5)
Общи са числата, по-големи от 1 и по-малки от 5.
Намерете обединението на интервалите (−∞; 3] и (0; 7).
- (0; 3]
- (−∞; 3]
- (−∞; 7]
- (−∞; 7)
Отговор: (−∞; 7)
Всяко число, по-малко от 7, е поне в един от интервалите.
Колко цели числа има в интервала (−3; 4]?
- 7
- 8
- 6
- 5
Отговор: 7
Това са −2, −1, 0, 1, 2, 3 и 4.
Намерете сечението на интервалите (−∞; 2) и [2; +∞).
- {2}
- ∅
- (−∞; +∞)
- (2; +∞)
Отговор: ∅
Няма число, което едновременно е по-малко от 2 и не е по-малко от 2.
Намерете (−4; 6] ∩ ([0; 9) ∪ (−∞; −3)).
- [0; 6]
- (−4; 6]
- (−4; −3) ∪ [0; 6]
- (−4; −3] ∪ [0; 6)
Отговор: (−4; −3) ∪ [0; 6]
Сечението с (−∞; −3) е (−4; −3), а с [0; 9) е [0; 6].
Кой интервал се състои от числата x, за които x ≥ −1?
- (−1; +∞)
- [−1; +∞)
- (−∞; −1]
- (−∞; −1)
Отговор: [−1; +∞)
Неравенството е нестрого, затова −1 се включва: [−1; +∞).
Кое от числата принадлежи на интервала (2; 5]?
- 2
- 1,9
- 5,1
- 5
Отговор: 5
Интервалът съдържа числата, по-големи от 2 и не по-големи от 5; краят 5 е включен.
Кое е най-малкото цяло число в интервала (−2,5; 4)?
- −2
- −3
- −2,5
- −1
Отговор: −2
Числата в интервала са по-големи от −2,5, а най-малкото цяло такова число е −2.
Намерете разликата (−∞; 4] \ (1; 6).
- (−∞; 1)
- [4; 6)
- (−∞; 1]
- (−∞; 6)
Отговор: (−∞; 1]
От (−∞; 4] премахваме числата от (1; 6); остават x ≤ 1.
При кои стойности на a сечението (−∞; a) ∩ (3; +∞) е празното множество?
- a < 3
- a ≥ 3
- a ≤ 3
- a > 3
Отговор: a ≤ 3
Сечението е (3; a) и е празно, когато a ≤ 3.
Как се записва като интервал множеството от числата x, за които −3 < x ≤ 4?
- [−3; 4)
- (−3; 4]
- [−3; 4]
- (−3; 4)
Отговор: (−3; 4]
Краят −3 не е включен (кръгла скоба), а 4 е включен (квадратна скоба).
Намерете обединението на интервалите [−5; 1) и [1; 3].
- [−5; 3)
- (1; 3]
- [−5; 1)
- [−5; 3]
Отговор: [−5; 3]
Интервалите се допират в 1, който е включен във втория. Обединението е [−5; 3].
Колко цели числа има в сечението на (−5; 2) и [−1; 6]?
- 3
- 4
- 2
- 5
Отговор: 3
Сечението е [−1; 2). Целите числа в него са −1, 0 и 1.
Кое е сечението на интервалите [0; +∞) и (−∞; 0]?
- ∅
- (−∞; +∞)
- {0}
- [0; +∞)
Отговор: {0}
Единственото общо число е 0, защото и двата интервала го включват.
При кои стойности на a интервалът [a; 5] съдържа точно 3 цели числа?
- a ∈ [2; 3)
- a = 3
- a ∈ (2; 3]
- a ∈ [2; 3]
Отговор: a ∈ (2; 3]
Трите цели числа трябва да са 3, 4 и 5. Значи 3 ≥ a, но 2 не е в интервала, т.е. a > 2.