ТърсиУченик? Влез с код30 дни безплатноБезплатно
Класове
Начален етап
Прогимназиален етап
Гимназиален етап
Всички игриНВО и матуриЦениСтатииВидеоЗа родителиЗа училищаВход за учителиУченик? Влез с код
Математика · 9 клас · урок 4 от 7

Квадратни неравенства

Квадратно неравенство има вида ax2 + bx + c > 0 (или 0 и има два корена, тричленът е отрицателен между корените и положителен вън от тях. Ако дискриминантата е отрицателна, тричленът има навсякъде знака на a.

Играйте само този урок:Вярно или невярноТаблоБомбаНадбягванеОтборен тест А/Б/В/ГГорещ стол

Работен лист за печат

Какво да запомним

  • D = b2 − 4ac.
  • D > 0, a > 0: тричленът е 0 вън от тях.
  • D = 0: x2 − 6x + 9 = (x − 3)2 ≥ 0 за всяко x.
  • D 0: тричленът е положителен за всяко x.
  • Удобно е при a < 0 да умножим по −1 и да обърнем знака.

Пример

x2 + x − 12 > 0: корените са −4 и 3, a = 1 > 0. Решението е x ∈ (−∞; −4) ∪ (3; +∞).

Проверете се: 15 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

  1. Решете неравенството x2 − 4x ≥ 0.
    • x ∈ [0; 4]
    • x ∈ (−∞; 0] ∪ [4; +∞)
    • x ∈ [4; +∞)
    • x ∈ (−∞; 0) ∪ (4; +∞)

    Отговор: x ∈ (−∞; 0] ∪ [4; +∞)

    x(x − 4) ≥ 0: извън корените 0 и 4, заедно с тях.

  2. Решете неравенството x2 + x − 12 > 0.
    • x ∈ (−4; 3)
    • x ∈ (−∞; −3) ∪ (4; +∞)
    • x ∈ (−∞; −4) ∪ (3; +∞)
    • x ∈ (3; +∞)

    Отговор: x ∈ (−∞; −4) ∪ (3; +∞)

    Корените са −4 и 3, a = 1 > 0: решенията са извън корените.

  3. Решете неравенството x2 − 6x + 9 > 0.
    • x ∈ (−∞; +∞)
    • няма решение
    • x = 3
    • x ∈ (−∞; 3) ∪ (3; +∞)

    Отговор: x ∈ (−∞; 3) ∪ (3; +∞)

    (x − 3)2 > 0 за всяко x ≠ 3.

  4. Решете неравенството −2x2 + 3x + 2 ≥ 0.
    • x ∈ [−1/2; 2]
    • x ∈ (−∞; −1/2] ∪ [2; +∞)
    • x ∈ [−2; 1/2]
    • x ∈ (−1/2; 2)

    Отговор: x ∈ [−1/2; 2]

    Умножаваме по −1: 2x2 − 3x − 2 ≤ 0, корените са −1/2 и 2.

  5. Кое от числата е решение на неравенството x2 < 9?
    • 3
    • −4
    • 2
    • 5

    Отговор: 2

    Решенията са x ∈ (−3; 3), а 2 е в този интервал.

  6. Решете неравенството x2 − 2x < 0.
    • x ∈ (0; 2)
    • x ∈ (−∞; 0) ∪ (2; +∞)
    • x ∈ [0; 2]
    • x ∈ (−2; 0)

    Отговор: x ∈ (0; 2)

    x(x − 2) < 0, а изразът е отрицателен между корените 0 и 2.

  7. Решете неравенството x2 + 4 > 0.
    • всяко реално x
    • x > −2
    • няма решение
    • x > 2

    Отговор: всяко реално x

    x2 ≥ 0, затова x2 + 4 ≥ 4 > 0 за всяко x.

  8. Решете неравенството x2 − 4x + 4 ≤ 0.
    • x ∈ (−∞; 2]
    • няма решение
    • x = 2
    • всяко реално x

    Отговор: x = 2

    x2 − 4x + 4 = (x − 2)2 ≥ 0, затова неравенството е изпълнено само при x = 2.

  9. Колко цели решения има неравенството 2x2 − 7x − 4 < 0?
    • 5
    • 4
    • 3
    • 6

    Отговор: 4

    Корените са −1/2 и 4, решенията са x ∈ (−1/2; 4) и цели са 0, 1, 2, 3.

  10. Решете системата x2 − 4 < 0, x − 1 ≥ 0.
    • x ∈ (−2; 1]
    • x ∈ [1; 2]
    • x ∈ (1; 2)
    • x ∈ [1; 2)

    Отговор: x ∈ [1; 2)

    Първото дава (−2; 2), второто [1; +∞); сечението е [1; 2).

  11. Колко цели решения има системата x2 − 3x − 10 ≤ 0, 2x − 1 > 0?
    • 6
    • 5
    • 8
    • 4

    Отговор: 5

    Първото неравенство дава [−2; 5], второто x > 0,5; сечението е (0,5; 5] с цели числа 1, 2, 3, 4, 5.

  12. Кое от числата е решение на неравенството x2 > 16?
    • 4
    • 0
    • −3
    • 5

    Отговор: 5

    52 = 25 > 16. Решенията са x 4.

  13. Какъв е знакът на тричлена x2 − 5x + 6 между корените му 2 и 3?
    • положителен
    • отрицателен
    • нула
    • зависи от x

    Отговор: отрицателен

    При a = 1 > 0 тричленът е отрицателен между корените.

  14. Решете неравенството x2 − 9 ≤ 0.
    • x ∈ (−3; 3)
    • x ∈ [−3; 3]
    • x ∈ (−∞; −3] ∪ [3; +∞)
    • x ∈ [0; 3]

    Отговор: x ∈ [−3; 3]

    Корените са −3 и 3, a > 0, затова тричленът е ≤ 0 между тях, с краищата.

  15. Решете неравенството −x2 + 5x − 4 > 0.
    • x ∈ (−∞; 1) ∪ (4; +∞)
    • x ∈ (−4; −1)
    • x ∈ [1; 4]
    • x ∈ (1; 4)

    Отговор: x ∈ (1; 4)

    Умножаваме по −1: x2 − 5x + 4 < 0. Корените са 1 и 4.