Математика 10 клас: преговор първи срок

Ирационални изрази

1. Изнесете множител пред корена: √45.

   • 3√5
   • 9√5
   • 5√3
   • 15

   Отговор: 3√5

   √45 = √(9·5) = 3√5.

2. Внесете множителя под корена: 2√3.

   • √12
   • √6
   • √5
   • √36

   Отговор: √12

   2√3 = √(4·3) = √12.

3. Пресметнете √8·√2.

   • √10
   • 4
   • 16
   • 2√2

   Отговор: 4

   √8·√2 = √16 = 4.

4. Опростете √((1 − √2)²).

   • 1 − √2
   • 1 + √2
   • 3 − 2√2
   • √2 − 1

   Отговор: √2 − 1

   √(a²) = |a|, а 1 − √2 < 0, затова |1 − √2| = √2 − 1.

5. Пресметнете 3√2 + √32.

   • 4√2
   • 7√2
   • √34
   • 5√2

   Отговор: 7√2

   √32 = 4√2, затова 3√2 + 4√2 = 7√2.

6. Сравнете числата 3√2 и 2√3.

   • 3√2 < 2√3
   • 3√2 = 2√3
   • 3√2 > 2√3
   • не могат да се сравнят

   Отговор: 3√2 > 2√3

   3√2 = √18, 2√3 = √12 и √18 > √12.

7. Пресметнете (√3 + 1)².

   • 4 + 2√3
   • 4
   • 2 + 2√3
   • 4 + √3

   Отговор: 4 + 2√3

   (√3 + 1)² = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3.

8. Пресметнете (2√5 − 1)(2√5 + 1).

   • 9
   • 21
   • 4√5
   • 19

   Отговор: 19

   По формулата (a − b)(a + b) = a² − b²: 20 − 1 = 19.

9. Пресметнете (√6 − √2)².

   • 4
   • 8 − 2√3
   • 4 − 4√3
   • 8 − 4√3

   Отговор: 8 − 4√3

   6 − 2√12 + 2 = 8 − 4√3.

10. При кои стойности на x изразът √(4 − 2x) има смисъл?

    • x ≥ 2
    • x < 2
    • x ≤ −2
    • x ≤ 2

    Отговор: x ≤ 2

    4 − 2x ≥ 0, откъдето x ≤ 2.

11. Освободете от ирационалност знаменателя на 4/(√7 + √3).

    • √7 + √3
    • (√7 − √3)/4
    • 4(√7 + √3)
    • √7 − √3

    Отговор: √7 − √3

    Умножаваме по √7 − √3: 4(√7 − √3)/(7 − 3) = √7 − √3.

12. Опростете √(x² + 4x + 4) при x < −2.

    • −x − 2
    • x + 2
    • x − 2
    • 2 − x

    Отговор: −x − 2

    √((x + 2)²) = |x + 2| = −x − 2, защото x + 2 < 0.

13. Пресметнете 2/(√3 − 1) − √3.

    • √3 + 2
    • −1
    • 1
    • √3

    Отговор: 1

    2/(√3 − 1) = 2(√3 + 1)/(3 − 1) = √3 + 1, а (√3 + 1) − √3 = 1.

14. Опростете √(6 − 2√5).

    • √5 + 1
    • 1 − √5
    • √5 − 1
    • 2 − √5

    Отговор: √5 − 1

    6 − 2√5 = (√5 − 1)², а √5 − 1 > 0.

15. Пресметнете 1/(√2 + 1) + 1/(√3 + √2) + 1/(2 + √3).

    • 2
    • 1
    • √3
    • 2 − √2

    Отговор: 1

    Сборът е (√2 − 1) + (√3 − √2) + (2 − √3) = 1.

Ирационални уравнения

1. Решете уравнението √x = 5.

   • x = √5
   • x = 25
   • x = 5
   • x = ±25

   Отговор: x = 25

   Повдигаме на квадрат: x = 25, и x ≥ 0.

2. Решете уравнението √(x − 2) = −3.

   • x = 11
   • x = −7
   • x = 7
   • няма решение

   Отговор: няма решение

   Квадратният корен не може да е отрицателно число.

3. Решете уравнението √(x + 5) = 0.

   • x = 5
   • x = 0
   • x = −5
   • няма решение

   Отговор: x = −5

   x + 5 = 0, т.е. x = −5.

4. Решете уравнението √(x + 3) = 4.

   • x = 1
   • x = 13
   • x = 16
   • x = 19

   Отговор: x = 13

   x + 3 = 16, откъдето x = 13.

5. Решете уравнението √(4x + 1) = 3.

   • x = 2
   • x = 0,5
   • x = 8
   • x = 10

   Отговор: x = 2

   4x + 1 = 9, откъдето x = 2.

6. Решете уравнението √(3x − 2) = 5.

   • x = 7
   • x = 1
   • x = 11
   • x = 9

   Отговор: x = 9

   3x − 2 = 25, 3x = 27, x = 9.

7. Решете уравнението √(2x − 1) = x − 2.

   • x = 1 и x = 5
   • x = 1
   • няма решение
   • x = 5

   Отговор: x = 5

   2x − 1 = x² − 4x + 4, x² − 6x + 5 = 0, x = 1 или x = 5. Условието x − 2 ≥ 0 отхвърля x = 1.

8. Решете уравнението √(x + 1) = x − 1.

   • x = 0
   • x = 0 и x = 3
   • x = 3
   • няма решение

   Отговор: x = 3

   x + 1 = x² − 2x + 1, x² − 3x = 0, x = 0 или x = 3. Условието x ≥ 1 оставя x = 3.

9. Решете уравнението √(x + 4) = x + 2.

   • x = 0
   • x = −3
   • x = 0 и x = −3
   • няма решение

   Отговор: x = 0

   x + 4 = x² + 4x + 4, x(x + 3) = 0. Условието x + 2 ≥ 0 отхвърля x = −3.

10. Решете уравнението √(x − 3) + √(x + 2) = 5.

    • x = 3
    • x = 7
    • x = 12
    • x = 2

    Отговор: x = 7

    √(x + 2) = 5 − √(x − 3), след повдигане: 10√(x − 3) = 20, √(x − 3) = 2, x = 7. Проверка: 2 + 3 = 5.

11. Решете уравнението √(x² − 9) = 4.

    • x = 5
    • x = ±√7
    • x = ±5
    • x = 25

    Отговор: x = ±5

    x² − 9 = 16, x² = 25, x = ±5. И двете проверяват.

12. Решете уравнението √(x² + 7) = x + 1.

    • x = 4
    • x = 3
    • x = −3
    • няма решение

    Отговор: x = 3

    x² + 7 = x² + 2x + 1, 2x = 6, x = 3 и x + 1 > 0.

13. Решете уравнението x − 5√x + 6 = 0.

    • x = 2 и x = 3
    • само x = 4
    • само x = 9
    • x = 4 и x = 9

    Отговор: x = 4, x = 9

    Полагаме t = √x ≥ 0: t² − 5t + 6 = 0, t = 2 или t = 3, откъдето x = 4 или x = 9.

14. Решете уравнението √(2x + 3) − √(x + 1) = 1.

    • x = 3
    • x = −1
    • x = −1 и x = 3
    • x = 1 и x = 3

    Отговор: x = −1 и x = 3

    След повдигане в квадрат x + 1 = 2√(x + 1), откъдето √(x + 1) = 0 или 2, т.е. x = −1 или x = 3. И двата проверяват.

15. Колко реални корена има уравнението (x − 4)·√(x − 2) = 0?

    • 0
    • 1
    • 3
    • 2

    Отговор: 2

    Допустимо е x ≥ 2. Корени са x = 4 и x = 2 (тогава коренът е 0).

Аритм. прогресия

1. В аритметична прогресия a₁ = 3 и d = 4. Намерете a₅.

   • 19
   • 23
   • 15
   • 20

   Отговор: a₅ = 19

   a₅ = a₁ + 4d = 3 + 16 = 19.

2. Кое е следващото число в аритметичната прогресия 2, 7, 12, ...?

   • 22
   • 17
   • 15
   • 14

   Отговор: 17

   Разликата е 5, затова 12 + 5 = 17.

3. В аритметична прогресия a₁ = 10 и d = −2. Намерете a₄.

   • 4
   • 6
   • 2
   • 16

   Отговор: 4

   a₄ = 10 + 3·(−2) = 4.

4. В аритметична прогресия a₃ = 10 и a₇ = 22. Намерете разликата d.

   • 12
   • 6
   • 4
   • 3

   Отговор: d = 3

   a₇ − a₃ = 4d = 12, откъдето d = 3.

5. В аритметична прогресия a₁ = 4 и a₂ = 1. Намерете a₆.

   • −14
   • −11
   • 19
   • −8

   Отговор: −11

   d = −3, a₆ = 4 + 5·(−3) = −11.

6. Числата 5, x и 17 (в този ред) са последователни членове на аритметична прогресия. Намерете x.

   • 12
   • 11
   • 10
   • 22

   Отговор: 11

   Средният член е средно аритметично на съседите: (5 + 17)/2 = 11.

7. Колко е сборът 1 + 2 + 3 + ... + 20?

   • 200
   • 420
   • 210
   • 190

   Отговор: 210

   S₂₀ = (1 + 20)·20/2 = 210.

8. В аритметична прогресия a₁ = 2 и d = 5. Намерете S₁₀.

   • 250
   • 235
   • 245
   • 490

   Отговор: 245

   a₁₀ = 2 + 45 = 47, S₁₀ = 10·(2 + 47)/2 = 245.

9. Кой член на аритметичната прогресия 4, 9, 14, ... е равен на 104?

   • 20
   • 22
   • 21
   • 25

   Отговор: 21

   4 + 5(n − 1) = 104, n − 1 = 20, n = 21.

10. Колко е сборът на всички нечетни числа от 1 до 99?

    • 2500
    • 2450
    • 4950
    • 5000

    Отговор: 2500

    Нечетните числа от 1 до 99 са 50, S = (1 + 99)·50/2 = 2500.

11. Колко члена има аритметичната прогресия 7, 11, 15, ..., 83?

    • 19
    • 21
    • 76
    • 20

    Отговор: 20

    83 = 7 + (n − 1)·4, n − 1 = 19, n = 20.

12. В аритметична прогресия a₁ = 3 и a₂₀ = 60. Намерете S₂₀.

    • 600
    • 1260
    • 63
    • 630

    Отговор: 630

    S₂₀ = 20·(3 + 60)/2 = 630.

13. При каква стойност на x числата x, 2x + 3 и 4x − 1 (в този ред) са последователни членове на аритметична прогресия?

    • x = 5
    • x = −7
    • x = 7
    • x = 3

    Отговор: x = 7

    Средният член е средно аритметично на съседните: 2(2x + 3) = x + 4x − 1, откъдето x = 7. Числата са 7, 17, 27.

14. В аритметична прогресия a₁ + a₉ = 30. Намерете S₉.

    • 270
    • 135
    • 150
    • 120

    Отговор: 135

    S₉ = 9·(a₁ + a₉)/2 = 9·30/2 = 135.

15. Колко е сборът на всички двуцифрени числа, кратни на 5?

    • 945
    • 990
    • 900
    • 1050

    Отговор: 945

    10, 15, ..., 95 са 18 числа, сборът е 18·(10 + 95)/2 = 945.

Геом. прогресия, лихви

1. В геометрична прогресия b₁ = 2 и q = 3. Намерете b₄.

   • 54
   • 162
   • 18
   • 24

   Отговор: b₄ = 54

   b₄ = b₁q³ = 2·27 = 54.

2. Кое е следващото число в геометричната прогресия 1, 4, 16, ...?

   • 64
   • 32
   • 48
   • 20

   Отговор: 64

   Частното е 4, затова 16·4 = 64.

3. Колко е частното на геометричната прогресия 5, 10, 20, ...?

   • 5
   • 2
   • 10
   • 1/2

   Отговор: 2

   q = 10 : 5 = 2.

4. Намерете сбора на първите 5 члена на геометричната прогресия 3, 6, 12, ...

   • 48
   • 93
   • 96
   • 45

   Отговор: S₅ = 93

   S₅ = 3(2⁵ − 1)/(2 − 1) = 3·31 = 93.

5. Вложени са 500 евро при 6% годишна проста лихва. Каква е лихвата за 2 години?

   • 60 евро
   • 30 евро
   • 61,80 евро
   • 560 евро

   Отговор: 60 евро

   При проста лихва за всяка година е 500·0,06 = 30 евро, за 2 години 60 евро.

6. Числата 4, x и 25 (в този ред) са членове на геометрична прогресия с положителни членове. Намерете x.

   • 14,5
   • 20
   • 10
   • 5

   Отговор: 10

   x² = 4·25 = 100 и x > 0, значи x = 10.

7. В геометрична прогресия b₂ = 6 и b₅ = 48. Намерете частното q.

   • 8
   • 3
   • 2
   • 14

   Отговор: q = 2

   b₅ : b₂ = q³ = 8, откъдето q = 2.

8. В геометрична прогресия b₁ = 64 и q = −1/2. Намерете b₄.

   • 8
   • −4
   • −8
   • 4

   Отговор: −8

   b₄ = 64·(−1/2)³ = 64·(−1/8) = −8.

9. Вложени са 2000 евро при 3% годишна проста лихва. Колко е сумата след 4 години?

   • 2060 евро
   • 2400 евро
   • 2251,02 евро
   • 2240 евро

   Отговор: 2240 евро

   Лихвата е 2000·0,03·4 = 240 евро, сумата е 2240 евро.

10. Вложени са 1000 евро при 10% годишна сложна лихва. Колко ще има в сметката след 2 години?

    • 1200 евро
    • 1100 евро
    • 1210 евро
    • 1020 евро

    Отговор: 1210 евро

    1000·1,1² = 1210. 1200 евро би било при проста лихва.

11. Стока от 200 евро поскъпва с 5% всяка година. Каква ще е цената след 2 години?

    • 220,50 евро
    • 220 евро
    • 210 евро
    • 221 евро

    Отговор: 220,50 евро

    200·1,05² = 200·1,1025 = 220,50 евро.

12. Колко е сборът на първите 5 члена на геометричната прогресия 1, 3, 9, ...?

    • 121
    • 81
    • 120
    • 243

    Отговор: 121

    S₅ = (3⁵ − 1)/(3 − 1) = 242/2 = 121.

13. При кое положително x числата x, 6 и x + 5 (в този ред) са последователни членове на геометрична прогресия?

    • x = 4
    • x = 9
    • x = −9
    • x = 6

    Отговор: x = 4

    6² = x(x + 5), x² + 5x − 36 = 0, x = 4 или x = −9. Положителното е 4.

14. Намерете сбора на първите 4 члена на геометрична прогресия с b₁ = 2 и q = −3.

    • 40
    • −80
    • −56
    • −40

    Отговор: −40

    Членовете са 2, −6, 18, −54 и сборът им е −40.

15. Цена от 1000 евро намалява с 10% всяка година. Каква ще е след 3 години?

    • 700 евро
    • 729 евро
    • 730 евро
    • 810 евро

    Отговор: 729 евро

    1000·0,9³ = 729 евро.

Статистика

1. Намерете средното аритметично на данните 4, 7, 7, 10, 12.

   • 7
   • 10
   • 8
   • 7,5

   Отговор: 8

   (4 + 7 + 7 + 10 + 12) : 5 = 40 : 5 = 8.

2. Намерете модата на данните 2, 5, 5, 6, 8.

   • 5
   • 6
   • 2
   • 8

   Отговор: 5

   Модата е най-често срещаната стойност: 5 се среща два пъти.

3. Намерете размаха на данните 3, 11, 6, 8.

   • 11
   • 3
   • 8
   • 7

   Отговор: 8

   Размахът е 11 − 3 = 8.

4. Намерете медианата на данните 3, 8, 1, 9, 5.

   • 1
   • 5,2
   • 8
   • 5

   Отговор: 5

   Подредени: 1, 3, 5, 8, 9. Средният елемент е 5.

5. От 30 ученици 9 имат оценка 6. Каква е относителната честота на оценка 6?

   • 9%
   • 25%
   • 20%
   • 30%

   Отговор: 30%

   9/30 = 0,3 = 30%.

6. Колко моди имат данните 1, 1, 2, 3, 3, 4?

   • 1
   • няма мода
   • 3
   • 2

   Отговор: 2

   Числата 1 и 3 се срещат по 2 пъти, повече от останалите.

7. Намерете медианата на данните 2, 4, 6, 8, 10, 12.

   • 6
   • 7
   • 8
   • 6,5

   Отговор: 7

   Броят е четен, медианата е (6 + 8) : 2 = 7.

8. Средното аритметично на 4 числа е 7. Три от тях са 5, 6 и 9. Кое е четвъртото?

   • 7
   • 8
   • 6
   • 9

   Отговор: 8

   Сборът е 4·7 = 28, а 28 − (5 + 6 + 9) = 8.

9. Сектор в кръгова диаграма е 72°. Какъв процент от данните представя?

   • 20%
   • 72%
   • 25%
   • 18%

   Отговор: 20%

   72/360 = 0,2 = 20%.

10. Намерете размаха на данните 15, 22, 9, 30, 18.

    • 30
    • 21
    • 18
    • 15

    Отговор: 21

    Размах = най-голяма − най-малка стойност = 30 − 9 = 21.

11. Към данните 3, 5, 8, 10, 14 добавяме 20. С колко се променя медианата?

    • с 2
    • с 1
    • с 6
    • не се променя

    Отговор: с 1

    Медианата е била 8, а на 3, 5, 8, 10, 14, 20 е (8 + 10)/2 = 9.

12. Средното аритметично на 5 числа е 6. Добавяме числото 12. Какво е новото средно?

    • 9
    • 7
    • 6,5
    • 8

    Отговор: 7

    Сборът става 30 + 12 = 42, а 42 : 6 = 7.

13. Средният успех на 20 ученици е 5,00, а на други 10 ученици е 4,40. Какъв е средният успех на всичките 30 ученици?

    • 4,70
    • 4,60
    • 4,80
    • 5,00

    Отговор: 4,80

    (20·5,00 + 10·4,40) : 30 = 144 : 30 = 4,80.

14. Средното на 5 числа е 12. Към всяко прибавяме 3, после всяко умножаваме по 2. Какво е новото средно?

    • 30
    • 27
    • 24
    • 15

    Отговор: 30

    Средното се променя по същия начин: (12 + 3)·2 = 30.

15. Данните 1, 3, 3, 4 и x имат средно аритметично 4. Намерете медианата.

    • 4
    • 9
    • 3
    • 3,5

    Отговор: 3

    Сборът е 20, значи x = 9. Подредени: 1, 3, 3, 4, 9, медианата е 3.

Финален въпрос