Статистика и обработка на данни

Честоти и диаграми

1. В клас от 25 ученици 5 имат оценка отличен 6. Каква е относителната честота на тази оценка?

   • 5%
   • 25%
   • 20%
   • 0,2%

   Отговор: 20%

   5/25 = 0,2 = 20%.

2. Коя диаграма е най-подходяща, за да покаже части от едно цяло?

   • линейна
   • точкова
   • таблица
   • кръгова

   Отговор: кръгова

   В кръговата диаграма цялото е кръгът, а частите са секторите.

3. Как се нарича броят на появите на дадена стойност в данните?

   • мода
   • честота
   • медиана
   • размах

   Отговор: честота

   Това е (абсолютната) честота на стойността.

4. Каква е честотата на числото 3 в данните 2, 3, 3, 5, 3, 2, 6?

   • 2
   • 1
   • 4
   • 3

   Отговор: 3

   Числото 3 се среща 3 пъти.

5. На колко е равен сборът на относителните честоти на всички стойности?

   • 1 (т.е. 100%)
   • 0
   • на броя на данните
   • 10

   Отговор: 1 (т.е. 100%)

   Всички относителни честоти заедно описват цялата извадка.

6. Коя диаграма е най-подходяща за изменението на температурата през седмицата?

   • кръгова
   • пиктограма
   • линейна диаграма
   • диаграма на Вен

   Отговор: линейна диаграма

   Изменение във времето се показва най-добре с линейна диаграма.

7. В кръгова диаграма един сектор представя 25% от данните. Колко градуса е ъгълът на сектора?

   • 90°
   • 25°
   • 45°
   • 100°

   Отговор: 90°

   25% от 360° е 90°.

8. Сектор в кръгова диаграма е 54°. Какъв процент от данните представя?

   • 54%
   • 15%
   • 12%
   • 18%

   Отговор: 15%

   54°/360° = 0,15 = 15%.

9. Кръгова диаграма има три сектора: 90°, 150° и x. Колко е x?

   • 90°
   • 100°
   • 60°
   • 120°

   Отговор: 120°

   Сборът е 360°: x = 360° − 90° − 150° = 120°.

10. От 40 анкетирани 14 са избрали отговор А. Каква е относителната честота на отговор А?

    • 14%
    • 35%
    • 40%
    • 0,35%

    Отговор: 35%

    14/40 = 0,35 = 35%.

11. Относителната честота на отговор „да“ е 0,35 при 200 анкетирани. Колко души са казали „да“?

    • 70
    • 35
    • 65
    • 140

    Отговор: 70

    0,35·200 = 70.

12. 8 ученици имат оценка 6, което е 32% от групата. Колко ученици има групата?

    • 25
    • 24
    • 32
    • 40

    Отговор: 25

    8 : 0,32 = 25 ученици.

13. Оценките в клас: 3 (2 ученици), 4 (5 ученици), 5 (8 ученици), 6 (5 ученици). Какъв процент от учениците имат оценка поне 5?

    • 40%
    • 25%
    • 65%
    • 13%

    Отговор: 65%

    Учениците са 20, а с оценка 5 или 6 са 13. 13/20 = 65%.

14. От 60 ученици 24 избират футбол, 15 волейбол, 12 плуване и 9 други. Колко градуса е секторът за плуване?

    • 12°
    • 72°
    • 60°
    • 90°

    Отговор: 72°

    12/60 = 20%, 0,2·360° = 72°.

15. Относителните честоти на стойностите 1, 2 и 3 са 0,2; 0,5 и 0,3. Колко е средното аритметично?

    • 2
    • 2,1
    • 2,5
    • 1,9

    Отговор: 2,1

    1·0,2 + 2·0,5 + 3·0,3 = 0,2 + 1 + 0,9 = 2,1.

Средно аритметично

1. Намерете средното аритметично на числата 3, 5, 7, 9.

   • 5
   • 7
   • 24
   • 6

   Отговор: 6

   (3 + 5 + 7 + 9)/4 = 24/4 = 6.

2. Как се променя средното аритметично, ако към всяко от данните прибавим 2?

   • увеличава се с 2
   • не се променя
   • увеличава се 2 пъти
   • увеличава се с 2n

   Отговор: увеличава се с 2

   Сборът се увеличава с 2n, а после се дели на n.

3. Колко е средното аритметично на 10 и 20?

   • 30
   • 10
   • 15
   • 20

   Отговор: 15

   (10 + 20)/2 = 15.

4. Средното аритметично на 5 числа е 8. Колко е сборът им?

   • 40
   • 13
   • 8
   • 45

   Отговор: 40

   Сборът е 5·8 = 40.

5. Колко е средното аритметично на числата −4, 0, 3 и 9?

   • 2
   • 4
   • 3
   • 1

   Отговор: 2

   (−4 + 0 + 3 + 9)/4 = 8/4 = 2.

6. Как се променя средното аритметично, ако всяко от данните умножим по 3?

   • не се променя
   • увеличава се с 3
   • увеличава се 9 пъти
   • увеличава се 3 пъти

   Отговор: увеличава се 3 пъти

   Сборът се увеличава 3 пъти, а броят остава същият.

7. Оценките на ученик са 6, 4, 5 и x, а средният му успех е 5,25. Намерете x.

   • 5
   • 6
   • 4
   • 3

   Отговор: 6

   Сборът е 4·5,25 = 21, затова x = 21 − 15 = 6.

8. Средното аритметично на три последователни естествени числа е 15. Кое е най-голямото?

   • 15
   • 16
   • 17
   • 18

   Отговор: 16

   Числата са 14, 15 и 16.

9. Средното аритметично на две числа е 7, а едното е с 4 по-голямо от другото. Кое е по-голямото?

   • 9
   • 11
   • 7
   • 5

   Отговор: 9

   Сборът е 14: x + x + 4 = 14, x = 5, по-голямото е 9.

10. 10 ученици имат среден успех 4,50, а други 15 ученици имат среден успех 5,50. Какъв е средният успех на всичките 25?

    • 5
    • 5,2
    • 5,1
    • 4,9

    Отговор: 5,1

    (10·4,5 + 15·5,5)/25 = (45 + 82,5)/25 = 5,1.

11. Средният ръст на 5 момчета е 170 cm. Присъединява се момче със 182 cm. Какъв е новият среден ръст?

    • 176 cm
    • 171 cm
    • 172 cm
    • 174 cm

    Отговор: 172 cm

    (5·170 + 182)/6 = 1032/6 = 172 cm.

12. Средното аритметично на 8 числа е 15. Добавяме 2 числа със сбор 50. Какво е новото средно?

    • 16
    • 17
    • 25
    • 15,5

    Отговор: 17

    (8·15 + 50)/10 = 170/10 = 17.

13. Средното аритметично на 6 числа е 10. След като махнем едно от тях, средното на останалите е 9. Кое число сме махнали?

    • 1
    • 10
    • 19
    • 15

    Отговор: 15

    Сборът на шестте е 60, на петте е 45. Махнатото число е 60 − 45 = 15.

14. Тест има тежест 40%, а изпит 60%. Ученик има 80 т. на теста и 70 т. на изпита. Колко е крайният резултат?

    • 75
    • 74
    • 76
    • 72

    Отговор: 74

    0,4·80 + 0,6·70 = 32 + 42 = 74.

15. Ученик има 4 оценки със среден успех 4,50. Най-малко колко шестици трябва да получи, за да стане средният му успех поне 5,25?

    • 2
    • 3
    • 4
    • 5

    Отговор: 4

    (18 + 6k)/(4 + k) ≥ 5,25 дава 0,75k ≥ 3, k ≥ 4.

Медиана

1. Намерете медианата на данните 1, 4, 6, 8, 20.

   • 6
   • 7,8
   • 4
   • 8

   Отговор: 6

   Данните са подредени, средният (трети) член е 6.

2. Какво представлява медианата на подредени по големина данни с нечетен брой?

   • най-често срещаната стойност
   • разликата между най-голямата и най-малката стойност
   • средният по ред елемент
   • сборът, разделен на броя

   Отговор: средният по ред елемент

   При нечетен брой данни медианата е елементът точно по средата.

3. Намерете медианата на данните 7, 2, 9.

   • 2
   • 9
   • 6
   • 7

   Отговор: 7

   Подредени: 2, 7, 9. Средният е 7.

4. Намерете медианата на данните 3, 9, 4, 7.

   • 6,5
   • 5,5
   • 7
   • 5,75

   Отговор: 5,5

   Подредени: 3, 4, 7, 9. Медианата е (4 + 7)/2 = 5,5.

5. Намерете медианата на данните 15, 2, 9, 30, 4, 11, 20, 6.

   • 9
   • 10
   • 11
   • 12,125

   Отговор: 10

   Подредени: 2, 4, 6, 9, 11, 15, 20, 30. Медианата е (9 + 11)/2 = 10.

6. Променя ли се медианата на данните 2, 4, 6, 8, 10, ако заменим 10 със 100?

   • не, остава 6
   • да, става 24
   • да, става 8
   • да, става 50

   Отговор: не, остава 6

   Средният по ред елемент остава 6, медианата не зависи от крайните стойности.

7. Намерете медианата на данните 12, 5, 8, 12, 3, 10, 7.

   • 12
   • 10
   • 8
   • 7

   Отговор: 8

   Подредени: 3, 5, 7, 8, 10, 12, 12. Средният (четвърти) член е 8.

8. Данните са 3, 6, 9 и x, като x > 9. Каква е медианата?

   • 9
   • 6
   • 7,5
   • зависи от x

   Отговор: 7,5

   Подредени: 3, 6, 9, x. Медианата е (6 + 9)/2 = 7,5, без значение колко е x.

9. Как се променя медианата, ако към всяко от данните прибавим 5?

   • не се променя
   • увеличава се с 5
   • увеличава се 5 пъти
   • намалява с 5

   Отговор: увеличава се с 5

   Редът на данните се запазва, а средният елемент се увеличава с 5.

10. Оценките в клас: 3 (4 ученици), 4 (6 ученици), 5 (7 ученици), 6 (3 ученици). Намерете медианата.

    • 5
    • 4
    • 4,45
    • 4,5

    Отговор: 4,5

    Учениците са 20. Десетата оценка е 4, а единадесетата е 5, медианата е (4 + 5)/2 = 4,5.

11. Заплатите са 900, 950, 1000, 1100 и 8000 евро. Коя мярка описва по-добре типичната заплата?

    • средното аритметично, 2390 евро
    • размахът, 7100 евро
    • медианата, 1000 евро
    • модата, 900 евро

    Отговор: медианата, 1000 евро

    Голямата заплата 8000 евро вдига средното (2390 евро), а медианата 1000 евро не се влияе от нея.

12. Данните 4, 6, x, 12 са подредени по големина и медианата им е 8. Намерете x.

    • 8
    • 9
    • 10
    • 12

    Отговор: 10

    (6 + x)/2 = 8, x = 10.

13. Данните 2, 5, x, 9, 11 са подредени по големина и средното им аритметично е равно на медианата. Намерете x.

    • 6,75
    • 7
    • 6,5
    • 5,4

    Отговор: 6,75

    Медианата е x, затова (27 + x)/5 = x, 4x = 27, x = 6,75.

14. Медианата на оценките на 21 ученици е 5. Най-малко колко ученици имат 5 или 6?

    • 10
    • 11
    • 21
    • 5

    Отговор: 11

    Медианата е 11-ата оценка по ред. Тя и всички след нея (11 оценки) са поне 5.

15. Средното аритметично на 5 различни естествени числа е 10, а медианата им е 12. Колко най-много може да е най-голямото число?

    • 24
    • 25
    • 35
    • 22

    Отговор: 22

    Сборът е 50. Най-малките възможни други числа са 1, 2, 12 и 13, затова най-голямото е 50 − 28 = 22.

Мода и размах

1. Намерете модата на данните 2, 3, 3, 4, 5, 3, 4.

   • 4
   • 3
   • 2
   • 5

   Отговор: 3

   Числото 3 се среща най-често (3 пъти).

2. Как се нарича разликата между най-голямата и най-малката стойност в данните?

   • мода
   • медиана
   • честота
   • размах

   Отговор: размах

   Размахът показва колко са разпръснати данните.

3. Намерете размаха на данните 4, 9, 1, 7.

   • 8
   • 9
   • 6
   • 3

   Отговор: 8

   Размахът е 9 − 1 = 8.

4. Намерете размаха на данните −3, 5, 12, 0, 7.

   • 12
   • 9
   • 15
   • 5

   Отговор: 15

   Размахът е 12 − (−3) = 15.

5. Каква е модата на данните 6, 7, 8, 9?

   • 7,5
   • няма мода
   • 6
   • 9

   Отговор: няма мода

   Всяка стойност се среща по един път, затова няма мода.

6. Как се променя размахът, ако към всяко от данните прибавим 10?

   • увеличава се с 10
   • не се променя
   • увеличава се с 20
   • намалява с 10

   Отговор: не се променя

   Най-голямата и най-малката стойност се увеличават с 10, разликата им остава.

7. Колко моди имат данните 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5?

   • 1
   • 0
   • 3
   • 2

   Отговор: 2

   Числата 2 и 4 се срещат по 2 пъти, повече от останалите.

8. Как се променя размахът, ако всяко от данните умножим по 3?

   • не се променя
   • увеличава се с 3
   • увеличава се 9 пъти
   • увеличава се 3 пъти

   Отговор: увеличава се 3 пъти

   Най-голямата и най-малката стойност се умножават по 3, значи и разликата им.

9. Може ли модата да е стойност, която не се среща в данните?

   • да, винаги
   • само при четен брой данни
   • не
   • само при отрицателни данни

   Отговор: не

   Модата е най-често срещаната стойност, значи винаги е от данните.

10. Продадени обувки по номера: 38 (5 чифта), 39 (9), 40 (12), 41 (7), 42 (3). Кой номер е модата?

    • 40
    • 12
    • 39
    • 41

    Отговор: 40

    Най-много чифтове (12) са продадени от номер 40.

11. Данните са 5, 8, 8, 9, 12, 12, 12, 15. Намерете модата и размаха.

    • мода 8, размах 10
    • мода 12, размах 7
    • мода 12, размах 15
    • мода 12, размах 10

    Отговор: мода 12, размах 10

    12 се среща 3 пъти; размахът е 15 − 5 = 10.

12. Прочетени книги през лятото: 0 (3 ученици), 1 (7), 2 (7), 3 (4), 5 (2). Кои са модите?

    • само 1
    • само 2
    • 2 и 3
    • 1 и 2

    Отговор: 1 и 2

    Стойностите 1 и 2 се срещат по 7 пъти, най-често.

13. Данните са 4, 7, 7, 10 и x, като x > 4. Размахът им е 10. Намерете x.

    • 6
    • 14
    • 17
    • 10

    Отговор: 14

    Най-малкото число е 4, затова най-голямото е 14. Ако x ≤ 10, размахът би бил 6.

14. В данните 3, 5, 5, 7, x модата е единствена и е равна на средното аритметично. Намерете x.

    • 10
    • 7
    • 3
    • 5

    Отговор: 5

    Модата е 5 (при x = 3 или 7 щеше да има две моди). (20 + x)/5 = 5 дава x = 5.

15. Данните 2, 6, 6, 9 и x имат размах 12. Каква може да е стойността на x?

    • 14 или −3
    • само 14
    • само −3
    • 14 или −4

    Отговор: 14 или −3

    Ако x е най-голямото: x − 2 = 12, x = 14. Ако x е най-малкото: 9 − x = 12, x = −3.

Практически задачи

1. Температурите от понеделник до петък са 12°, 15°, 11°, 14° и 13°. Колко е средната температура?

   • 12°
   • 14°
   • 13°
   • 65°

   Отговор: 13°

   (12 + 15 + 11 + 14 + 13)/5 = 65/5 = 13°.

2. Магазин продава ризи S, M, L и XL. Коя мярка показва кой размер да поръча повече?

   • средното аритметично
   • медианата
   • размахът
   • модата

   Отговор: модата

   Модата показва най-често купувания размер; размерите не са числа и средно не може да се смята.

3. Петима приятели имат 3, 5, 4, 6 и 7 евро. Колко е средната сума?

   • 4 евро
   • 5 евро
   • 6 евро
   • 25 евро

   Отговор: 5 евро

   (3 + 5 + 4 + 6 + 7)/5 = 25/5 = 5 евро.

4. Ученик има оценки 5, 6, 4 и 5. Каква пета оценка трябва да получи, за да има среден успех 5,20?

   • 5
   • 4
   • 3
   • 6

   Отговор: 6

   Нужният сбор е 5·5,2 = 26, а има 20. Трябва оценка 6.

5. Пет кутии тежат 2, 3, 3, 4 и 8 kg. С колко средното аритметично е по-голямо от медианата?

   • 1 kg
   • 0 kg
   • 2 kg
   • 0,5 kg

   Отговор: 1 kg

   Средното е 20/5 = 4 kg, медианата е 3 kg.

6. Времената на 5 бегачи на 100 m са 13, 14, 12, 15 и 16 s. Колко е медианата?

   • 12 s
   • 15 s
   • 14 s
   • 13 s

   Отговор: 14 s

   Подредени: 12, 13, 14, 15, 16. Медианата е 14 s.

7. Във фирма 5 работници получават по 1200 евро, а управителят 6000 евро. Каква е средната заплата?

   • 2000 евро
   • 1200 евро
   • 3600 евро
   • 1800 евро

   Отговор: 2000 евро

   (5·1200 + 6000)/6 = 12 000/6 = 2000 евро.

8. В 10 мача отбор вкарва 0 гола в 2 мача, 1 гол в 3, 2 гола в 4 и 4 гола в 1 мач. Колко е средният брой голове?

   • 1,75
   • 2
   • 1,2
   • 1,5

   Отговор: 1,5

   (0·2 + 1·3 + 2·4 + 4·1)/10 = 15/10 = 1,5.

9. Хляб струва 1,20; 1,30; 1,10 и 1,40 евро в 4 магазина. С колко средната цена е по-висока от най-ниската?

   • 0,10 евро
   • 0,20 евро
   • 0,25 евро
   • 0,15 евро

   Отговор: 0,15 евро

   Средната цена е 5,00 : 4 = 1,25 евро, 1,25 − 1,10 = 0,15 евро.

10. Средният резултат на 30 ученици е 64 точки. Оказва се, че резултат 80 точки е записан като 50. Какъв е верният среден резултат?

    • 66
    • 65
    • 64
    • 63

    Отговор: 65

    Сборът се увеличава с 30, а средното с 30/30 = 1. Вярното средно е 65.

11. Колоездач изминава 30 km с 15 km/h и още 30 km с 30 km/h. Каква е средната му скорост?

    • 22,5 km/h
    • 25 km/h
    • 20 km/h
    • 18 km/h

    Отговор: 20 km/h

    Времето е 2 h + 1 h = 3 h, средната скорост е 60/3 = 20 km/h.

12. Часове сън: 6 ч (4 ученици), 7 ч (10), 8 ч (5), 9 ч (1). Колко е средният брой часове?

    • 7,15 ч
    • 7,5 ч
    • 7 ч
    • 7,25 ч

    Отговор: 7,15 ч

    (24 + 70 + 40 + 9)/20 = 143/20 = 7,15 ч.

13. Клас А има 20 ученици със среден успех 4,60, а клас Б има среден успех 5,40. Общият среден успех е 4,90. Колко ученици има клас Б?

    • 10
    • 15
    • 12
    • 8

    Отговор: 12

    20·4,6 + 5,4n = 4,9(20 + n), 92 + 5,4n = 98 + 4,9n, 0,5n = 6, n = 12.

14. Резултатите на 9 ученици са 12, 15, 15, 16, 18, 19, 20, 20, 20. Кое твърдение е вярно?

    • модата е по-голяма от медианата
    • медианата е 16
    • средното аритметично е 18
    • размахът е 10

    Отговор: модата е по-голяма от медианата

    Модата е 20, медианата (5-ият резултат) е 18, средното е 155/9 ≈ 17,2, размахът е 8.

15. На тест средният резултат на момчетата е 60, на момичетата 75, а на целия клас 69. Какъв процент от класа са момичетата?

    • 40%
    • 60%
    • 50%
    • 75%

    Отговор: 60%

    Ако делът на момичетата е p: 60(1 − p) + 75p = 69, 15p = 9, p = 0,6.

Финален въпрос