Математика 10 клас: преговор втори срок

Ъгли от 0° до 180°

1. На колко е равно sin 120°?

   • √3/2
   • −√3/2
   • 1/2
   • −1/2

   Отговор: √3/2

   sin 120° = sin(180° − 60°) = sin 60° = √3/2.

2. На колко е равно cos 90°?

   • 1
   • 0
   • −1
   • 1/2

   Отговор: 0

   Крайната точка на ъгъл 90° от единичната окръжност е (0; 1), затова cos 90° = 0.

3. На колко е равно tg 150°?

   • √3/3
   • −√3
   • −√3/3
   • −1/2

   Отговор: −√3/3

   tg 150° = −tg 30° = −√3/3.

4. cos α = −3/5 и 0° < α < 180°. Намерете sin α.

   • −4/5
   • 3/5
   • 4/5
   • 2/5

   Отговор: 4/5

   sin α > 0 в този интервал: sin α = √(1 − 9/25) = 4/5.

5. Какъв е знакът на cos α, ако α е тъп ъгъл?

   • положителен
   • отрицателен
   • нула
   • зависи от α

   Отговор: отрицателен

   За 90° < α < 180° косинусът е отрицателен.

6. Пресметнете sin 30° + cos 120°.

   • 1
   • −1
   • 1/2
   • 0

   Отговор: 0

   sin 30° = 1/2, cos 120° = −1/2, сборът е 0.

7. Пресметнете sin 150° + cos 135°·cos 45°.

   • 1
   • −1/2
   • 1/2
   • 0

   Отговор: 0

   sin 150° = 1/2, cos 135° = −√2/2, cos 45° = √2/2: 1/2 − 1/2 = 0.

8. Пресметнете sin 135°·cos 135°.

   • 1/2
   • −1
   • −1/2
   • 0

   Отговор: −1/2

   sin 135° = √2/2, cos 135° = −√2/2, произведението е −2/4 = −1/2.

9. Намерете ъгъла α от 0° до 180°, за който tg α = −1.

   • 135°
   • 45°
   • 120°
   • 150°

   Отговор: 135°

   tg α < 0 означава тъп ъгъл, а tg 135° = −tg 45° = −1.

10. tg α = −2 и 90° < α < 180°. Намерете cos α.

    • √5/5
    • −√5/5
    • −2√5/5
    • −1/2

    Отговор: −√5/5

    cos²α = 1/(1 + tg²α) = 1/5, а за тъп ъгъл cos α < 0: cos α = −1/√5 = −√5/5.

11. Намерете ъгъла α от 0° до 180°, за който cos α = −1/2.

    • 120°
    • 60°
    • 150°
    • 135°

    Отговор: 120°

    cos 120° = −cos 60° = −1/2.

12. sin α = 12/13 и α е тъп ъгъл. Намерете cos α.

    • 5/13
    • −5/13
    • −12/5
    • 12/5

    Отговор: −5/13

    cos² α = 1 − 144/169 = 25/169, а за тъп ъгъл cos α < 0.

13. Опростете sin(180° − α)·cos(180° − α) + sin α·cos α.

    • 2sin α cos α
    • 0
    • −1
    • 1

    Отговор: 0

    sin(180° − α) = sin α, cos(180° − α) = −cos α: −sin α cos α + sin α cos α = 0.

14. Пресметнете tg 120°·tg 30° + cos 180°.

    • 0
    • −1
    • 2
    • −2

    Отговор: −2

    tg 120° = −√3, tg 30° = √3/3, произведението е −1, а cos 180° = −1. Общо −2.

15. Пресметнете sin² 150° + cos² 30° + tg 135°.

    • 1
    • 2
    • 0
    • −1

    Отговор: 0

    1/4 + 3/4 + (−1) = 0.

Синусова и косинусова

1. В ΔABC a = 5 cm и ∠A = 30°. Колко сантиметра е радиусът R на описаната окръжност?

   • 10 cm
   • 2,5 cm
   • 5 cm
   • 5√3 cm

   Отговор: 5 cm

   a/sin α = 2R: 5 : (1/2) = 10 = 2R, R = 5 cm.

2. Коя формула изразява синусовата теорема?

   • a² = b² + c² − 2bc·cos α
   • S = ab·sin γ/2
   • a/b = sin β/sin α
   • a/sin α = 2R

   Отговор: a/sin α = 2R

   Синусовата теорема: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R.

3. В ΔABC ∠C = 90°. До коя теорема се свежда косинусовата теорема за страната c?

   • Талесовата
   • синусовата
   • Питагоровата
   • за ъглополовящата

   Отговор: Питагоровата

   cos 90° = 0, затова c² = a² + b².

4. В ΔABC b = 3 cm, c = 5 cm и ∠A = 60°. Намерете a.

   • 7 cm
   • 4 cm
   • √34 cm
   • √19 cm

   Отговор: √19 cm

   a² = 9 + 25 − 2·3·5·cos 60° = 34 − 15 = 19, a = √19 cm.

5. В ΔABC ∠A = 30° и ∠B = 90°. Намерете отношението a : b.

   • 1 : 3
   • 2 : 1
   • 1 : √3
   • 1 : 2

   Отговор: 1 : 2

   a : b = sin 30° : sin 90° = 1/2 : 1 = 1 : 2.

6. В ΔABC радиусът на описаната окръжност е 5 cm и ∠B = 45°. Намерете b.

   • 5 cm
   • 5√2 cm
   • 10√2 cm
   • 10 cm

   Отговор: 5√2 cm

   b = 2R·sin β = 10·√2/2 = 5√2 cm.

7. Страните на триъгълник са 5 cm, 7 cm и 8 cm. Колко градуса е ъгълът срещу страната 7 cm?

   • 45°
   • 30°
   • 60°
   • 120°

   Отговор: 60°

   cos γ = (5² + 8² − 7²)/(2·5·8) = 40/80 = 1/2, γ = 60°.

8. Страните на триъгълник са 2 cm, 3 cm и 4 cm. Какъв е той според ъглите си?

   • тъпоъгълен
   • остроъгълен
   • правоъгълен
   • равностранен

   Отговор: тъпоъгълен

   4² = 16 > 2² + 3² = 13, затова ъгълът срещу 4 cm е тъп.

9. Два кораба тръгват от пристанище по прави, сключващи ъгъл 60°, и изминават 3 km и 8 km. На какво разстояние са един от друг?

   • √65 km
   • 11 km
   • 5 km
   • 7 km

   Отговор: 7 km

   d² = 9 + 64 − 2·3·8·1/2 = 49, d = 7 km.

10. В ΔABC ∠A = 45°, ∠B = 60° и BC = 6√2 cm. Колко е AC?

    • 6 cm
    • 6√3 cm
    • 12 cm
    • 3√6 cm

    Отговор: 6√3 cm

    AC/sin B = BC/sin A: AC = 6√2·(√3/2) : (√2/2) = 6√3 cm.

11. В ΔABC b = 2 cm, ∠B = 30° и ∠C = 45°. Намерете c.

    • 2√2 cm
    • √2 cm
    • 4 cm
    • 2√3 cm

    Отговор: 2√2 cm

    c = b·sin C/sin B = 2·(√2/2)/(1/2) = 2√2 cm.

12. В ΔABC a = 2 cm, b = 2√3 cm и ∠A = 30°. Намерете ∠B.

    • 60°
    • 120°
    • 60° или 120°
    • 30°

    Отговор: 60° или 120°

    sin β = b·sin α/a = √3/2. Тъй като b > a, β > α и са възможни β = 60° и β = 120°.

13. Страните на триъгълник са 4 cm, 5 cm и 6 cm. Намерете косинуса на най-големия му ъгъл.

    • −1/8
    • 1/8
    • 3/4
    • 9/16

    Отговор: 1/8

    Най-големият ъгъл е срещу 6 cm: cos γ = (16 + 25 − 36)/(2·4·5) = 5/40 = 1/8.

14. Успоредник има страни 3 cm и 5 cm и ъгъл 120°. Намерете по-дългия му диагонал.

    • √19 cm
    • 7 cm
    • 8 cm
    • √34 cm

    Отговор: 7 cm

    Дългият диагонал е срещу ъгъла 120°: d² = 9 + 25 + 15 = 49, d = 7 cm.

15. В ΔABC е изпълнено sin A = 2sin B·cos C. Какъв е триъгълникът?

    • равнобедрен
    • правоъгълен
    • равностранен
    • тъпоъгълен

    Отговор: равнобедрен

    По синусовата и косинусовата теорема a = 2b·(a² + b² − c²)/(2ab), откъдето b² = c², т.е. b = c.

Лице и медиани

1. Две страни на триъгълник са 6 cm и 8 cm, а ъгълът между тях е 30°. Колко е лицето му?

   • 12 cm²
   • 24 cm²
   • 48 cm²
   • 12√3 cm²

   Отговор: 12 cm²

   S = (1/2)·6·8·sin 30° = 24·1/2 = 12 cm².

2. Колко е лицето на равностранен триъгълник със страна 2 cm?

   • 2√3 cm²
   • 4 cm²
   • √3 cm²
   • √3/2 cm²

   Отговор: √3 cm²

   S = a²√3/4 = 4√3/4 = √3 cm².

3. Колко е лицето на правоъгълен триъгълник с катети 5 cm и 8 cm?

   • 40 cm²
   • 13 cm²
   • 20 cm²
   • 10 cm²

   Отговор: 20 cm²

   S = 5·8/2 = 20 cm².

4. Страните на триъгълник са 13 cm, 14 cm и 15 cm. Колко е лицето му?

   • 84 cm²
   • 42 cm²
   • 168 cm²
   • 72 cm²

   Отговор: 84 cm²

   По формулата на Херон: p = 21, S = √(21·8·7·6) = √7056 = 84 cm².

5. Две страни на триъгълник са 4 cm и 5 cm, а ъгълът между тях е 150°. Колко е лицето му?

   • 10 cm²
   • 5√3 cm²
   • 10√3 cm²
   • 5 cm²

   Отговор: 5 cm²

   S = ½·4·5·sin 150° = 10·½ = 5 cm².

6. Колко е височината на равностранен триъгълник със страна 6 cm?

   • 3 cm
   • 3√3 cm
   • 6√3 cm
   • 3√2 cm

   Отговор: 3√3 cm

   h = a√3/2 = 6√3/2 = 3√3 cm.

7. Страните на ΔABC са a = 8 cm, b = 7 cm и c = 9 cm. Колко сантиметра е медианата m_a?

   • 8 cm
   • 7 cm
   • 4 cm
   • √65 cm

   Отговор: 7 cm

   m_a² = (2b² + 2c² − a²)/4 = (98 + 162 − 64)/4 = 49, m_a = 7 cm.

8. Страните на триъгълник са 5 cm, 5 cm и 6 cm. Колко е лицето му?

   • 15 cm²
   • 12 cm²
   • 24 cm²
   • 10 cm²

   Отговор: 12 cm²

   Височината към основата 6 cm е √(25 − 9) = 4 cm, S = 6·4/2 = 12 cm².

9. Страните на триъгълник са 6 cm, 8 cm и 10 cm. Колко е радиусът на описаната окръжност?

   • 4 cm
   • 10 cm
   • 2 cm
   • 5 cm

   Отговор: 5 cm

   6² + 8² = 10², триъгълникът е правоъгълен и R е половината от хипотенузата: 5 cm.

10. Страните на триъгълник са 5 cm, 7 cm и 8 cm. Колко е радиусът на вписаната окръжност?

    • 2√3 cm
    • 10√3 cm
    • √3/2 cm
    • √3 cm

    Отговор: √3 cm

    Ъгълът срещу 7 cm е 60°, S = (1/2)·5·8·sin 60° = 10√3 cm², p = 10 cm, r = S/p = √3 cm.

11. Лицето на триъгълник е 24 cm², а периметърът е 24 cm. Колко е радиусът на вписаната окръжност?

    • 1 cm
    • 4 cm
    • 2 cm
    • 3 cm

    Отговор: 2 cm

    S = p·r, където p = 12 cm е полупериметърът: r = 24/12 = 2 cm.

12. Лицето на триъгълник е 6√3 cm², а две от страните му са 4 cm и 6 cm. Колко градуса е тъпият ъгъл между тях?

    • 120°
    • 60°
    • 150°
    • 135°

    Отговор: 120°

    S = ½·4·6·sin γ = 12 sin γ = 6√3, sin γ = √3/2 и за тъп ъгъл γ = 120°.

13. Колко е радиусът на описаната окръжност около триъгълник със страни 13 cm, 14 cm и 15 cm?

    • 65/8 cm
    • 7 cm
    • 21/4 cm
    • 65/4 cm

    Отговор: 65/8 cm

    S = 84 cm², R = abc/(4S) = 13·14·15/336 = 65/8 cm.

14. В ΔABC b = 6 cm, c = 8 cm и медианата m_a = 5 cm. Намерете a.

    • 10 cm
    • 7 cm
    • 2√7 cm
    • 5√2 cm

    Отговор: 10 cm

    4m_a² = 2b² + 2c² − a²: 100 = 72 + 128 − a², a² = 100.

15. В ΔABC AB = 6 cm, AC = 8 cm и ∠A = 60°. M е средата на BC. Колко е лицето на ΔABM?

    • 12√3 cm²
    • 6√3 cm²
    • 24√3 cm²
    • 3√3 cm²

    Отговор: 6√3 cm²

    S_ABC = ½·6·8·√3/2 = 12√3, а медианата AM го разполовява: 6√3 cm².

Призма и пирамида

1. Куб има ръб 3 cm. Колко е обемът му?

   • 27 cm³
   • 9 cm³
   • 54 cm³
   • 18 cm³

   Отговор: 27 cm³

   V = a³ = 3³ = 27 cm³.

2. Колко ръба има кубът?

   • 8
   • 6
   • 24
   • 12

   Отговор: 12

   Кубът има 8 върха, 6 стени и 12 ръба.

3. Колко стени има триъгълната призма?

   • 6
   • 5
   • 4
   • 9

   Отговор: 5

   2 основи и 3 околни стени, общо 5.

4. Правоъгълен паралелепипед има измерения 3 cm, 4 cm и 12 cm. Колко сантиметра е диагоналът му?

   • 13 cm
   • 19 cm
   • 12 cm
   • 5 cm

   Отговор: 13 cm

   d = √(3² + 4² + 12²) = √169 = 13 cm.

5. Пирамида има лице на основата 18 cm² и височина 4 cm. Колко е обемът ѝ?

   • 72 cm³
   • 36 cm³
   • 24 cm³
   • 12 cm³

   Отговор: 24 cm³

   V = B·h/3 = 18·4/3 = 24 cm³.

6. Правоъгълен паралелепипед има измерения 2 cm, 5 cm и 6 cm. Колко е обемът му?

   • 13 cm³
   • 30 cm³
   • 60 cm³
   • 62 cm³

   Отговор: 60 cm³

   V = 2·5·6 = 60 cm³.

7. Правилна четириъгълна призма има основен ръб 4 cm и височина 5 cm. Колко е околната ѝ повърхнина?

   • 112 cm²
   • 100 cm²
   • 80 cm²
   • 40 cm²

   Отговор: 80 cm²

   S = 4·a·h = 4·4·5 = 80 cm².

8. Правилна четириъгълна пирамида има основен ръб 6 cm и апотема 5 cm. Колко е пълната ѝ повърхнина?

   • 60 cm²
   • 66 cm²
   • 96 cm²
   • 156 cm²

   Отговор: 96 cm²

   Околна повърхнина 4·(6·5/2) = 60 cm², основа 36 cm², общо 96 cm².

9. Правилна триъгълна призма има основен ръб 3 cm и височина 10 cm. Колко е околната ѝ повърхнина?

   • 30 cm²
   • 60 cm²
   • 45 cm²
   • 90 cm²

   Отговор: 90 cm²

   S = 3·3·10 = 90 cm².

10. Правилна четириъгълна пирамида има основен ръб 6 cm и височина 4 cm. Колко сантиметра е апотемата ѝ?

    • √52 cm
    • 3 cm
    • √34 cm
    • 5 cm

    Отговор: 5 cm

    Апотемата е хипотенуза в триъгълник с катети h = 4 cm и половината от основния ръб 3 cm: √(16 + 9) = 5 cm.

11. Куб има пълна повърхнина 96 cm². Колко е обемът му?

    • 16 cm³
    • 96 cm³
    • 48 cm³
    • 64 cm³

    Отговор: 64 cm³

    6a² = 96, a = 4 cm, V = 64 cm³.

12. Правилна четириъгълна пирамида има основен ръб 8 cm и височина 3 cm. Колко е околният ѝ ръб?

    • √41 cm
    • 5 cm
    • √73 cm
    • √34 cm

    Отговор: √41 cm

    Половината от диагонала на основата е 4√2 cm, околният ръб е √(32 + 9) = √41 cm.

13. Правилна триъгълна пирамида има основен ръб 6 cm и височина 5 cm. Колко е обемът ѝ?

    • 45√3 cm³
    • 30√3 cm³
    • 15√3 cm³
    • 15 cm³

    Отговор: 15√3 cm³

    B = 6²√3/4 = 9√3 cm², V = (1/3)·B·h = (1/3)·9√3·5 = 15√3 cm³.

14. Права призма има за основа ромб с диагонали 6 cm и 8 cm и височина 10 cm. Колко е околната ѝ повърхнина?

    • 240 cm²
    • 200 cm²
    • 140 cm²
    • 280 cm²

    Отговор: 200 cm²

    Страната на ромба е √(3² + 4²) = 5 cm, периметър 20 cm, S = 20·10 = 200 cm².

15. Правилна шестоъгълна пирамида има основен ръб 2 cm и височина 3 cm. Колко е обемът ѝ?

    • 18√3 cm³
    • 6√3 cm³
    • 2√3 cm³
    • 12√3 cm³

    Отговор: 6√3 cm³

    B = 6·(√3/4)·4 = 6√3, V = ⅓·6√3·3 = 6√3 cm³.

Цилиндър, конус, кълбо

1. Цилиндър има радиус 3 cm и височина 5 cm. Колко е обемът му?

   • 45π cm³
   • 15π cm³
   • 30π cm³
   • 75π cm³

   Отговор: 45π cm³

   V = πr²h = π·9·5 = 45π cm³.

2. Колко е лицето на сфера с радиус 2 cm?

   • 8π cm²
   • 16π cm²
   • 4π cm²
   • 32π/3 cm²

   Отговор: 16π cm²

   S = 4πr² = 4π·4 = 16π cm².

3. Каква фигура е осното сечение на прав кръгов цилиндър?

   • кръг
   • триъгълник
   • правоъгълник
   • трапец

   Отговор: правоъгълник

   Осното сечение има за страни диаметъра на основата и височината, т.е. е правоъгълник.

4. Конус има радиус 3 cm и височина 4 cm. Колко сантиметра е образувателната му?

   • 7 cm
   • √7 cm
   • 5 cm
   • 1 cm

   Отговор: 5 cm

   l = √(r² + h²) = √(9 + 16) = 5 cm.

5. Цилиндър има радиус 4 cm и височина 6 cm. Колко е околната му повърхнина?

   • 48π cm²
   • 96π cm²
   • 24π cm²
   • 80π cm²

   Отговор: 48π cm²

   S = 2πrh = 2π·4·6 = 48π cm².

6. Цилиндър има обем 36π cm³ и радиус 3 cm. Колко е височината му?

   • 4 cm
   • 12 cm
   • 3 cm
   • 6 cm

   Отговор: 4 cm

   V = πr²h, 36π = 9πh, h = 4 cm.

7. Кълбо има радиус 3 cm. Колко е обемът му?

   • 12π cm³
   • 36π cm³
   • 108π cm³
   • 27π cm³

   Отговор: 36π cm³

   V = (4/3)πr³ = (4/3)π·27 = 36π cm³.

8. Конус има радиус 6 cm и височина 5 cm. Колко е обемът му?

   • 60π cm³
   • 180π cm³
   • 30π cm³
   • 20π cm³

   Отговор: 60π cm³

   V = πr²h/3 = π·36·5/3 = 60π cm³.

9. Правоъгълник 3 cm на 5 cm се върти около страната 3 cm. Колко е обемът на получения цилиндър?

   • 45π cm³
   • 75π cm³
   • 15π cm³
   • 25π cm³

   Отговор: 75π cm³

   Радиусът е 5 cm, височината 3 cm: V = π·25·3 = 75π cm³.

10. Конус има радиус 5 cm и образувателна 13 cm. Колко е околната му повърхнина?

    • 90π cm²
    • 130π cm²
    • 60π cm²
    • 65π cm²

    Отговор: 65π cm²

    S = πrl = π·5·13 = 65π cm².

11. Цилиндър има радиус 3 cm и височина 4 cm. Колко е пълната му повърхнина?

    • 24π cm²
    • 36π cm²
    • 33π cm²
    • 42π cm²

    Отговор: 42π cm²

    S = 2πr(r + h) = 2π·3·7 = 42π cm².

12. Осното сечение на конус е равностранен триъгълник със страна 6 cm. Колко е обемът на конуса?

    • 27π cm³
    • 18√3π cm³
    • 3√3π cm³
    • 9√3π cm³

    Отговор: 9√3π cm³

    r = 3 cm, h = 3√3 cm, V = ⅓·π·9·3√3 = 9√3π cm³.

13. Кълбо и цилиндър имат равни радиуси r, а височината на цилиндъра е 2r. Какво е отношението на обема на кълбото към обема на цилиндъра?

    • 1 : 2
    • 3 : 4
    • 4 : 3
    • 2 : 3

    Отговор: 2 : 3

    V_кълбо = (4/3)πr³, V_{цилиндър} = πr²·2r = 2πr³. Отношението е (4/3) : 2 = 2 : 3.

14. Обемът на кълбо е 36π cm³. Колко е лицето на сферата му?

    • 36π cm²
    • 12π cm²
    • 9π cm²
    • 27π cm²

    Отговор: 36π cm²

    4πr³/3 = 36π, r³ = 27, r = 3 cm, S = 4π·9 = 36π cm².

15. Метално кълбо с радиус 3 cm е претопено в цилиндър с радиус 3 cm. Колко е височината на цилиндъра?

    • 4 cm
    • 3 cm
    • 12 cm
    • 2 cm

    Отговор: 4 cm

    Обемът на кълбото е 36π, а 36π = π·9·h дава h = 4 cm.

Финален въпрос