Преговор по възлови теми

Уравнения и системи

1. Решете уравнението 2x² − 8 = 0.

   • x = 2
   • x = ±2
   • x = ±4
   • x = 4

   Отговор: x = ±2

   x² = 4, x = ±2.

2. Решете уравнението 3x − 7 = 8.

   • x = 1/3
   • x = 15
   • x = 5
   • x = 3

   Отговор: x = 5

   3x = 15, x = 5.

3. Решете уравнението x² − 4x = 0.

   • x = 4
   • x = 0 и x = 4
   • x = 0 и x = −4
   • x = 2

   Отговор: x = 0 и x = 4

   x(x − 4) = 0, откъдето x = 0 или x = 4.

4. Решете уравнението x² − 5x + 6 = 0.

   • x = −2 и x = −3
   • x = 1 и x = 6
   • x = 2 и x = 3
   • x = −1 и x = 6

   Отговор: x = 2 и x = 3

   По Виет: x₁ + x₂ = 5, x₁x₂ = 6, т.е. 2 и 3.

5. Решете системата x + y = 5 и x − y = 1.

   • x = 3, y = 2
   • x = 2, y = 3
   • x = 4, y = 1
   • x = 5, y = 0

   Отговор: x = 3, y = 2

   Събираме уравненията: 2x = 6, x = 3, y = 2.

6. При коя стойност на m числото 2 е корен на уравнението x² + mx − 6 = 0?

   • m = −1
   • m = 3
   • m = 1
   • m = 5

   Отговор: m = 1

   Заместваме x = 2: 4 + 2m − 6 = 0, откъдето m = 1.

7. Числата x и y са такива, че x + y = 7 и xy = 12. Намерете x² + y².

   • 49
   • 37
   • 24
   • 25

   Отговор: 25

   x² + y² = (x + y)² − 2xy = 49 − 24 = 25.

8. Колко реални корена има уравнението x² + 4x + 5 = 0?

   • 1
   • 0
   • 2
   • 4

   Отговор: 0

   D = 16 − 20 = −4 < 0.

9. Решете уравнението √(x + 6) = x.

   • x = 3
   • x = −2
   • x = 3 и x = −2
   • няма решение

   Отговор: x = 3

   Повдигаме на квадрат: x² − x − 6 = 0, x = 3 или x = −2. Тъй като x ≥ 0, остава само x = 3.

10. Решете уравнението 3/(x − 1) = x + 1.

    • x = ±2
    • x = 2
    • x = −2
    • x = ±√2

    Отговор: x = ±2

    3 = x² − 1, x² = 4, x = ±2. И двете стойности са различни от 1.

11. x₁ и x₂ са корените на x² − 7x + 10 = 0. Намерете 1/x₁ + 1/x₂.

    • 7/10
    • 10/7
    • −7/10
    • 17/10

    Отговор: 7/10

    1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁x₂) = 7/10.

12. Решете системата y = x + 1 и xy = 6.

    • (2; 3)
    • (2; 3) и (−3; −2)
    • (−2; −1) и (3; 4)
    • (3; 2) и (−2; −3)

    Отговор: (2; 3) и (−3; −2)

    x(x + 1) = 6, т.е. x² + x − 6 = 0, x = 2 или x = −3. Тогава y = 3 или y = −2.

13. Колко реални корена има уравнението x⁴ − 5x² + 4 = 0?

    • 2
    • 4
    • 3
    • 0

    Отговор: 4

    С x² = t: t² − 5t + 4 = 0, t = 1 или t = 4, откъдето x = ±1 и x = ±2.

14. Решете системата x + y = 6 и x² + y² = 20.

    • (2; 4)
    • (2; 4) и (4; 2)
    • (1; 5) и (5; 1)
    • (3; 3)

    Отговор: (2; 4) и (4; 2)

    xy = (36 − 20)/2 = 8, x и y са корени на t² − 6t + 8 = 0: 2 и 4.

15. Колко различни реални корена има уравнението (x² − 2x)² − 2(x² − 2x) − 3 = 0?

    • 2
    • 4
    • 1
    • 3

    Отговор: 3

    Полагаме t = x² − 2x: t² − 2t − 3 = 0, t = 3 или t = −1. От x² − 2x = 3 получаваме x = 3 и x = −1, а от x² − 2x = −1 получаваме x = 1. Различните корени са 3.

Неравенства

1. Решете неравенството 3x − 6 > 0.

   • x < 2
   • x > −2
   • x > 2
   • x > 6

   Отговор: x > 2

   3x > 6, x > 2.

2. Решете неравенството −2x ≥ 6.

   • x ≥ −3
   • x ≤ 3
   • x ≥ 3
   • x ≤ −3

   Отговор: x ≤ −3

   Делим на −2 и обръщаме знака: x ≤ −3.

3. Решете неравенството 5 − x < 2.

   • x < 3
   • x > 3
   • x > −3
   • x < −3

   Отговор: x > 3

   −x 3 (знакът се обръща при деление на −1).

4. Решете неравенството x² < 9.

   • x < 3
   • x ∈ (−∞; −3) ∪ (3; +∞)
   • x ∈ [−3; 3]
   • x ∈ (−3; 3)

   Отговор: x ∈ (−3; 3)

   x² − 9 < 0 между корените −3 и 3.

5. Решете неравенството x² ≥ 4x.

   • x ≥ 4
   • x ∈ [0; 4]
   • x ∈ (−∞; 0] ∪ [4; +∞)
   • x ∈ (−∞; 0) ∪ (4; +∞)

   Отговор: x ∈ (−∞; 0] ∪ [4; +∞)

   x(x − 4) ≥ 0, корените са 0 и 4, решенията са извън тях заедно с тях.

6. Решете неравенството x² − 1 > 0.

   • x ∈ (−1; 1)
   • x ∈ (1; +∞)
   • x ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞)
   • x ∈ (−∞; 1)

   Отговор: x ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞)

   Корените са ±1, коефициентът пред x² е положителен, затова изразът е положителен извън корените.

7. Решете неравенството x² − 4x + 3 ≤ 0.

   • x ∈ [1; 3]
   • x ∈ (1; 3)
   • x ∈ (−∞; 1] ∪ [3; +∞)
   • x ∈ [−3; −1]

   Отговор: x ∈ [1; 3]

   Корените са 1 и 3, а клоните на параболата са нагоре, затова решенията са между корените, включително тях.

8. Решете неравенството x² + 2x + 3 > 0.

   • x ∈ (−∞; +∞)
   • няма решение
   • x > −1
   • x ∈ (−3; 1)

   Отговор: x ∈ (−∞; +∞)

   D = 4 − 12 2 е положителен, затова изразът е винаги положителен.

9. Решете неравенството (x − 2)/(x + 1) < 0.

   • x ∈ (−1; 2)
   • x ∈ (−∞; −1) ∪ (2; +∞)
   • x ∈ [−1; 2]
   • x ∈ (−2; 1)

   Отговор: x ∈ (−1; 2)

   Дробта е отрицателна, когато числителят и знаменателят са с различни знаци, т.е. между −1 и 2 (x ≠ −1).

10. Решете системата 2x − 1 > 3 и x² ≤ 16.

    • x ∈ [−4; 4]
    • x ∈ (2; 4]
    • x ∈ (2; +∞)
    • x ∈ [2; 4]

    Отговор: x ∈ (2; 4]

    Първото дава x > 2, второто −4 ≤ x ≤ 4. Сечението е (2; 4].

11. Колко цели числа са решения на неравенството x² − 2x − 8 < 0?

    • 5
    • 7
    • 6
    • 4

    Отговор: 5

    Корените са −2 и 4, решенията са в (−2; 4): цели −1, 0, 1, 2, 3.

12. Решете неравенството x² − 6x + 9 ≤ 0.

    • x ∈ (−∞; 3]
    • няма решение
    • x ∈ (−∞; +∞)
    • x = 3

    Отговор: x = 3

    x² − 6x + 9 = (x − 3)² ≥ 0, а равенство има само при x = 3.

13. Решете неравенството (x − 1)(x + 3)/(x − 5) ≥ 0.

    • x ∈ [−3; 1] ∪ [5; +∞)
    • x ∈ (−∞; −3] ∪ [1; 5)
    • x ∈ [−3; 1] ∪ (5; +∞)
    • x ∈ [−3; 5)

    Отговор: x ∈ [−3; 1] ∪ (5; +∞)

    Метод на интервалите с точки −3, 1 и 5; числото 5 не е допустимо, защото знаменателят става 0.

14. При кои стойности на a неравенството x² + 2x + a > 0 е изпълнено за всяко x?

    • a ≥ 1
    • a < 1
    • a > 0
    • a > 1

    Отговор: a > 1

    Трябва D = 4 − 4a 1.

15. Кое е най-малкото цяло решение на неравенството (x + 4)(x − 1)/(x − 3) > 0?

    • −4
    • −3
    • 0
    • 4

    Отговор: −3

    По метода на интервалите решенията са x ∈ (−4; 1) ∪ (3; +∞). Най-малкото цяло число в тях е −3.

Функции

1. Дадена е функцията f(x) = 2x − 3. Намерете f(4).

   • 11
   • 8
   • −5
   • 5

   Отговор: 5

   f(4) = 8 − 3 = 5.

2. Коя точка лежи на графиката на y = 3x − 1?

   • (1; 3)
   • (0; 1)
   • (−1; 2)
   • (2; 5)

   Отговор: (2; 5)

   3·2 − 1 = 5.

3. Коя е нулата на функцията y = 2x − 6?

   • x = −3
   • x = 6
   • x = 3
   • x = 2

   Отговор: x = 3

   2x − 6 = 0, откъдето x = 3.

4. Кои са координатите на върха на параболата y = x² − 6x + 5?

   • (3; −4)
   • (−3; −4)
   • (3; 4)
   • (6; 5)

   Отговор: (3; −4)

   x₀ = 6/2 = 3, y₀ = 9 − 18 + 5 = −4.

5. Каква е функцията y = −2x + 5 по монотонност?

   • растяща
   • постоянна
   • намаляваща
   • нито растяща, нито намаляваща

   Отговор: намаляваща

   Коефициентът пред x е отрицателен.

6. Кой е ъгловият коефициент на правата y = −3x + 4?

   • −3
   • 4
   • 3
   • −4

   Отговор: −3

   В y = kx + b ъгловият коефициент е k, тук k = −3.

7. Намерете нулите на функцията y = x² − x − 12.

   • x = 3 и x = −4
   • x = −3 и x = 4
   • x = −3
   • x = 4

   Отговор: x = −3 и x = 4

   x² − x − 12 = (x + 3)(x − 4).

8. В коя точка графиката на y = x² − 4x + 3 пресича оста Oy?

   • (3; 0)
   • (0; 3)
   • (1; 0)
   • (0; −3)

   Отговор: (0; 3)

   При x = 0 y = 3.

9. Коя права е ос на симетрия на параболата y = 2x² + 8x − 1?

   • x = 2
   • x = −4
   • x = 4
   • x = −2

   Отговор: x = −2

   Оста на симетрия е x = −b/(2a) = −8/4 = −2.

10. Каква е най-голямата стойност на функцията y = −x² + 4x + 1?

    • 1
    • 2
    • 5
    • 9

    Отговор: 5

    Върхът е при x = 2, y(2) = −4 + 8 + 1 = 5.

11. Каква е дефиниционната област на функцията y = 1/(x² − 4)?

    • x ≠ 2
    • x > 2
    • x ∈ (−2; 2)
    • x ≠ ±2

    Отговор: x ≠ ±2

    Знаменателят е 0 при x = 2 и x = −2.

12. В кой интервал функцията y = x² − 2x − 3 приема отрицателни стойности?

    • (−∞; −1)
    • (−1; 3)
    • (−3; 1)
    • (3; +∞)

    Отговор: (−1; 3)

    Нулите са −1 и 3, а клоните на параболата са нагоре (a > 0), затова е отрицателна между нулите.

13. При каква стойност на m функцията y = x² + 2x + m има точно една нула?

    • m = −1
    • m = 0
    • m = 4
    • m = 1

    Отговор: m = 1

    Дискриминантата трябва да е 0: 4 − 4m = 0, m = 1.

14. Намерете най-малката стойност на y = x² − 4x + 1 в интервала [3; 5].

    • −3
    • −2
    • 6
    • 1

    Отговор: −2

    Върхът x = 2 е извън интервала и функцията расте в [3; 5], затова минимумът е y(3) = −2.

15. Графиката на y = x² се премества с 2 единици надясно и с 3 единици нагоре. Коя е новата функция?

    • y = (x + 2)² + 3
    • y = (x − 3)² + 2
    • y = (x − 2)² + 3
    • y = (x − 2)² − 3

    Отговор: y = (x − 2)² + 3

    Преместване надясно с 2 дава (x − 2)², а нагоре с 3 добавя +3.

Подобни триъгълници

1. Два триъгълника са подобни с коефициент 3. Периметърът на по-малкия е 10 cm. Колко е периметърът на по-големия?

   • 30 cm
   • 90 cm
   • 13 cm
   • 10/3 cm

   Отговор: 30 cm

   Периметрите се отнасят както коефициента: 3·10 = 30 cm.

2. Ъглите на триъгълник са 40°, 60° и 80°. Колко е най-големият ъгъл на подобен на него триъгълник?

   • 80°
   • 60°
   • 40°
   • 160°

   Отговор: 80°

   Подобните триъгълници имат равни съответни ъгли.

3. Два подобни триъгълника имат коефициент на подобие 2. Колко пъти лицето на по-големия е по-голямо от лицето на по-малкия?

   • 2
   • 4
   • 8
   • √2

   Отговор: 4

   Лицата на подобни триъгълници се отнасят като квадрата на коефициента: 2² = 4.

4. Лицата на два подобни триъгълника се отнасят 4 : 25. В какво отношение са съответните им страни?

   • 4 : 25
   • 2 : 5
   • 16 : 625
   • 1 : 5

   Отговор: 2 : 5

   Отношението на лицата е квадрат на коефициента: k² = 4/25, k = 2/5.

5. Съответни страни на два подобни триъгълника са 3 cm и 6 cm. Лицето на по-малкия е 5 cm². Колко е лицето на по-големия?

   • 10 cm²
   • 15 cm²
   • 20 cm²
   • 40 cm²

   Отговор: 20 cm²

   k = 2, лицата се отнасят като k² = 4: 5·4 = 20 cm².

6. Средна отсечка на триъгълник отрязва от него малък триъгълник. Колко е коефициентът на подобие на малкия към големия триъгълник?

   • 1/3
   • 1/4
   • 2/3
   • 1/2

   Отговор: 1/2

   Средната отсечка е успоредна на третата страна и равна на половината от нея, затова k = 1/2.

7. В ΔABC DE ∥ AB, D ∈ AC, E ∈ BC, CD = 4 cm, DA = 6 cm и AB = 15 cm. Намерете DE.

   • 10 cm
   • 9 cm
   • 6 cm
   • 4 cm

   Отговор: 6 cm

   ΔCDE ∼ ΔCAB с коефициент 4/10, DE = 15·0,4 = 6 cm.

8. Кое условие е достатъчно два триъгълника да са подобни?

   • имат по една равна страна
   • имат равни периметри
   • имат равни лица
   • два ъгъла на единия са равни на два ъгъла на другия

   Отговор: два ъгъла на единия са равни на два ъгъла на другия

   Ако два ъгъла са равни, и третите са равни; това е признак за подобие.

9. Страните на триъгълник са 4 cm, 6 cm и 8 cm. Най-малката страна на подобен на него триъгълник е 6 cm. Колко е най-голямата му страна?

   • 12 cm
   • 10 cm
   • 14 cm
   • 16 cm

   Отговор: 12 cm

   Коефициентът е 6 : 4 = 1,5, затова най-голямата страна е 8 · 1,5 = 12 cm.

10. Височината към хипотенузата на правоъгълен триъгълник я дели на отсечки 4 cm и 9 cm. Намерете височината.

    • 13 cm
    • 36 cm
    • 6,5 cm
    • 6 cm

    Отговор: 6 cm

    h² = 4·9 = 36, h = 6 cm.

11. Дърво хвърля сянка 12 m, а прът с височина 2 m в същия момент хвърля сянка 3 m. Колко високо е дървото?

    • 8 m
    • 18 m
    • 6 m
    • 11 m

    Отговор: 8 m

    Триъгълниците са подобни: h/12 = 2/3, h = 8 m.

12. В ΔABC ъглополовящата CL дели страната AB на отсечки AL = 4 cm и LB = 6 cm, а AC = 8 cm. Колко е BC?

    • 10 cm
    • 9 cm
    • 12 cm
    • 16 cm

    Отговор: 12 cm

    По свойството на ъглополовящата AL : LB = AC : BC, т.е. 4 : 6 = 8 : BC, откъдето BC = 12 cm.

13. Трапец има основи 4 cm и 12 cm. Лицето на триъгълника, образуван от малката основа и частите на диагоналите, е 3 cm². Колко е лицето на триъгълника при голямата основа?

    • 27 cm²
    • 9 cm²
    • 81 cm²
    • 36 cm²

    Отговор: 27 cm²

    Двата триъгълника са подобни с коефициент 3, лицата се отнасят 1 : 9, затова лицето е 27 cm².

14. В правоъгълен триъгълник катет е 6 cm, а проекцията му върху хипотенузата е 4 cm. Колко е хипотенузата?

    • 10 cm
    • 8 cm
    • 9 cm
    • 12 cm

    Отговор: 9 cm

    Катетът е средно геометрично на хипотенузата и проекцията си: 36 = 4c, c = 9 cm.

15. В ΔABC страната AB = 12 cm, а височината към нея е 8 cm. В триъгълника е вписан квадрат, едната страна на който лежи на AB. Колко е страната на квадрата?

    • 4 cm
    • 5 cm
    • 6 cm
    • 4,8 cm

    Отговор: 4,8 cm

    Горната страна на квадрата отрязва подобен триъгълник: x/12 = (8 − x)/8, откъдето 8x = 96 − 12x и x = 4,8 cm.

Вероятности

1. Хвърляме зар. Каква е вероятността да се падне число, по-голямо от 4?

   • 1/2
   • 1/3
   • 2/3
   • 1/6

   Отговор: 1/3

   Благоприятни са 5 и 6: 2/6 = 1/3.

2. Хвърляме монета. Каква е вероятността да се падне ези?

   • 1
   • 1/4
   • 1/2
   • 0

   Отговор: 1/2

   Има 2 равновъзможни изхода, единият е ези.

3. Хвърляме зар. Каква е вероятността да се падне 6?

   • 1/6
   • 1/3
   • 1/2
   • 1/5

   Отговор: 1/6

   Има 6 равновъзможни изхода и само един е благоприятен.

4. В торба има 3 червени, 5 сини и 2 зелени топки. Каква е вероятността случайно изтеглена топка да е синя?

   • 1/5
   • 5/8
   • 1/2
   • 3/10

   Отговор: 1/2

   5/10 = 1/2.

5. Каква е вероятността случайна буква от думата МАТЕМАТИКА да е А?

   • 1/10
   • 3/10
   • 1/5
   • 1/3

   Отговор: 3/10

   Буквите са 10, от тях 3 са А.

6. В клас има 12 момчета и 18 момичета. Случайно се избира един ученик. Каква е вероятността да е момче?

   • 2/3
   • 2/5
   • 3/5
   • 1/2

   Отговор: 2/5

   12 от общо 30 ученици: 12/30 = 2/5.

7. Хвърляме два зара. Каква е вероятността сборът да е 7?

   • 7/36
   • 1/12
   • 1/36
   • 1/6

   Отговор: 1/6

   Благоприятните изходи са 6 от 36: 6/36 = 1/6.

8. Хвърляме зар. Каква е вероятността да се падне просто число?

   • 1/2
   • 1/3
   • 2/3
   • 1/6

   Отговор: 1/2

   Простите числа от 1 до 6 са 2, 3 и 5: 3/6 = 1/2.

9. Хвърляме монета три пъти. Каква е вероятността и трите пъти да се падне ези?

   • 1/3
   • 1/6
   • 1/8
   • 3/8

   Отговор: 1/8

   Има 2³ = 8 равновъзможни изхода и само един е ЕЕЕ.

10. Хвърляме две монети. Каква е вероятността да се падне поне едно ези?

    • 3/4
    • 1/2
    • 1/4
    • 2/3

    Отговор: 3/4

    От 4 равновъзможни изхода само ТТ няма ези: 1 − 1/4 = 3/4.

11. Хвърляме два зара. Каква е вероятността двете числа да са еднакви?

    • 1/36
    • 1/6
    • 1/12
    • 1/3

    Отговор: 1/6

    Благоприятните изходи са 6 от 36.

12. Хвърляме два зара. Каква е вероятността сборът да е по-голям от 10?

    • 1/18
    • 1/9
    • 1/6
    • 1/12

    Отговор: 1/12

    Сбор 11: (5; 6) и (6; 5), сбор 12: (6; 6), общо 3 от 36 изхода: 3/36 = 1/12.

13. Избираме случайно число от 1 до 30. Каква е вероятността то да се дели на 2 или на 3?

    • 5/6
    • 2/3
    • 1/2
    • 3/5

    Отговор: 2/3

    Делящите се на 2 са 15, на 3 са 10, на 6 са 5. Благоприятни: 15 + 10 − 5 = 20, 20/30 = 2/3.

14. От 1, 2, 3, 4 и 5 избираме случайно две различни числа. Каква е вероятността сборът им да е четен?

    • 1/2
    • 3/5
    • 3/10
    • 2/5

    Отговор: 2/5

    Двойките са 10. Четен сбор дават двойките от нечетни (3) и от четни (1): 4/10 = 2/5.

15. От числата 1, 2, 3, 4, 5 и 6 се избират случайно две различни. Каква е вероятността и двете да са четни?

    • 1/4
    • 1/5
    • 1/3
    • 1/2

    Отговор: 1/5

    Двойките са 6·5/2 = 15, а двойките от четни числа (от 2, 4, 6) са 3: 3/15 = 1/5.

Финален въпрос