Математика 9 клас: преговор първи срок

Вероятност

1. Хвърля се зар. Каква е вероятността да се падне четно число?

   • 1/3
   • 1/6
   • 2/3
   • 1/2

   Отговор: 1/2

   Благоприятни са 2, 4, 6: 3 от 6 равновъзможни изхода.

2. В кутия има 10 картончета с числата от 1 до 10. Каква е вероятността случайно изтеглено картонче да е с число, кратно на 5?

   • 1/10
   • 1/5
   • 1/2
   • 2/5

   Отговор: 1/5

   Благоприятни са числата 5 и 10, т.е. 2 от 10 изхода: 2/10 = 1/5.

3. Каква е вероятността на невъзможно събитие?

   • 0
   • 1
   • 1/2
   • 0,1

   Отговор: 0

   Невъзможното събитие никога не настъпва, затова вероятността му е 0.

4. В кутия има 3 бели и 5 черни топки. Каква е вероятността случайно изтеглена топка да е бяла?

   • 3/5
   • 5/8
   • 3/8
   • 1/3

   Отговор: 3/8

   Всички топки са 8, белите са 3.

5. От буквите на думата МАТЕМАТИКА случайно се избира една. Каква е вероятността тя да е А?

   • 1/10
   • 1/3
   • 3/7
   • 3/10

   Отговор: 3/10

   Думата има 10 букви, от които 3 са А: 3/10.

6. В клас има 25 ученици, от които 10 са отличници. Каква е вероятността случайно избран ученик да е отличник?

   • 1/10
   • 2/5
   • 3/5
   • 1/4

   Отговор: 2/5

   P = 10/25 = 2/5.

7. Хвърлят се две монети. Каква е вероятността да се падне поне един герб?

   • 1/2
   • 3/4
   • 1/4
   • 2/3

   Отговор: 3/4

   Изходите са ГГ, ГЕ, ЕГ, ЕЕ. Противоположното събитие (нито един герб) има вероятност 1/4, значи 1 − 1/4 = 3/4.

8. Хвърлят се два зара. Каква е вероятността произведението на точките да е четно?

   • 3/4
   • 1/2
   • 1/4
   • 2/3

   Отговор: 3/4

   Произведението е нечетно само ако двете числа са нечетни: 9 от 36 изхода. Затова P = 1 − 9/36 = 3/4.

9. Хвърлят се три монети. Каква е вероятността да се паднат три герба?

   • 3/8
   • 1/4
   • 1/8
   • 1/2

   Отговор: 1/8

   Изходите са 2 · 2 · 2 = 8, а благоприятният е само един, затова P = 1/8.

10. Хвърлят се два зара. Каква е вероятността сборът от точките да е 7?

    • 1/6
    • 1/12
    • 7/36
    • 1/11

    Отговор: 1/6

    Изходите са 36. Сбор 7 дават (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1): 6/36 = 1/6.

11. От 4 момчета и 2 момичета случайно се избират двама ученици. Каква е вероятността и двамата да са момичета?

    • 1/6
    • 1/3
    • 1/15
    • 2/15

    Отговор: 1/15

    Двойките са 15 (6 · 5 : 2), а само една от тях е от двете момичета: 1/15.

12. От цифрите 1, 2 и 3 се образуват всички трицифрени числа с различни цифри. Каква е вероятността случайно избрано от тях да е четно?

    • 1/2
    • 2/3
    • 1/6
    • 1/3

    Отговор: 1/3

    Числата са 6, а четните (завършват на 2) са 2: 132 и 312. P = 2/6 = 1/3.

13. P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 и P(A ∩ B) = 0,2. Намерете P(A ∪ B).

    • 0,9
    • 0,2
    • 0,5
    • 0,7

    Отговор: 0,7

    P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0,5 + 0,4 − 0,2 = 0,7.

14. A и B са несъвместими събития, P(A) = 0,6 и P(B) = 0,3. Каква е вероятността да не настъпи нито A, нито B?

    • 0,28
    • 0,9
    • 0,1
    • 0,18

    Отговор: 0,1

    P(A ∪ B) = 0,6 + 0,3 = 0,9, а търсената вероятност е 1 − 0,9 = 0,1.

15. P(A) = 0,7, P(B) = 0,5 и P(A ∪ B) = 0,9. Каква е вероятността да настъпи A, но да не настъпи B?

    • 0,4
    • 0,2
    • 0,3
    • 0,5

    Отговор: 0,4

    P(A ∩ B) = 0,7 + 0,5 − 0,9 = 0,3, затова P(A, но не B) = 0,7 − 0,3 = 0,4.

Функции

1. Дадена е функцията f(x) = 2x − 3. Намерете f(4).

   • 11
   • 2
   • 5
   • −5

   Отговор: 5

   f(4) = 2·4 − 3 = 5.

2. Коя от точките лежи на графиката на функцията y = 3x − 2?

   • (2; 4)
   • (1; 2)
   • (0; 2)
   • (3; 6)

   Отговор: (2; 4)

   При x = 2: y = 3 · 2 − 2 = 4.

3. Дадена е функцията f(x) = 5 − x. Намерете f(−3).

   • 2
   • 8
   • −8
   • −2

   Отговор: 8

   f(−3) = 5 − (−3) = 8.

4. Намерете нулата на функцията y = 3x + 6.

   • x = −2
   • x = 2
   • x = 6
   • x = −6

   Отговор: x = −2

   3x + 6 = 0, откъдето x = −2.

5. Дадена е функцията f(x) = −2x + 5. При коя стойност на x е изпълнено f(x) = −3?

   • x = −4
   • x = 1
   • x = −1
   • x = 4

   Отговор: x = 4

   −2x + 5 = −3, откъдето −2x = −8 и x = 4.

6. В коя точка графиката на функцията y = −x + 4 пресича оста Ox?

   • (−4; 0)
   • (0; 4)
   • (4; 0)
   • (0; −4)

   Отговор: (4; 0)

   От −x + 4 = 0 следва x = 4, т.е. точката (4; 0).

7. Коя линейна функция има графика, минаваща през точките (0; 1) и (2; 7)?

   • y = 4x + 1
   • y = 3x + 7
   • y = 3x + 1
   • y = x + 1

   Отговор: y = 3x + 1

   b = 1 (пресечната точка с Oy), а наклонът е (7 − 1)/(2 − 0) = 3.

8. Коя от функциите е намаляваща?

   • y = 2x − 3
   • y = −2x + 3
   • y = 0,5x
   • y = x + 10

   Отговор: y = −2x + 3

   Линейната функция y = kx + b намалява, когато k < 0; тук k = −2.

9. Графиката на функцията y = kx минава през точката (−2; 6). Намерете k.

   • 3
   • 1/3
   • −1/3
   • −3

   Отговор: −3

   6 = k · (−2), откъдето k = −3.

10. При каква стойност на a графиката на y = (a − 2)x + 5 е успоредна на правата y = 4x − 1?

    • a = 4
    • a = 2
    • a = 6
    • a = −2

    Отговор: a = 6

    Успоредните прави имат равни ъглови коефициенти: a − 2 = 4.

11. Правата y = kx + b минава през точките (1; 2) и (3; 8). Намерете b.

    • b = 1
    • b = 3
    • b = −3
    • b = −1

    Отговор: b = −1

    k + b = 2 и 3k + b = 8, откъдето k = 3 и b = −1.

12. При каква стойност на m точката (m; 2m) лежи на правата y = x + 3?

    • 3
    • −3
    • 2
    • 1

    Отговор: 3

    2m = m + 3, откъдето m = 3.

13. Кое е дефиниционното множество на функцията f(x) = √(x − 3) / (x − 5)?

    • x > 3
    • x ≥ 3 и x ≠ 5
    • x ≠ 5
    • 3 ≤ x < 5

    Отговор: x ∈ [3; 5) ∪ (5; +∞)

    Подкоренната величина е неотрицателна (x ≥ 3), а знаменателят е различен от нула (x ≠ 5).

14. Колко е лицето на триъгълника, ограничен от правите y = x, y = −x и y = 4?

    • 8
    • 16
    • 32
    • 4

    Отговор: 16

    Върховете са (0; 0), (4; 4) и (−4; 4). Основата е 8, височината е 4, лицето е 8 · 4 : 2 = 16.

15. Функцията f е линейна, f(1) = 4 и f(3) = 10. Намерете f(5).

    • 14
    • 16
    • 13
    • 18

    Отговор: 16

    Ъгловият коефициент е (10 − 4)/(3 − 1) = 3, затова f(x) = 3x + 1 и f(5) = 16.

Квадратна функция

1. Кой е върхът на параболата y = x² − 4x + 3?

   • (−2; 15)
   • (2; −1)
   • (4; 3)
   • (2; 1)

   Отговор: (2; −1)

   x₀ = −b/(2a) = 2, y₀ = 4 − 8 + 3 = −1.

2. Накъде са насочени клоновете на параболата y = −3x² + x + 2?

   • нагоре
   • наляво
   • надолу
   • надясно

   Отговор: надолу

   Коефициентът пред x² е −3 < 0, затова клоновете са насочени надолу.

3. Колко е стойността на функцията y = x² − 2x при x = 3?

   • −3
   • 15
   • 3
   • 9

   Отговор: 3

   y = 9 − 6 = 3.

4. Кои са нулите на функцията y = x² − 4x + 3?

   • −1 и −3
   • 0 и 4
   • 1 и −3
   • 1 и 3

   Отговор: x = 1 и x = 3

   x² − 4x + 3 = 0 има корени 1 и 3 (сбор 4, произведение 3).

5. В коя точка параболата y = x² − 5x + 6 пресича оста Oy?

   • (0; 6)
   • (6; 0)
   • (0; −6)
   • (0; 5)

   Отговор: (0; 6)

   При x = 0 получаваме y = 6, т.е. точката (0; 6).

6. Колко нули има функцията y = x² − 6x + 9?

   • 0
   • 2
   • 3
   • 1

   Отговор: 1

   x² − 6x + 9 = (x − 3)², затова има една (двойна) нула x = 3.

7. Колко е най-голямата стойност на функцията y = −x² + 6x − 5?

   • 3
   • 4
   • −5
   • 9

   Отговор: 4

   Върхът е при x = 3, y(3) = −9 + 18 − 5 = 4. Клоните са надолу, значи това е най-голямата стойност.

8. Коя е оста на симетрия на параболата y = 2x² − 8x + 1?

   • x = 2
   • x = −2
   • x = 4
   • x = 1

   Отговор: x = 2

   Оста на симетрия е x = −b/(2a) = 8/4 = 2.

9. Колко е най-малката стойност на функцията y = 2x² + 4x + 5?

   • 3
   • 5
   • 1
   • −3

   Отговор: 3

   Върхът е при x = −4/4 = −1, а y(−1) = 2 − 4 + 5 = 3.

10. В кой интервал функцията y = x² − 6x + 1 е растяща?

    • (−∞; 3]
    • [3; +∞)
    • [−3; +∞)
    • (−∞; −3]

    Отговор: [3; +∞)

    a > 0 и x₀ = 3: вдясно от върха функцията расте.

11. Параболата y = x² + px + 4 се допира до оста Ox. Колко е положителната стойност на p?

    • p = 2
    • p = 8
    • p = 4
    • p = 16

    Отговор: p = 4

    Допиране означава D = p² − 16 = 0, т.е. p = ±4; положителната стойност е 4.

12. Параболата y = x² + bx + c има нули 2 и 5. Намерете c.

    • −10
    • 10
    • 7
    • −7

    Отговор: 10

    y = (x − 2)(x − 5) = x² − 7x + 10, затова c = 10.

13. При кои стойности на m параболата y = x² − 4x + m няма общи точки с оста Ox?

    • m < 4
    • m > 16
    • m = 4
    • m > 4

    Отговор: m > 4

    Няма нули, когато D = 16 − 4m 4.

14. Коя квадратна функция има нули −1 и 3 и графиката ѝ минава през точката (0; −6)?

    • y = x² − 2x − 3
    • y = 2x² − 4x − 6
    • y = −2x² + 4x + 6
    • y = 2x² + 4x − 6

    Отговор: y = 2x² − 4x − 6

    y = a(x + 1)(x − 3); при x = 0: −3a = −6, a = 2. Получаваме y = 2x² − 4x − 6.

15. При кои стойности на a функцията y = ax² − 4x + 1 е квадратна и има две различни нули?

    • a < 4
    • a > 4
    • a < 4 и a ≠ 0
    • a ≤ 4 и a ≠ 0

    Отговор: a < 4 и a ≠ 0

    Трябва a ≠ 0 и D = 16 − 4a > 0, т.е. a < 4 и a ≠ 0.

Линейни системи

1. Решете системата x + y = 5, x − y = 1.

   • (2; 3)
   • (3; 2)
   • (4; 1)
   • (3; −2)

   Отговор: x = 3, y = 2

   Събираме уравненията: 2x = 6, x = 3, y = 2.

2. Решете системата x = 3, 2x + y = 10.

   • (4; 3)
   • (3; 16)
   • (3; −4)
   • (3; 4)

   Отговор: (3; 4)

   Заместваме x = 3: 6 + y = 10, y = 4.

3. Коя двойка е решение на системата x + y = 6, x − y = 2?

   • (2; 4)
   • (3; 3)
   • (5; 1)
   • (4; 2)

   Отговор: (4; 2)

   4 + 2 = 6 и 4 − 2 = 2.

4. Решете системата 2x + y = 7, x − y = 2.

   • (3; 1)
   • (1; 3)
   • (3; −1)
   • (2; 3)

   Отговор: x = 3, y = 1

   Събираме: 3x = 9, x = 3, y = 7 − 6 = 1.

5. Числата a и b са равни и 2a + 3b = 12. Колко е a?

   • 2
   • 2,4
   • 3
   • 4

   Отговор: 2,4

   Щом a = b, получаваме 5a = 12, a = 2,4.

6. Решете системата 3x + y = 14, x + y = 6.

   • (4; 2)
   • (2; 4)
   • (5; 1)
   • (3; 3)

   Отговор: (4; 2)

   Изваждаме: 2x = 8, x = 4, y = 2.

7. Колко решения има системата x + 2y = 3, 2x + 4y = 5?

   • точно едно
   • точно две
   • нито едно
   • безброй много

   Отговор: няма решение

   Лявата страна на второто уравнение е 2 пъти лявата на първото, а 5 ≠ 2·3. Правите са успоредни.

8. Колко решения има системата 3x − y = 2, 6x − 2y = 4?

   • нито едно
   • точно едно
   • точно две
   • безброй много

   Отговор: безброй много

   Второто уравнение е първото, умножено по 2, затова двете уравнения задават една и съща права.

9. Сборът на две числа е 50, а разликата им е 12. Кое е по-малкото число?

   • 31
   • 19
   • 12
   • 38

   Отговор: 19

   x + y = 50, x − y = 12, откъдето x = 31 и y = 19.

10. В клас има 28 ученици, като момчетата са с 4 повече от момичетата. Колко са момичетата?

    • 12
    • 16
    • 14
    • 24

    Отговор: 12 момичета

    x + y = 28, x − y = 4: момчетата са 16, момичетата са 12.

11. Билет за възрастен струва 8 евро, а детски билет 5 евро. Продадени са 30 билета за 210 евро. Колко са детските билети?

    • 10
    • 20
    • 15
    • 12

    Отговор: 10

    x + y = 30 и 8x + 5y = 210, откъдето 3x = 60, x = 20 билета за възрастни и y = 10 детски.

12. Ако към числителя и знаменателя на една дроб се прибави 1, тя става 1/2, а ако от тях се извади 1, става 1/3. Коя е дробта?

    • 2/5
    • 4/9
    • 3/7
    • 3/8

    Отговор: 3/7

    От 2(a + 1) = b + 1 и 3(a − 1) = b − 1 следва b = 2a + 1 = 3a − 2, a = 3, b = 7.

13. При каква стойност на a системата ax + 2y = 4, 3x + y = 1 няма решение?

    • a = 3/2
    • a = 6
    • a = −6
    • a = 2

    Отговор: a = 6

    Няма решение, когато a/3 = 2/1 ≠ 4/1, т.е. a = 6 (правите са успоредни).

14. При кои стойности на a и b системата x + ay = 3, 2x + 6y = b има безброй много решения?

    • a = 3, b = 3
    • a = 6, b = 6
    • a = 3, b = 6
    • a = 2, b = 6

    Отговор: a = 3, b = 6

    Коефициентите трябва да са пропорционални: 1/2 = a/6 = 3/b, откъдето a = 3 и b = 6.

15. При коя стойност на a системата x + y = 2, ax − y = 1 има решение с x = 1?

    • 1
    • 0
    • 3
    • 2

    Отговор: 2

    При x = 1 от първото уравнение y = 1, а от второто a − 1 = 1, т.е. a = 2.

Системи от 2 степен

1. Решете системата x + y = 5, xy = 6.

   • (2; 3) и (3; 2)
   • (1; 6) и (6; 1)
   • (−2; −3) и (−3; −2)
   • само (2; 3)

   Отговор: (2; 3) и (3; 2)

   x и y са корени на t² − 5t + 6 = 0, т.е. 2 и 3, в двата възможни реда.

2. Коя двойка е решение на системата x² + y = 10, x + y = 4?

   • (1; 3)
   • (2; 2)
   • (3; 1)
   • (4; 0)

   Отговор: (3; 1)

   Проверка: 3² + 1 = 10 и 3 + 1 = 4.

3. Колко решения има системата x² + y² = 25, y = 0?

   • 2
   • 1
   • 4
   • 0

   Отговор: 2

   При y = 0 получаваме x² = 25, x = 5 или x = −5, т.е. 2 решения.

4. Решете системата y = x + 1, x² + y² = 25.

   • (3; 4) и (−4; −3)
   • (3; 4) и (4; 3)
   • само (3; 4)
   • (−3; −2) и (4; 5)

   Отговор: (3; 4) и (−4; −3)

   Заместваме: x² + (x + 1)² = 25, x² + x − 12 = 0, x = 3 или x = −4.

5. Решете системата x − y = 2, xy = 15.

   • (5; 3) и (−3; −5)
   • (5; 3) и (3; 5)
   • (3; 5) и (−5; −3)
   • само (5; 3)

   Отговор: (5; 3) и (−3; −5)

   x = y + 2, (y + 2)y = 15, y² + 2y − 15 = 0, y = 3 или y = −5.

6. Решете системата y = 2x, x² + y² = 20.

   • (4; 2) и (−4; −2)
   • (2; 4) и (−2; −4)
   • (2; 4) и (−2; 4)
   • само (2; 4)

   Отговор: (2; 4) и (−2; −4)

   x² + 4x² = 20, x² = 4, x = ±2, а y = 2x.

7. Решете системата x − y = 1, x² − y² = 9.

   • (4; 5)
   • (5; −4)
   • (3; 2)
   • (5; 4)

   Отговор: x = 5, y = 4

   x² − y² = (x − y)(x + y), значи x + y = 9 и x − y = 1.

8. Решете системата y = x², y = 2x + 3.

   • (−3; 9) и (1; 1)
   • (3; 9) и (1; 1)
   • (9; 3) и (1; −1)
   • (3; 9) и (−1; 1)

   Отговор: (3; 9) и (−1; 1)

   x² = 2x + 3, x² − 2x − 3 = 0, x = 3 или x = −1; съответно y = 9 и y = 1.

9. Решете системата x + y = 6, x² + y² = 20.

   • (1; 5) и (5; 1)
   • (3; 3)
   • (2; 4) и (4; 2)
   • (2; 4) и (−2; −4)

   Отговор: (2; 4) и (4; 2)

   2xy = 36 − 20 = 16, xy = 8, а числата със сбор 6 и произведение 8 са 2 и 4.

10. Правоъгълник има периметър 14 cm и лице 12 cm². Колко са страните му?

    • 2 cm и 6 cm
    • 2 cm и 5 cm
    • 1 cm и 12 cm
    • 3 cm и 4 cm

    Отговор: 3 cm и 4 cm

    a + b = 7, ab = 12, откъдето a и b са корени на t² − 7t + 12 = 0.

11. Произведението на две положителни числа е 24, а сборът на квадратите им е 52. Колко е сборът на числата?

    • 8
    • 10
    • 14
    • 12

    Отговор: 10

    (x + y)² = x² + y² + 2xy = 52 + 48 = 100, откъдето x + y = 10.

12. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 10 cm, а лицето му е 24 cm². Колко е периметърът му?

    • 22 cm
    • 28 cm
    • 20 cm
    • 24 cm

    Отговор: 24 cm

    a² + b² = 100 и ab = 48, затова (a + b)² = 196, a + b = 14 и P = 14 + 10 = 24 cm.

13. Колко решения има системата x² + y² = 13, xy = 6?

    • 2
    • 1
    • 4
    • 0

    Отговор: 4 решения

    (x + y)² = 13 + 12 = 25, x + y = ±5. Решения: (2; 3), (3; 2), (−2; −3), (−3; −2).

14. Решете системата x + y = 3, x³ + y³ = 9.

    • само (1; 2)
    • (0; 3) и (3; 0)
    • (−1; 4) и (4; −1)
    • (1; 2) и (2; 1)

    Отговор: (1; 2) и (2; 1)

    x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y) = 27 − 9xy = 9, т.е. xy = 2. Числата със сбор 3 и произведение 2 са 1 и 2.

15. При каква положителна стойност на k системата y = x² + 1, y = kx има точно едно решение?

    • 2
    • 1
    • 4
    • √2

    Отговор: 2

    x² − kx + 1 = 0 има един корен при D = k² − 4 = 0, т.е. k = 2.

Финален въпрос